VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 14 febbraio 2019
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1
Eseguire la seguente divisione tra polinomi, utilizzando l'apposito algoritmo:
(2 x4+x3+x+3):(2 x2−x−1)
2
Risolvere la seguente equazione:
(2 x2−x+1)2=(2 x2−1)2−x2(4 x−9)
3
Risolvere la seguente equazione:
(x+1)(2 x−3)(x2+1)(x3−8)=0
4
Risolvere la seguente disequazione:(x+5)(x +3)≥( x+9)(x+1)
5
Un certo titolo di stato frutta un interesse del 3,7% annuo. La banca però trattiene da tali interessi la cifra fissa di 40 euro l'anno per rimborso spese. Un secondo titolo di risparmio, emesso direttamentedalla banca frutta invece un interesse netto del 3,2% l'anno e per esso non vengono chiesti rimborsi spese. Quanto capitale bisogna investire affinchè sia più conveniente il titolo di stato?
Obiettivi: riuscire a manipolare i polinomi, risolvere equazioni e disequazioni. Gli argomenti si trovano nei capitolo 5 “monomi e polinomi” ; 8 “equazioni”; 9 “disequazioni”
Valutazione
Griglia di valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova
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Non usare la “cancellina”!
Non usare la penna rossa!
1
Eseguire la seguente divisione tra polinomi, utilizzando l'apposito algoritmo:
(2 x4+x3+x+3):(2 x2−x−1)
L'algoritmo della divisione tra polinomi consiste nel ripetere i soliti tre passi:
1. divido il monomio più alto del dividendo per il monomio più alto del divisore
2. moltiplico il quoziente ottenuto per tutto il divisore e trascrivo il prodotto cambiato di segno 3. eseguo l'addizione in colonna
Ripeto questi tre passi finché non ottengo un polinomio di grado più basso del divisore.
Quello che si ottiene nel caso dell'esercizio in questione è riportato in questo schema:
2 x4+x3+...+x+3
−2 x4+x3+x2+...
...
....+2 x3+x2+x+3 ....−2 x3+x2+x ...
...
...+2 x2+2 x+3 ...−2 x2+x+1 ...
...3 x+4
2 x2−x−1 x2+x+1
Dunque il quoziente è il polinomio x2+x+1 e il resto è il polinomio 3 x+4 . Per chi avesse voglia di fare una verifica, l'uguaglianza da verificare è la seguente:
2 x4+x3+x+3=(2 x2−x−1)(x2+x+1)+3 x+4
2
Risolvere la seguente equazione:
(2 x2−x+1)2=(2 x2−1)2−x2(4 x−9)
Sviluppiamo i due quadrati utilizzando i prodotti notevoli ed eseguiamo la moltiplicazione.
4 x4+̃x2+1−4 x3−2 x +̃4 x2=4 x4−4 x̃2+1−4 x3+9 x̃2 Semplificando otteniamo:
1−2 x=1
O meglio ancora: −2 x=0 ovvero x=0
3
Risolvere la seguente equazione:
(x+1)(2 x−3)(x2+1)(x3−8)=0
È assolutamente inutile, anzi dannoso, mettersi ad eseguire le moltiplicazioni. Si tratta di un prodotto di quattro fattori uguale a zero, dunque, per il principio di annullamento del prodotto, se uno di questi fattori è nullo, allora tutto il prodotto è nullo.
Il primo fattore si annulla per x=−1 ;
il secondo fattore: 2 x−3=0 ovvero 2 x=3 ovvero x=3 2 ; il terzo fattore x2+1>0 ∀ x ∈ℝ ;
il quarto fattore x3−8=0 ovvero x3=8 ovvero x=2 .
Ricapitolando, le soluzione di questa equazione sono x=−1∨x=3
2∨x=2 .
4
Risolvere la seguente disequazione:
(x+5)(x +3)≥( x+9)(x+1)
In questo caso invece (al contrario di quanto è accaduto nella risposta precedente) occorre eseguire le moltiplicazioni per poter applicare i principi di equivalenza.
x2+8 x +15≥x2+10 x+9
semplificando: 8 x−10 x>9−15 ovvero −2 x≥−6
applichiamo il secondo principio di equivalenza (ricordandoci che in questo caso, cambiando segno, dobbiamo anche invertire il simbolo di disuguaglianza).
x≤3
5
Un certo titolo di stato frutta un interesse del 3,7% annuo. La banca però trattiene da tali interessi la cifra fissa di 40 euro l'anno per rimborso spese. Un secondo titolo di risparmio, emesso direttamente dalla banca frutta invece un interesse netto del 3,2% l'anno e per esso non vengono chiesti rimborsi spese. Quanto capitale bisogna investire affinchè sia più conveniente il titolo di stato?
In questo problema l'incognita è proprio l'ammontare del capitale, dunque noi lo indicheremo con x.
Per il titolo di stato la banca ci dà il 3,7% di interessi ma ci prende 40 € di spese, dunque alla fine dell'anno il nostro capitale consisterà in x+ 3,7
100 x−40 .
Con il titolo della banca invece l'interesse è soltanto del 3,2% ma la banca non prende rimborsi spese, quindi alla fine dell'anno il nostro capitale sarà x+3,2
100 x .
Per decidere qual è il capitale da investire calcoliamo prima con quanto capitale le due rendite si equivalgono, impostiamo cioè l'equazione:
x+3,7
100x−40=x +3,2 100 x Risolviamola:
3,7−3,2
100 x=40 ovvero 0,5
100x=40 ovvero 1
200x=40 ovvero x=8000 .
Dunque fino ad 8000 € di investimento, conviene il titolo della banca, con 8000 € di investimento il ricavo è il medesimo e investendo più di 8000 € diventa conveniente il titolo di stato.
Se non siete convinti vi sottopongo questa tabella che può essere realizzata con un foglio elettronico.
Capitale
Rendimenti annuali titolo di stato titolo della banca
1000 -3 32
2000 34 64
3000 71 96
4000 108 128
5000 145 160
6000 182 192
7000 219 224
8000 256 256
9000 293 288
10000 330 320
