Compito di Geometria 1
10/06/2019 tempo 3h 00m
Prof. Matteo Penegini, Prof. Arvid Perego
Si risolvano gli esercizi 1 e 2 su un foglio a protocollo e gli esercizi 3 e 4 su un altro foglio.
Esercizio 1. Una funzione continua f : X −→ Y `e detta propria se per ogni compatto K ⊂ Y la controimmagine f−1(K) `e compatta.
Sia ora f : R −→ R una funzione continua propria (con R dotato della topologia euclidea). Dimostrare che f (N) non `e limitato.
Esercizio 2. Consideriamo la seguente applicazione d = R2× R2 −→ R (x, y) 7→
|x − y|2 se Rx = Ry,
|x|2+ |y|2 se Rx 6= Ry.
Dove | − |2 `e la norma nella metrica euclidea.
(1) Si provi che d `e una metrica per R2.
(2) Siano A := (2, 1) e C := (0, 1). Si disegnino le palle B2(A) e B3(C) in (R2, d).
(3) Si provi che la successione {an} con an = (1n, 0) converge in (R2, d).
(4) Si provi che la successione {bn} con bn= (n1, 1) non converge in (R2, d).
Esercizio 3. Sia X := [−1, 1] e consideriamo su X la topologia τ i cui insiemi aperti non banali sono della forma
[−1, b) con b > 0 e (a, 1] con a < 0.
in particolare si osservi che (a, b) con a < 0 e b > 0 `e necessariamente un aperto in τ .
(1) Si determini la chiusura dei seguenti sottoinsiemi di X: {−1/2}, e (−1/4, 1/2).
(2) Si stabilisca quali assiomi di separazione Ti soddisfa la topologia τ . (3) Si stabilisca se (X, τ ) `e normale.
(4) Si stabilisca se (X, τ ) `e compatto.
(5) Si stabilisca se (X, τ ) `e connesso.
(6) Si stabilisca se (X, τ ) `e 2-numerabile.
Esercizio 4. Con la topologia indotta da quella euclidea in R2 si consideri lo spazio topologico S che si ottiene identificando i lati di un poligono secondo la sequenza
W = acadbcbede 1
(1) Si provi che S `e una superficie topologica connessa per archi.
(2) Determinare l’orientabilit`a della superifcie S.
(3) Determinare caratteristica di Eulero χ(S) di S.
(4) Attraverso l’algoritmo di taglio e cucito si porti la superficie in forma normale.
(5) Esprimere S come somma connessa di sfere, tori e piani proiettivi.
