Compito di Geometria 1

Compito di Geometria 1

12/02/2019 tempo 2h 30m

Prof. Matteo Penegini, Prof. Arvid Perego

Si risolvano gli esercizi 1 e 2 su un foglio a protocollo e gli esercizi 3 e 4 su un altro foglio.

Esercizio 1. Nell’insieme N+degli interi naturali positivi si consideri la famiglia di insiemi

B = {{2n − 1, 2n}|n ∈ N+}.

(NOTA BENE: N+ = {1, 2, 3, . . .}).

(1) Dimostrare che B `e la base per una topologia τ su N+ e si determini la chiusura dell’insieme {10, 11, 12, 13}.

(2) Dimostrare che {7} non `e un sottoinsieme chiuso.

(3) Stabilire se lo spazio topologico (N+, τ ) `e di Hausdorff.

(4) Determinare le componenti connesse per archi d (N+, τ ).

(5) Si dia un esempio di sottoinsieme compatto ma non chiuso in (N⁺, τ ).

(6) Stabilire se lo spazio topologico (N⁺, τ ) `e localmente compatto.

Esercizio 2. Nel piano R² con la topologia euclidea siano per ogni n ∈ N (1) A_n la circonferenza di raggio n e centro (n, 0).

(2) B_n la circonferenza di raggio ¹_n e centro (_n¹, 0).

Siano ora

A := [

n∈N

A_n, B := [

n∈N

B_n. Per A e B si indahino le seguenti propriet`a topologiche:

(1) connessione e connessione per archi;

(2) compattezza;

(3) esistenza per ciascun punto di un sistema fondamentale di intorni connes- si;

(4) esistenza per ciascun punto di un sistema fondamentale di intorni connessi per archi;

(5) esistenza per ciascun punto di un sistema fondamentale di intorni com- patti.

Si stabilisca se A e B sono omeomorfi.

Esercizio 3. In R² con la topologia euclidea, si considerino i sottospazi:

A = {(x, n)|n ∈ Z, n 6= 0} e B = {(x, y)|y = x

n, n ∈ Z, n 6= 0}.

Si consideri inoltre l’applicazione continua g : A −→ B definita da g(x, n) = (x,_n^x).

1

(1) A `e connesso o connesso per archi? `e chiuso in R²? (2) B `e connesso o connesso per archi? `e chiuso in R²? (3) Sia

C = {(x, 1) ∈ A| − 1 < x < 1};

C `e aperto in A? g(C) `e aperto in B?

Esercizio 4. Con la topologia indotta da quella euclidea in R² si consideri lo spazio topologico S che si ottiene identificando i lati di un poligono secondo la sequenza

W = a⁻¹ca⁻¹dbcb⁻¹e⁻¹+ de⁻¹.

(1) Si provi che S `e una superficie topologica connessa per archi.

(2) Determinare l’orientabilit`a della superifcie S.

(3) Determinare caratteristica di Eulero χ(S) di S.

(4) Attraverso l’algoritmo di taglio e cucito si porti la superficie in forma normale.

(5) Esprimere S come somma connessa di sfere, tori e piani proiettivi.

Giustificare ogni risposta.