Non usare la “cancellina”!Non usare la penna rossa! 5 4 3 2 1

VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 4 aprile 2019

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Frazioni algebriche.

Calcolare la seguente somma algebrica, dopo avere determinato le condizioni di esistenza.

1

y²−x−3 y 3 x²y+ 1

4 x y²−12 x−4 y +3

12 x y²

2

Equazioni.

Risolvere la seguente equazione rispetto a x, al variare del parametro a (senza dimenticare le condizioni di esistenza):

a+ x

4−4 a+a²− 1

a−3+ 3+ x a²−5 a+6=0

3

Disequazioni.

Risolvere la seguente disequazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):

x²−1 x²−2 x−3>0

4

Disequazioni con valore assoluto.

Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto, discutendo dettagliamente i vari casi.

∣

∣

5

Statistica

Si è svolta una prova di matematica in classe e i voti ottenuti dagli alunni sono stati i seguenti:

3 – 8 – 5 – 4 – 6 – 6 – 7 – 6 – 5 – 9 – 4 – 5 – 6 – 8 – 7 – 7 – 6 – 5 – 7 – 6

Rappresentare mediante una tabella le frequenze assolute e relative. Raffigurare la distribuzione dei voti mediante un istogramma. Determinare media aritmetica, moda, mediana, varianza e deviazione standard.

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Obiettivi: riuscire a risolvere equazioni e disequazioni affrontandole come problemi e non come esercizi. Gli argomenti si trovano nei capitolo 7 “Frazioni algebriche”; 8 “equazioni”; 9

“disequazioni” ; 10 “valore assoluto” ; 11 “statistica descrittiva”.

Valutazione

Griglia di valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova

Seguendo la pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

Non usare la “cancellina”!

Non usare la penna rossa!

1

Frazioni algebriche.

Calcolare la seguente somma algebrica, dopo avere determinato le condizioni di esistenza.

1

y²−x−3 y 3 x² y+ 1

4 x y²−12 x−4 y +3

12 x y²

Per fare in modo che le frazioni abbiano senso occorre che x≠0∧y≠0 .

Detto questo, cerchiamo di scrivere l'espressione sottoforma di un'unica frazione algebrica. Occorre individuare un denominatore comune.

Si osservi che il minimo comune multiplo dei denominatori è _{12 x}²_y² , sarà dunque questo il nostro denominatore comune.

1

y²−x−3 y 3 x²y+ 1

4 x y²−12 x−4 y +3

12 x y² =12 x²−(x−3 y)4 y+3 x−(12 x−4 y+3) x

12 x²y² =...

...=12 x²−4 x y +12 y²+3 x−12 x²+4 x y−3 x

12 x²y² = 12 y²

12 x²y²= 1 x²

2

Equazioni.

Risolvere la seguente equazione rispetto a x, al variare del parametro a (senza dimenticare le condizioni di esistenza):

a+ x

4−4 a+a²− 1

a−3+ 3+ x a²−5 a+6=0

Al denominatore non compare mai l'incognita x, ma compare il parametro a. Dobbiamo comunque stabilire delle condizioni di esistenza sul parametro a.

Si osservi che il primo denominatore 4−4 a+a²=(a−2)² e che il secondo a²−5 a+6=(a−2)(a−3) .

Dunque, perché le frazioni abbiano senso, occorre che a≠2∧a≠3 . In tali condizioni, nessuno dei tre denominatori è nullo.

Visto che ci è stato chiesto di risolvere l'equazione al variare del parametro a, dobbiamo rispondere (intanto) che per a=2∨a=3 l'equazione non ha soluzioni.

Andiamo adesso a vedere cosa succede con a≠2∧a≠3 .

Dallo studio delle condizioni di esistenza “ereditiamo” le fattorizzazioni dei denominatori:

a+ x (a−2)²− 1

a−3+ 3+ x

(a−2)(a−3)=0

Il minimo comune multiplo dei denominatori è (a−2)²(a−3) , quindi lo prendiamo come denominatore comune.

