Non usare la penna rossa!Non usare la “cancellina”! 5 4 3 2 1

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VERIFICA DI MATEMATICA – 2^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 9 maggio 2019

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:

∣x−2 ∣+ ∣5−2 x ∣= x−1

2

Disequazioni con valore assoluto Risolvere la seguente disequazione:

∣

^x+1x

∣

^<1

3

Statistica

Le età dei giocatori titolari di una squadra di rugby sono le seguenti: 23, 24, 24, 25, 23, 22, 29, 24, 26, 28, 25, 26, 26, 22, 22. Rappresentare la distribuzione di frequenza mediante una tabella e anche un grafico. Determinare: l’età media, il campo di variazione, la deviazione standard.

4

Piano cartesiano

Disegnare nel piano cartesiano i punti seguenti. Poi calcolare il perimetro del quadrilatero formato dai punti medi dei segmenti AB, BC, CD, AD.

A(1 ;3) B(−2 ; 4) C (−4 ;−6) D(3 ;−5)

5

Disegnare nel piano cartesiano le rette con le seguenti equazioni:

r : y=2 x s : 2 y+ x−3=0 t : x=5 u : y=4

Successivamente determinare algebricamente le coordinate di tutti i punti di intersezione fra le rette.

(Si noti che le coppie di rette sono 6)

Valutazione

Obiettivi: riuscire a gestire la risoluzione di equazioni e disequazioni con valore assoluto; memorizzare le principali definzioni della statistica descrittiva; prendere confidenza con il piano cartesiano.

Riferimenti principali: capitoli 10,11 del libro di Algebra vol.1, capitolo 1 del libro di Algebra vol.2.

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova

Seguendo la pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

Non usare la penna rossa!

Non usare la “cancellina”!

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1

Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:

∣x−2 ∣+ ∣5−2 x ∣= x−1

Gli argomenti dei valori assoluti si annullano il primo con x=2 e il secondo con x=5 2 . Dunque divideremo la risoluzione in tre casi.

Caso I x≤2

L'equazione diventa 2−x+5−2 x= x−1 ovvero −3 x+7=x−1 ovvero −4 x=−8 e quindi arriviamo alla soluzione x=2 , che è proprio il valore di confine tra i casi (e che quindi presumibilmente ritroveremo anche nel caso successivo).

Caso II 2≤x≤5 2

L'equazione diventa x−2+5−2 x= x−1 ovvero −x+3= x−1 ovvero −2 x=−4 e quindi come avevamo previsto la soluzione è x=2 .

Caso III x≥5 2

L'equazione diventa x−2+2 x−5= x−1 ovvero 3 x−7=x−1 ovvero 2 x=6 e quindi ricaviamo in questo caso x=3 , valore che rientra nell'intervallo preso in considerazione, dunque accettabile.

Conclusione: le soluzioni richieste sono x=2∨x=3 .

Curiosità: è possibbile utilizzare un programma come GeoGebra per verificare che le nostre conclusioni siano giuste. Occorre però avere anche chiaro il concetto di equazione di una curva nel piano cartesiano.

Apriamo GeoGebra e tracciamo i grafici di queste due funzioni: y=∣ x−2 ∣+ ∣ 5−2 x ∣ y=x−1

Otteniamo questi grafici

Il primo membro dell'equazione è rappresentato da una spezzata che nel grafico è colorata in rosso. Il secondo membro è invece rappresentato da una retta, colorata in nero.

Si noti come i due grafici si intersechino in due punti, il primo di ascissa x=2 e il secondo di ascissa x=3

I punti con queste ascisse hanno la stessa ordinata sia come punto della spezzata che della retta.

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2

Disequazioni con valore assoluto Risolvere la seguente disequazione:

∣

^x+1x

∣

^<1

Non dimentichiamo mai di stabilire le condizioni di esistenza: in questo caso è molto facile:

x≠0 .

