VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 21 marzo 2019
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1
Scomposizione di polinomi in fattori.
Scomponi in fattori i seguenti polinomi (o espressioni algebriche che possono essere trasformate in polinomi).
x2−9+12 y−4 y2 ; 4 a2(x−1)−12 a (1−x)+9 x−9
2
Frazioni algebriche.
Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo averne determinato le condizioni di esistenza.
a x2−9 a−b x2+9 b
a x+3 a−b x−3 b ; 36 x2−16 6 x +4
3
Equazioni.
Risolvere la seguente equazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):
x−5
x+3+2 x−7
x−4 =3− 6 x−31 x2−x−12
4
Disequazioni.
Risolvere la seguente disequazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):
1
x−3+ 5
2 x+2≤ 3 3+2 x−x2
5
Equazioni con valore assoluto.
Risolvere la seguente equazione con valore assoluto discutendo dettagliamente i vari casi.
∣2 x−3∣+x−4=0
Obiettivi: riuscire a risolvere equazioni e disequazioni affrontandole come problemi e non come esercizi. Gli argomenti si trovano nei capitolo 6 “Scomposizione in fattori di un polinomio”; 7
“Frazioni algebriche”; 8 “equazioni”; 9 “disequazioni” ; 10 “valore assoluto”
Valutazione
Griglia di valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova
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Non usare la “cancellina”!
Non usare la penna rossa!
1
Scomposizione di polinomi in fattori.Scomponi in fattori i seguenti polinomi (o espressioni algebriche che possono essere trasformate in polinomi).
x2−9+12 y−4 y2 ; 4 a2(x−1)−12 a (1−x)+9 x−9 Si osservi che (2 y−3)2=4 y2−12 y+9
Quindi possiamo scrivere x2−9+12 y−4 y2=x2−(2 y−3)2=(x+2 y−3)( x−2 y+3) Passiamo ora al secondo polinomio:
4 a2(x−1)−12 a (1−x)+9 x−9=4 a2(x−1)+12 a (x−1)+9 (x−1)=(x−1)(4 a2+12 a+9)=...
...=( x−1)(2 a+3)2
Essendo (2 a+3)2=4 a2+12 a+9
2
Frazioni algebriche.
Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo averne determinato le condizioni di esistenza.
a x2−9 a−b x2+9 b
a x+3 a−b x−3 b ; 36 x2−16 6 x +4
a x2−9 a−b x2+9 b a x+3 a−b x−3 b
Il denominatore si fattorizza abbastanza facilmente con il raccoglimento parziale:
a x+3 a−b x−3 b=a( x+3)−b (x+3)=(x+3)(a−b)
Grazie a questa fattorizzazione possiamo porre le condizioni di esistenza: x≠−3∧a≠b Altrettanto agevolmente utilizziamo il raccoglimento parziale anche per il numeratore:
a (x2−9)−b( x2−9)=(a−b)( x2−9)=(a−b)( x+3)( x−3) Ricapitolando:
a x2−9 a−b x2+9 b
a x+3 a−b x−3 b =(a−b)(x+3)( x−3) (a−b)( x+3) =x−3 Passiamo ora all'altra frazione: 36 x2−16
6 x +4 La condizione di esistenza è x≠−2
3
Al numeratore applichiamo il “somma per differenza”
36 x2−16
6 x +4 =(6 x+4)(6 x−4)
6 x+4 =6 x−4
3
Equazioni.
Risolvere la seguente equazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):
x−5
x+3+2 x−7
x−4 =3− 6 x−31 x2−x−12
Non dimentichiamo le condizioni di esistenza. A causa del primo denominatore deve essere x≠−3
A causa del secondo denominatore deve essere x≠4 .
Si osservi1 infine che il terzo denominatore è x2−x−12=(x+3)(x−4) . Riassumendo, le condizioni di esistenza sono x≠−3∧x≠4 .
Adesso passiamo alla risoluzione dell'equazione. Scrivo tutte le frazioni con lo stesso denominatore.
(x−5)(x−4)
(x+3)( x−4)+(2 x−7)(x+3)
(x−4)(x +3) =3 x2−3 x−36−6 x+31 x2−x−12 A questo punto posso disinteressarmi del denominatore.
x2−5 x−4 x+20+2 x2−7 x +6 x−21=3 x2−9 x−5
Come ci aspettavamo i quadrati di x si eliminano tra di loro.
−x−1=−5 ovvero x=4
Questa soluzione però è in contraddizione con le condizioni di esistenza e quindi non è accettabile.
L'equazione è impossibile.
1 Qualcuno si chiederà: ma come faccio ad arrivarci? Una volta stabilite le prime due condizioni di esistenza osservo che anche il terzo denominatore si annulla per x=4 e x=-3, da cui, per il teorema di Ruffini, segue la fattorizzazione che abbiamo scritto. Confidiamo anche sul fatto che negli esercizi di scuola spesso e volentieri va a finire così.
4
Disequazioni.
Risolvere la seguente disequazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):
1
x−3+ 5
2 x+2≤ 3 3+2 x−x2
Non dimentichiamo le condizioni di esistenza: a causa del primo denominatore deve essere x≠3 A causa del secondo denominatore deve essere x≠−1 .
Infine osserviamo che (come spesso accade) il terzo denominatore 3+2 x−x2=(3−x )(x+1) Ricapitolando le condizioni di esistenza sono: x≠3∧x≠−1 .
Passiamo ora a risolvere la disequazione: iniziamo riconducendo tutto allo stesso denominatore.
2( x+1)
2(x−3)( x+1)+ 5(x−3)
2(x+1)(x−3)≤ −6 2 ((x−3)( x+1))
Essendo una disequazione non ci dobbiamo disfare del denominatore.
2 x+2+5 x−15+6
2(x−3)( x+1) ≤0 ovvero 7 x−7
2(x−3)( x+1)≤0 ovvero 7( x−1) 2(x−3)( x+1)≤0 Per capire meglio in quale situazione ci ritroviamo, può risultare molto utile fare una mappa:
Grazie a questa mappa ci rendiamo conto la disequazione è soddisfatta per x<−1 dove i tre binomi sono tutti negativi e quindi la frazione risulta negativa e anche per 1≤x<3 dove i tre binomi sono discordi, ma con due positivi e uno negativo e quindi la frazione risulta negativa.
Ricapitolando le soluzioni sono:
x<−1∧1≤x <3 .
5
Equazioni con valore assoluto.
Risolvere la seguente equazione con valore assoluto discutendo dettagliamente i vari casi.
∣2 x−3∣+x−4=0
L'argomento del valore assoluto si annulla per x=3
2 . Studiamo separatamente questi due casi.
Caso I x<3 2
L'equazione diventa: −2 x+3+x−4=0 ovvero −x−1=0 da cui x=−1 che è accettabile Caso II x>3
2
L'equazione diventa: 2 x−3+x−4=0 ovvero 3 x−7=0 da cui x=7
3 che è accettabile.
Conclusione: le soluzioni sono: x=−1 e x=7 3