(a+ x)(a−3)−(a−2)²+(3+ x)(a−2)

(a−2)²(a−3) =0

A questo punto possiamo anche disinteressarci del denominatore e concentrarci sul numeratore.

a²+a x−3 a−3 x−a²+4 a−4+3 a−6+a x−2 x=0

Svolgendo i calcoli tra monomi simili: 2 a x−5 x+4 a−10=0

Usando la nostra abilità nel raccoglimento parziale: (2 a−5) x+2(2 a−5)=0 Ovvero (2 a−5)( x+2)=0

Applichiamo il principio di annullamento del prodotto e osserviamo subito che con a=5 2 l'equazione risulta indeterminata.

Per tutti gli altri valori di a , ovvero con a≠2∧a≠3∧a≠5

2 la soluzione dell'equazione è necessariamente x=−2

Ricapitolando:

• se a=2∨a=3 l'equazione non ha senso;

• se a=5

2 l'equazione è indeterminata;

• se a≠2∧a≠3∧a≠5

2 l'equazione ha soluzione x=−2 .

3

Disequazioni.

Risolvere la seguente disequazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):

x²−1 x²−2 x−3>0

Si osservi che il denominatore x²−2 x−3=( x+1)( x−3) , dunque perché la frazione abbia senso occorre che x≠−1∧x≠3 .

Detto questo, utilizziamo la fattorizzazione osservata anche per semplificare la frazione algebrica:

al denominatore applico la fattorizzazione già vista, mentre al numeratore applico il prodotto notevole “somma per differenza”.

(x+1)(x−1) (x+1)(x−3)>0

Siamo nelle condizioni di poter semplificare (x−1)

(x−3)>0 . Si osserva abbastanza facilmente (eventualmente ci si può aiutare con una mappa) che tale disuglianza è verificata per x>3∨x <1∧x≠−1 ovvero per i valori di x per cui numeratore e denominatore sono concordi.

Nota: qualcuno potrebbe lamentarsi di non riuscire a fattorizzare il denominatore, all'inizio del nostro svolgimento. Mi permetto di dare qualche consiglio utile in tal senso, ragionando in modo scolastico, più che matematico.

• Ci si rende conto facilmente che il numeratore x²−1=( x+1)( x−1) .

• In genere, negli esercizi dei libri, queste frazioni si possono semplificare, dunque il denominatore deve essere divisibile per uno di quei due fattori: (x+1) oppure (x−1)

• Ruffini ci assicura che un polinomio che su annulla per x=a è divisibile per (x−a) .

• Verifico se il denominatore si annulla per x=−1 oppure x=1 .

• Nel caso specifico si annulla per x=−1

• Dunque il denominatore è divisibile per (x+1)

• Sempre grazie a Ruffini posso calcolare i quozienti.

• Finalmente mi rendo conto che x²−2 x−3=(x +1)( x−3)

Se poi qualcuno volesse fattorizzare il denominatore, ignorando il numeratore, potrebbe ragionare in questo modo:

• il cofficiente di _x² è 1 quindi il coefficiente di x è l'opposto della somma delle radici del polinomio e il termine noto è il prodotto delle radici;

• per ottenere come prodotto −3 abbiamo due possibilità: (−1)(+3)=(+1)(−3)=−3 ;

• di queste due possibilità, una è quella che mi dà +2 come somma: 3+(−1)=2 ;

• a questo punto è chiaro che x²−2 x+3=(x−3)( x+1)

4

Disequazioni con valore assoluto.

Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto, discutendo dettagliamente i vari casi.

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∣

Osserviamo subito che la frazione ha senso soltanto se x≠−1 .

Adesso studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto in modo tale da suddividere il nostro studio in più casi.

Si osservi che x−3

x+1≥0 se x<−1∨x≥3 mentre x−3

x+1<0 se −1<x<3 . Caso 1: x<−1∨x≥3

La disequazione diventa x−3

x+1−2>0 ovvero x−3−2( x+1)

x +1 >0 ovvero x−3−2 x−2 x+1 >0 ovvero −x−5

x+1 >0 ovvero −x+5

x+1>0 ovvero x+5 x+1<0

Facendo una piccola mappa dei segni ci rendiamo conto facilmente che questa ultima disuguaglianza risulta verificata per −5<x<−1 . Questo insieme di soluzioni è completamente contenuto nell'insieme delle x che stiamo prendendo in considerazione.