In base alla definizione di valore assoluto possiamo affermare che la disuguaglianza che ci è stata proposta è equivalente al sistema di disequazioni: −1< x+1

x <1 Risolviamo per prima la disequazione −1< x+1

x ovvero x+1

x >−1 . Applicando i principi di equivalenza otteniamo: x+1

x +1>0 ovvero 2 x+1 x >0 Numeratore e denominatore risultano concordi per x>0∨x<−1

2 e quindi per questi valori la disuguaglianza è verificata.

Risolviamo adesso l'altra disequazione x+1

x <1 ovvero x+1

x −1<0 ovvero 1

x <0 che è banalmente verificata per x<0 .

Intersecando le soluzioni delle due disequazioni otteniamo x<−1

2 che sono le soluzioni richieste.

Metodo alternativo di risoluzione.

Come al solito propongo anche una soluzione con una più netta distinzione in casi, seppure più farraginosa della precedente, ma più vicina al metodo utilizzato per casi più generali.

Dopo aver posto la condizione di esistenza x≠0 studio il segno dell'argomento del valore assoluto. Numeratore e denominatore sono concordi se x>0∨x<−1 e discordi per

−1<x<0 .

Nel caso x=−1 la disuguaglianza è verificata, quindi x=−1 è la nostra prima soluzione.

Casi x>0∨x<−1

La disequazione diventa x+1

x <1 ovvero ovvero x+1

x −1<0 ovvero 1

x <0 che è banalmente verificata per x<0 .

Intersecando questo intervallo con quelli presi in considerazione, x>0∨x<−1 , otteniamo le soluzioni x<−1

Caso −1<x<0

La disequazione diventa − x +1

x <1 ovvero x+1

x >−1 . Applicando i principi di equivalenza otteniamo: x+1

x +1>0 ovvero 2 x+1 x >0

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Numeratore e denominatore risultano concordi per x>0∨x<−1

2 , intersecando tale unione di intervalli che quello preso in considerazione, cioè −1<x<0 otteniamo le soluzioni

−1<x<−1 2

Conclusione: abbiamo separatamente osservato che sono insiemi di soluzioni gli intervalli:

x<−1 ; −1<x<−1

2 e abbiamo osservato in precedenza che anche x=−1 è soluzione.

Quindi possiamo sintetizzare l'insieme delle soluzioni scrivendo: x<−1 2 Verifica con GeoGebra.

Anche in questo caso possiamo verificare se la nostra soluzione è corretta utilizzando il programma GeoGebra. Disegnamo i grafici delle curve di equazione y=

∣

^x+1x

∣

y=1 . Otteniamo questi grafici:

Il grafico blu rappresenta il primo membro della disequazione, la retta orizzontale nera rappresenta il secondo membro della disequazione. Vedete anche una retta verticale tratteggiata, si tratta di x=−1

2 . In questo modo possiamo constatare che per le ascisse x<−1

2 il grafico blu è sempre al di sotto della retta orizzontale y=1 , ovvero le ordinate dei punti del grafico blu sono tutte più piccole di 1.

Allo stesso modo constatiamo che per le ascisse x≥−1

2 il grafico blu è sempre al di sopra della retta orizzontale e quindi le ordinate dei punti del grafico blu, sono maggiori di 1. Unica eccezione è il punto (−1

2;1) che rappresenta l'uguaglianza tra i due membri della disequazione.

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3

Statistica

Le età dei giocatori titolari di una squadra di rugby sono le seguenti: 23, 24, 24, 25, 23, 22, 29, 24, 26, 28, 25, 26, 26, 22, 22. Rappresentare la distribuzione di frequenza mediante una tabella e anche un grafico.

Determinare: l’età media, il campo di variazione, la deviazione standard.

Può essere molto comodo l'utilizzo di un foglio elettronico.

Utilizzando soltanto carta, penna e calcolatrice, elaboriamo i dati che ci sono stati forniti e cominciamo a compilare una tabella che associ ad ogni età la sua frequenza assoluta. (La frequenza relativa non è richiesta e non ci è utile, nelle tabelle elaborate col foglio elettronico c'è soltanto per completezza e perché non occorre fatica per calcolarla).

