Compito di Geometria 1
08/07/2019 tempo 3h 00m
Prof. Matteo Penegini, Prof. Arvid Perego
Si risolvano gli esercizi 1 e 2 su un foglio a protocollo e gli esercizi 3 e 4 su un altro foglio.
Esercizio 1. Sia S ⊂ R con la topologia euclidea. Dimostrare che S `e compatto se e solo se ogni funzione f : S −→ R continua ammette massimo.
Esercizio 2. Consideriamo l’insieme X = [0, 2) ⊂ R e la famiglia di sottoinsiemi di X:
τ = {[0, a)|0 ≤ a ≤ 2}.
Nota bene per a = 0, [0, 0) = ∅.
(1) Dimostrare che T `e una topologia su X.
(2) Determinare la chiusura e l’interno di A = [1, 3/2].
(3) Dire se (X, τ ) `e di Hausdorff.
(4) Dire se (X, τ ) `e di separabile.
Esercizio 3. Nel piano R2 con la topologia euclidea sia per ogni n ∈ N
• Cn l’ellisse di assi [−n, n] × {0} e {0} × [−1n ,1n];
• Dn l’ellisse di assi [−1, 1] × {0} e {0} × [−1n ,n1].
Siano
C := [
n∈N
Cn, D := [
n∈N
, E := ¯C, D := ¯D.
Per C , D, E e F si indaghino le seguenti propriet`a topologiche:
(1) connessione e connessione per archi;
(2) compattezza;
(3) esistenza per ciascun punto di un sistema fondamentale di intorni connes- si;
(4) esistenza per ciascun punto di un sistema fondamentale di intorni connessi per archi;
(5) esistenza per ciascun punto di un sistema fondamentale di intorni com- patti.
Si stabilisca se C, D, E e F sono omeomorfi tra loro.
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Esercizio 4. Con la topologia indotta da quella euclidea in R2 si consideri lo spazio topologico S che si ottiene identificando i lati di un poligono secondo la sequenza
W = abcdea−1b−1c−1d−1e−1
(1) Si provi che S `e una superficie topologica connessa per archi.
(2) Determinare l’orientabilit`a della superifcie S.
(3) Determinare caratteristica di Eulero χ(S) di S.
(4) Attraverso l’algoritmo di taglio e cucito si porti la superficie in forma normale.
(5) Esprimere S come somma connessa di sfere, tori e piani proiettivi.
