7. Esercizi di Geometria 2 (Semestre Estivo 2017) Dr. Matteo Penegini Dr. Ettore Carletti

7. Esercizi di Geometria 2

(Semestre Estivo 2017)

Dr. Matteo Penegini Dr. Ettore Carletti

Esercizio 1. Identificare con gruppi conosciuti i gruppi dati dalle presentazioni seguenti:

< x, y|x², y² >,

< x, y, x|x² = y, y² = z >,

< x₁, x₂, x₃|x³₁, x²₂, x²₃, x⁻¹₁ x₂x₁ = x₃, x⁻¹₁ x₃x₁ = x₂x₃ > .

Esercizio 2. Sia p : E → X un rivestimento. Provare che se E `e compatto e X

`

e T1 allora il rivestimento ha grado finito.

Esercizio 3. Provare che la mappa

p : R × (0, +∞) → R²\ (0, 0), P (x, t) = t(cos(2πx), sin(2πx))

`

e un rivestimento.

Esercizio 4. Sia E → X un rivestimento. Provare che:^p (1) Se X `e di Hausdorff allora E `e di Hausdorff.

(2) Se X `e una variet`a di dimensione n allora E `e una variet`a di dimensione n.

(3) Se E `e una variet`a di dimensione n e X `e di Hausdorff allora X `e una variet`a di dimensione n.

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