L'età media è ovviamente la media aritmetica delle età di tutti i giocatori e risulta 24,6.

Il campo di variazione è la differenza tra l'età massima e quella minima, quindi 29 – 22 = 7

Per calcolare lo scarto semplice medio occorre calcolare tutti gli scarti, ovvero i valori assoluti delle differenza tra le singole età e l'età media. Potete vedere i valori nella seconda tabella.

Lo scarto semplice medio è la media aritmetica degli scarti e risulta circa 1,70.

(Praticamente nella media aritmetica già calcolata prima sostituiamo le età di ciascuno con lo scarto di ciascuno: ad ogni giocatore corrisponde un'età e quindi anche uno scarto).

Non ci è stata richiesta la varianza, ma è comunque un passaggio necessario per calcolare la deviazione standard. Ci servono prima di tutto gli scarti quadratici, ovvero gli scarti al quadrato.

Anche questi li potete leggere nella seconda tabella. La varianza è la media aritmetica degli scarti quadratici (attenzione: a ogni giocatore corrisponde uno scarto quadratico!) e risulta 4,24.

La deviazione standard è semplicemente la radice quadrata della varianza e risulta circa 2,06.

Nella pagina successiva potete vedere una rappresentazione grafica per istogrammi, ottenuta con il foglio elettronico di OpenOffice.org

età freq.ass. freq.rel.

22 3 20,00% età media: 24,6

23 2 13,33% campo di variazione: 7

24 3 20,00% scarto semplice medio 1,7066666667

25 2 13,33% varianza: 4,24

26 3 20,00% deviazione standard 2,0591260282

28 1 6,67%

29 1 6,67%

15 100,00%

età scarti sem. scarti qua.

22 2,6 6,76

23 1,6 2,56

24 0,6 0,36

25 0,4 0,16

26 1,4 1,96

28 3,4 11,56

29 4,4 19,36

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4

Disegnare nel piano cartesiano i punti seguenti. Poi calcolare il perimetro del quadrilatero formato dai punti medi dei segmenti AB, BC, CD, AD.

A(1 ;3) B(−2 ; 4) C (−4 ;−6) D(3 ;−5)

Può essere utile il programma GeoGebra. Accanto vedete la figura realizzata con tale programma.

Occorre calcolare le coordinate dei quattro punti medi, nominati, nello stesso ordine della domanda, E,F,G,H.

Utilizziamo le formule x_M=x_A+x_B

2 ; y_M=y_A+y_B

2 avendo

indicato con M il punto medio di A e B.

Applicando tale formula ai nostri casi abbiamo:

E (−1 2;7

2) F (−3 ;−1) G(−1 2;−11

2 ) H (2 ;−1)

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5

Disegnare nel piano cartesiano le rette con le seguenti equazioni:

r : y=2 x s : 2 y+ x−3=0 t : x=5 u : y=4

Successivamente determinare algebricamente le coordinate di tutti i punti di intersezione fra le rette. (Si noti che le coppie di rette sono 6)

Può essere utile il programma Geogebra, di seguito l'immagine realizzata.

Per disegnare la retta s è opportuno passare all'equazione esplicita:

y=−1 2x+3

2

Fra l'altro ci rendiamo pure conto che è perpendicolare alla r.

Per quanto riguarda le intersezioni, è facile ricavare le intersezioni di r ed s con le rette t ed u.

Le intersezioni con la retta t:

B(5 ; 4); E (5 ;−1); F (5 ;10) Le intersezioni con la retta u:

C (2 ;4); D(−5 ; 4); B(5 ;4)

Manca soltanto il punto intersezione tra le rette r ed s. Potremmo risolvere un sistema!

{

^y=−^{y=2 x}¹²^x+³² Utilizzando il metodo del confronto: 2 x=−1 2 x+3

2 ovvero 4 x=−x+3 ovvero x=3

5 e di conseguenza y=6 5

Il punto di intersezione ancora mancante è A(3 5;6

5)