Caso 2: −1<x<3

La disequazione diventa −x−3

x+1−2>0 ovvero −x+3−2(x+1)

x+1 >0 ovvero

−x+3−2 x−2

x+1 >0 ovvero −3 x+1 x +1 >0

Anche in questo caso, ci basta una piccola mappa dei segni per osservare che le soluzioni della disequazione in generale sono le x tali che

−1<x<1

3 e questo insieme di soluzioni è pure completamente contenuto nell'insieme delle x che stiamo prendendo in considerazione.

Conclusione:

Le soluzioni richieste sono le x tali che −5<x<−1∨−1<x<1 3

Approccio alternativo:

Qualcuno un po' più disinvolto potrebbe risolvere la disequazione in questo modo.

Posto che deve essere x≠−1 , trasportiamo subito il “2” a secondo membro:

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∣

A questo punto, per la definizione di valore assoluto possiamo affermare che x−3

x+1>2∨x−3

x+1<−2 .

Le due disequazioni sono proprio quelle del caso 1 e del caso 2 dello svolgimento precedente.

Dunque da questo momento in poi lo svolgimento è praticamente lo stesso.

5

Statistica

Si è svolta una prova di matematica in classe e i voti ottenuti dagli alunni sono stati i seguenti:

3 – 8 – 5 – 4 – 6 – 6 – 7 – 6 – 5 – 9 – 4 – 5 – 6 – 8 – 7 – 7 – 6 – 5 – 7 – 6

Rappresentare mediante una tabella le frequenze assolute e relative. Raffigurare la distribuzione dei voti mediante un istogramma. Determinare media aritmetica, moda, mediana, varianza e deviazione standard.

Contando (con le dita) osserviamo che il numero totale dei voti attribuiti è 20. Questo totale ci servirà per calcolare le varie medie. La tabella seguente risponde ad alcune delle domande:

Nelle frequenze assolute abbiamo indicati quanti voti sono stati assegnati per ogni valore, nella riga delle frequenze relative abbiamo calcolato le percentuali.

Un istogramma che rappresenta tale distribuzione potrebbe questo nella figura accanto.

Adesso passiamo alla terza parte delle domande, la moda è il dato più ricorrente, quindi 6 che ricorre per 6 volte.

Per calcolare la mediana, essendo 20 i voti assegnati, dobbiamo calcolare la media aritmetica tra il decimo e l'undicesimo voto, in ordine di grandezza. Se osservate attentamente la tabella, potrete notare che i 7 voti più bassi sono 3,4,5 mentre dall'ottavo al quattordicesimo sono tutti 6, in particolare anche il decimo e l'undicesimo, quindi la mediana è 6.

Il calcolo della media aritmetica è sicuramente una cosa nota fin dai tempi delle scuole elementari,

Voti: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frequenze assolute: 0 0 1 2 4 6 4 2 1 0

Frequenze relative: 0,00% 0,00% 5,00% 10,00% 20,00% 30,00% 20,00% 10,00% 5,00% 0,00%

dobbiamo comunque fare attenzione al fatto che gli stessi voti sono stati attribuiti due volte, la media aritmetica dobbiamo calcolarla rispetto a tutti 20 voti assegnati.

3×1+4×2+5×4+6×6+7×4+8×2+9×1

20 =6 La media aritmetica è 6.

Per calcolare varianza e deviazione standard ci occorrono gli scarti quadratici, aggiorniamo la nostra tabella con ulteriori tre righe:

Nelle righe aggiunte (colorate di grigio) potete vedere gli scarti (ovvero la differenza tra il dato singolo e la media aritmetica, in valore assoluto) e gli scarti quadratici (gli scarti elevati alla seconda).

La varianza è la media aritmetica degli scarti, e ricordiamoci bene che gli scarti sono tanti quanti i voti assegnati, cioè 20.

σ²=9×1+4×2+1×4+0×6+1×4+4×2+9×1

20 =2,1

Infine calcoliamo la deviazione standard (detta anche scarto quadratico medio), calcolando semplicemente la radice quadrata della varianza.

σ=

√

Ricapitolando:

Voti: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frequenze assolute: 0 0 1 2 4 6 4 2 1 0

Frequenze relative: 0,00% 0,00% 5,00% 10,00% 20,00% 30,00% 20,00% 10,00% 5,00% 0,00%

Scarti: 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

Scarti quadratici: 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16

6 6 6 2,1 1,449138 Media aritmetica:

Moda:

Mediana:

Varianza:

Deviazione standard: