VERIFICA DI MATEMATICA – 2^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 28 febbraio 2019 NOME E COGNOME _____________________________________________________________
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Geometria
Dimostrare che, in un trapezio rettangolo con le diagonali perpendicolari, il lato perpendicolare alle basi è medio proporzionale fra le due basi. (Esercizio n.34 pag.360 Geometria)
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Equazioni e fisica
Per coprire una certa distanza, un treno impiega un tempo uguale al sestuplo del tempo che impiegherebbe un aereo che viaggia ad una velocità di 600 km/h superiore a quella del treno.
Determinare la velocità del treno. (Dalla fisica s = vt)
3
Disequazioni ed economia
Il signor Rossi deve chiedere un prestito. Si rivolge ad una banca, che offre prestiti ad un tasso di interesse annuo del 7% ma chiedendo un rimborso spese di 50 € annui. Si rivolge allora ad una società finanziaria che pratica un tasso di interesse annuo del 9% senza chiedere alcuna quota di rimborso spese. Al signor Rossi conviene chiedere il prestito alla banca o alla società finanziaria?
(La risposta a questa domanda deve essere articolata: al di sotto di una certa somma conviene una cosa, al di sopra di una certa somma ne conviene un'altra.)
4
Disequazioni (ma non solo) Risolvere la seguente disequazione:
5
9+(3 x+2)(3 x−2)>8 x2+(x+2 3)
2
+2(2+3 x)
3 −3
5
Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:
∣2 x−3∣+x−4=0
Valutazione
Obiettivi: mantenimento degli argomenti di geometria; ripresa di equazioni e disequazioni collegandoli anche a problemi di fisica e di economia. Primo approccio alle equazioni con valore assoluto.
Riferimenti principali: capitolo 8 del libro di Geometria; capitoli 8,9,10 del libro di Algebra vol.1
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova
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Non usare la penna rossa!
Non usare la “cancellina”!
1
Geometria
Dimostrare che, in un trapezio rettangolo con le diagonali perpendicolari, il lato perpendicolare alle basi è medio proporzionale fra le due basi. (Esercizio n.34 pag.360 Geometria)
Ipotesi: ABCD trapezio; AD, BC basi, rettangolo in B;
BD ⊥ AC ;
Tesi: AD AB=AB
BC . Dimostrazione:
Consideriamo i triangoli ABD e ABC:
• sono entrambi rettangoli: ABD in A e ABC in B per l'ipotesi che il trapezio è rettangolo;
• inoltre ̂ADB≡̂DBC in quanto alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD.
Dunque, per il primo criterio di similitudine, i triangoli ABD e ABC sono simili.
Dalla similitudine segue la tesi.
2
Equazioni e fisica
Per coprire una certa distanza, un treno impiega un tempo uguale al sestuplo del tempo che impiegherebbe un aereo che viaggia ad una velocità di 600 km/h superiore a quella del treno. Determinare la velocità del treno.
(Dalla fisica s = vt)
Non ci viene data la distanza, ma possiamo farne a meno, chiamiamola s. Indichiamo invece con t il tempo impiegato dall'aereo a coprire la distanza s . Il treno copre la stessa distanza in un tempo 6t e ci viene richiesta la sua velocità, che indicheremo con v. In questa scrittura la velocità dell'aereo è 600+v.
Utilizziamo la formula del moto rettilineo uniforme s=vt. Per quanto scritto sopra deve essere:
(600+v )t=v (6 t)
Evidentemente il tempo t sarà una quantità maggiore di zero e quindi possiamo riscrivere l'equazione come
600+v=6 v ovvero 600=5 v da cui v= 120 km/h.
La velocità del treno è di 120 km/h.
3
Disequazioni ed economia
Il signor Rossi deve chiedere un prestito. Si rivolge ad una banca, che offre prestiti ad un tasso di interesse annuo del 7% ma chiedendo un rimborso spese di 50 € annui. Si rivolge allora ad una società finanziaria che pratica un tasso di interesse annuo del 9% senza chiedere alcuna quota di rimborso spese. Al signor Rossi conviene chiedere il prestito alla banca o alla società finanziaria? (La risposta a questa domanda deve essere articolata: al di sotto di una certa somma conviene una cosa, al di sopra di una certa somma ne conviene un'altra.)
Evidentemente la convenienza dipende dalla somma da chiedere in prestito, che in questa domanda non viene specificata. Indichiamola allora con la lettera x.
Chiedendo il prestito alla banca, dopo un anno dovrò restituire 7
100x+50 ; chiedendo il prestito alla finanziaria, dopo un anno dovrò restituire 9
100x e basta.
Risolvendo l'equazione 7
100 x+50= 9
100x trovo la somma x che determina per il signor Rossi lo stesso costo sia che si rivolga alla banca o alla finanziaria.
50= 9
100 x− 7
100x Ovvero 50= 2
100x ovvero x=2500
Dunque chiedendo un prestito di 2500 € il signor Rossi affronterebbe gli stessi costi alla banca o alla finanziaria. Evidentemente chiedendo una somma maggiore risulterebbe conveniente la banca, con un interesse minore, mentre chiedendo una somma inferiore risulterebbe conveniente la finanziaria, che chiede maggiori interessi ma non fa pagare le spese.
Per chi non fosse convinto da questo ragionamento non resta che fare un piccolo test provando a fare i calcoli con somme minori e maggiori di 2500 €.
Per chi ha qualche dimestichezza col foglio elettronico, c'è anche la possibilità di creare una tabella tipo la seguente (che poi è quello che fanno spesso gli impiegati in banca e nelle finanziarie):
prestito richiesto spese banca spese finan.
500 85 45
1000 120 90
1500 155 135
2000 190 180
2500 225 225
3000 260 270
3500 295 315
4000 330 360
4500 365 405
5000 400 450
5500 435 495
6000 470 540
6500 505 585
7000 540 630
7500 575 675
8000 610 720
8500 645 765
9000 680 810
9500 715 855
10000 750 900
4
Disequazioni (ma non solo) Risolvere la seguente disequazione:
5
9+(3 x+2)(3 x−2)>8 x2+(x+2 3)
2
+2(2+3 x )
3 −3
Il “ma non solo” è riferito al fatto che prima di affrontare la disequazione dobbiamo semplificare le espressioni utilizzando quello che sappiamo del calcolo letterale.
Cominciamo utilizzando i prodotti notevoli “somma per differenza” al primo membro e il “quadrato del binomio” al secondo membro.
5
9+9 x2−4>8 x2+x2+4 3 x+4
9+4
3+2 x−3
Ho anche applicato la proprietà distributiva al penultimo termine. Come era prevedibile le x2 si cancellano a vicenda.
5
9−4>4 3 x+4
9+4
3+2 x−3
I monomi con la x sono già tutti a destra, quindi porto i termini noti a sinistra, utilizzando il primo principio di equivalenza.
5
9−4−4 9−4
3+3>4
3x+2 x Ovvero −20 9 >10
3 x
Applicando il secondo principio di equivalenza: −20 9
3
10>x ovvero x<−2 3
5
Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:
∣2 x−3∣+x−4=0
L'argomento del valore assoluto si annulla per x=3 2 .
Caso I. Sia x≥3
2 , allora ∣2 x−3∣=2 x−3 . In questo caso l'equazione diventa: 2 x−3+x−4=0
ovvero 3 x−7=0 ovvero x=7 3
Osserviamo che 7 3>3
2 e quindi tale soluzione è accettabile.
Caso II. Sia x<3
2 , allora ∣2 x−3∣=−2 x+3 . In questo caso l'equazione diventa: −2 x+3+x−4=0 ovvero −x−1=0 ovvero x=−1
Osserviamo che −1<3
2 e quindi tale soluzione è accettabile.
Conclusione: le soluzioni richieste sono x=7
3∨x=−1
