Non usare la penna rossa!Non usare la “cancellina”! 5 4 3 2 1

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VERIFICA DI MATEMATICA – 2^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 28 marzo 2019

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Geometria

Dimostrare che una retta passante per il baricentro di un triangolo e parallela ad un lato, interseca gli altri due lati in due punti che sono estremi di un segmento congruente ai due terzi del primo lato.

(Esercizio n.39 pag.360 Geometria; il baricentro è il punto di incontro delle mediane)

2

Equazioni e geometria

Un poligono ha 12 lati, la somma degli angoli interni è 1800° e gli angoli sono congruenti quattro a quattro (identificando così tre gruppi di angoli congruenti tra loro). Gli angoli del primo gruppo superano di 10° quelli del secondo gruppo; quelli del terzo gruppo sono il triplo di quelli del secondo gruppo. Determinare l'ampiezza degli angoli del poligono.

3

Equazioni e economia

Un responsabile delle pubbliche relazioni (PR) riceve due proposte di lavoro da due diverse discoteche.

• Proposta A: 500 € al mese più 5 € per ogni cliente procurato a serata.

• Proposta B: 750 € al mese più il 10% sugli ingressi di ogni cliente da lui procurato a serata (il costo del biglietto d'ingresso è 25 €).

Quanti sono i clienti che il PR dovrebbe procurarsi per fare in modo che sia più conveniente la proposta A?

4

Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:

∣x−2∣−2∣2 x−3∣=1−3 x

5

Disequazioni con valore assoluto Risolvere la seguente disequazione:

∣

2 x+1^{2 x}

∣

^<1

Valutazione

Obiettivi: mantenimento degli argomenti di geometria; ripresa di equazioni e disequazioni collegandoli a problemi vari. Riuscire a gestire la risoluzione di equazioni e disequazioni con valore assoluto.

Riferimenti principali: capitolo 8 del libro di Geometria; capitolo 10 del libro di Algebra vol.1

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova

Seguendo la pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

Non usare la penna rossa!

Non usare la “cancellina”!

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1

Geometria

Dimostrare che una retta passante per il baricentro di un triangolo e parallela ad un lato, interseca gli altri due lati in due punti che sono estremi di un segmento congruente ai due terzi del primo lato.

(Esercizio n.39 pag.360 Geometria; il baricentro è il punto di incontro delle mediane)

Ipotesi: ABC triangolo; G suo baricentro;

E, D, F punti medi dei lati;

HI∥AC ;G∈HI

Tesi: HI =2 3 AC Dimostrazione:

Per la dimostrazione occorre richiamare il teorema del baricentro [teorema 26 pagina 200], o meglio un suo corollario che però non è stato esplicitato nel nostro libro di testo. Il teorema citato infatti dice che le mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto “baricentro”. Nel corso della dimostrazione viene dimostrato e utilizzato il fatto che le mediane vengono divise dal baricentro in due segmenti, uno doppio dell'altro o, se preferite, in due segmenti che sono due terzi e un terzo di tutta la mediana.

Tutta questa premessa è solo per dire che sappiamo già: BG≡2 3 BF

Un'altra cosa che sappiamo già è che nei triangoli simili le mediane sono proporzionali ai lati (tenendo conto di tutte le corrispondenze) [teorema 1 pagina 334]. Nel nostro caso, consideriamo i triangoli ABC e BHI, si osserva facilmente che sono simili, infatti, per il teorema fondamentale delle parallele tagliate da una trasversale gli angoli:

^̂^BHI≡̂_̂ ^BAC BIH≡̂BCA E quindi i triangoli ABC e BHI sono simili per il primo criterio.

Osserviamo adesso che G è il punto medio del lato HI.

A questo si arriva osservando che, in modo analogo a quanto detto sopra, sono simili anche il triangolo BHG al triangolo BAF e il triangolo BGI al triangolo BFC.

Dunque per la prima similitudine abbiamo la proporzione HG AF=BG

BF ; per la seconda similitudine abbiamo la proporzione GI

FC=BG BF ; per proprietà transitiva HG

AF=GI

FC e siccome AF≡FC ne segue che HG≡GI .

Dunque BG è mediana del triangolo BHI con G punto medio del lato HI, in corrispondenza con la mediana AF con F punto medio del lato AC. Dalla similitudine dei triangoli segue dunque che le mediane sono proporzionali ai lati corrispondenti e quindi BG

BF= HI AC . Ma avevamo osservato prima che BG

BF=2

3 e quindi abbiamo HI AC=2

3 che è la tesi.

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Equazioni e geometria

Un poligono ha 12 lati, la somma degli angoli interni è 1800° e gli angoli sono congruenti quattro a quattro (identificando così tre gruppi di angoli congruenti tra loro). Gli angoli del primo gruppo superano di 10° quelli del secondo gruppo; quelli del terzo gruppo sono il triplo di quelli del secondo gruppo. Determinare l'ampiezza degli angoli del poligono.

Sembra geometria, ma in realtà è algebra.

Quello che ci serve sapere nell'ambito della geometria è che un poligono con 12 lati ha anche 12 angoli (ma si capisce anche dal testo). Questi 12 angoli hanno soltanto tre ampiezze possibili che noi chiameremo α ;β ; γ , distribuite in parti uguali (quattro a quattro).

In sintesi sappiamo che 4 α+4β+4 γ=1800 (misurando gli angoli in gradi).

Abbiamo anche altre informazioni: quelli del primo gruppo superano di 10 quelli del secondo gruppo, ovvero α=β+10 .

Sappiamo anche che quelli del terzo gruppo sono il triplo di quelli del secondo gruppo, ovvero che γ=3β .

Insomma, abbiamo un sistema di tre equazioni e tre incognite:

{

4 α+4β+4 γ=1800 α=β+10

γ=3β

.

Risolvere questo sistema è molto facile, in un certo senso ce lo hanno dato già pronto per applicare il metodo di sostituzione nella prima equazione.

4 (β+10)+4 β+4 (3β)=1800 4 β+40+4β+12 β=1800

20 β=1760

β=88

{

^γ=264^α=98^β=88

Dunque il poligono ha quattro angoli di ampiezza 98°, quattro angoli di ampiezza 88° e quattro angoli di ampiezza 264°

Approccio alternativo:

Il metodo di sostituzione poteva essere applicato (più o meno consapevolmente) già a monte:

chiamo x gli angoli del secondo gruppo, da cui segue che quelli del primo gruppo sono x+10 e quelli del terzo gruppo sono 3x. A questo punto ho subito un'unica equazione:

4 (x+10+x+3 x )=1800 che risolvo facilmente 20 x+40=1800

20 x =1760 x=1760

20 x =88

Ovviamente le conclusioni devono essere esplicitate come sopra, cioè dobbiamo rispondere che il poligono ha quattro angoli di ampiezza 98°, quattro angoli di ampiezza 88° e quattro angoli di ampiezza 264°.

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Equazioni e economia

Un responsabile delle pubbliche relazioni (PR) riceve due proposte di lavoro da due diverse discoteche.

• Proposta A: 500 € al mese più 5 € per ogni cliente procurato a serata.

• Proposta B: 750 € al mese più il 10% sugli ingressi di ogni cliente da lui procurato a serata (il costo del biglietto d'ingresso è 25 €).

Quanti sono i clienti che il PR dovrebbe procurarsi per fare in modo che sia più conveniente la proposta A?

Chiamiamo x il numero di clienti procurati dal PR in un mese.

