Compito di Geometria 2
11/06/2019 tempo 2h 30m
Prof. Matteo Penegini, Prof. Arvid Perego
Si risolvano gli esercizi 1 e 2 su due fogli a protocollo distinti.
Esercizio 1. Si consideri il cubo C di lato 1 e vertici (±12, ±12, ±12) nel sistema di riferimento di R3 cn coordinate (x, y, , z). Si consideri l’ottaedro O inscritto in C con i vertici al centro di ogni faccia di C. Sia X := C ∪ O.
(1) Si provi che X `e connesso per archi.
(2) Si calcoli π1(X).
(3) Si consideri ora X con le facce vuote, ossia consideriamo Y l’insieme dei lati di X. Su Y agisce un gruppo finito G di isometrie. Si considerino i seguenti sottogruppi di G: H ∼= Z/2 delle rotazioni di π attorno all’asse z e F ∼= Z/2 × Z/2 rotazioni di π attorno agli assi z e y. Si calcolino:
π0(Y /H),π0(Y /F ), π1(Y /H) e π1(Y /F ).
Esercizio 2. Si consideri il foglio semplice di superficie S definito dall’applicazione ϕ : R2 −→ R3, (u, v) 7→ (2v − 4uv, 2u + v − 5uv, 2u + v − uv)
e sia α la curva, tracciata su S, di equazioni: u = t, v = t, t ∈ R.
(1) Si provi che α `e una curva regolare, piana, passante per il punto Q di coordinate (0, 0, 0).
(2) Si determini il piano a cui appartiene α e si stabilisca se esso `e tangente ad S in Q.
(3) Si determino le due direzioni asintotiche ad S uscenti da Q e si calcoli il coseno dell’angolo da esse determinato.
(4) Si determini la curvatura normale di S in Q lungo la direzione individuata da α0. Tale direzione `e principale?
(5) α `e una linea di curvatura? `E una geodetica?
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