Secondo la proposta A, alla fine del mese il PR riscuote 500+5 x Secondo la proposta B, alla fine del mese il PR riscuote 750+25 x

10

Perché sia più conveniente la proposta A occorre risolvere la disequazione 500+5 x >750+25 x 10 O se preferite dall'equazione 500+5 x =750+25 x

10 otteniamo il numero di clienti per cui le due proposte si equivalgono e successivamente ci ragioniamo per rispondere alla domanda.

[Effettivamente sarebbe stato più corretto intitolare “disequazioni ed economia”]

Risolviamo la disequazione:

5 x−5

2 x>750−500 ovvero 5

2 x>250 ovvero x>2

5250 ovvero x>100 .

Con 100 clienti le due proposte si equivalgono, la proposta A è migliore sopra i 100 clienti procurati.

La risposta può chiudersi anche qui. Per gli scettici mostro anche una tabella realizzata su foglio elettronico che fa un confronto tra le due proposte al variare del numero dei clienti procurati dal PR.

clienti proposta A proposta B

25 € 625,00 € 812,50

50 € 750,00 € 875,00

75 € 875,00 € 937,50

100 € 1.000,00 € 1.000,00

125 € 1.125,00 € 1.062,50

150 € 1.250,00 € 1.125,00

175 € 1.375,00 € 1.187,50

200 € 1.500,00 € 1.250,00

225 € 1.625,00 € 1.312,50

250 € 1.750,00 € 1.375,00

275 € 1.875,00 € 1.437,50

300 € 2.000,00 € 1.500,00

325 € 2.125,00 € 1.562,50

350 € 2.250,00 € 1.625,00

400 € 2.500,00 € 1.750,00

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4

Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:

∣x−2∣−2∣2 x−3∣=1−3 x

Gli argomenti dei due valori assoluti si annullano per x=2 e per x=3 2 . Dunque esamineremo tre casi.

Caso I x<3 2

Gli argomenti sono entrambi negativi, quindi l'equazione diventa:

2−x−2(3−2 x )=1−3 x 2−x−6+4 x=1−3 x

−x+4 x+3 x=1−2+6 6 x=5

x =5 6 Essendo 5

6<3

2 possiamo accettarla.

Caso II 3

2≤x<2

Il primo argomento è ancora negativo, l'altro è positivo, quindi l'equazione diventa:

2−x−2(2 x−3)=1−3 x 2−x−4 x+6=1−3 x

−x−4 x+3 x=1−2−6

−2 x=−7 x=7

2 Ma essendo 7

2>2 tale soluzione non è accettabile.

Caso III x>2

Entrambi gli argomenti sono positivi, quindi l'equazione diventa:

x−2−2(2 x−3)=1−3 x x−2−4 x+6=1−3 x x−4 x+3 x=1+2−6

0=−3

In questo caso l'equazione risulta impossibile.

Conclusione: abbiamo trovato una sola soluzione x=5 6

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Disequazioni con valore assoluto Risolvere la seguente disequazione:

∣

2 x+1^{2 x}

∣

^<1

Prima di tutto stabiliamo le condizioni di esistenza: 2 x+1≠0 ovvero x≠−1 2

Da qui in avanti si può procedere in tanti modi diversi, se partiamo considerando il valore assoluto:

2 x

2 x+1>0 con x>0∨x<−1 2

Caso I x≥0 . La disequazione diventa 2 x

2 x+1<1 ovvero 2 x

2 x+1−1<0 ovvero

−1

2 x+1<0 ovvero x>−1 2 .

Dunque sono accettabili tutte le soluzioni x≥0 Caso II −1

2<x<0 . La disequazione diventa 2 x

2 x+1>−1 ovvero 2 x

2 x+1+1>0 ovvero 4 x+1

2 x+1>0 ovvero x<−1 2∨−1

4<x <0 . Di queste soluzioni rientrano nel caso soltanto quelle tali che −1

4<x<0 Caso III x<−1

2 identico al caso I per lo svolgimento, ma non ci porta ulteriori soluzioni.

Conclusione: le soluzioni richieste sono tutte quante le x>−1 4