VERIFICA DI MATEMATICA – 2^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 7 febbraio 2019
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1
Dimostrare che i punti medi dei lati di un poligono regolare sono vertici di un altro poligono regolare.2
In un trapezio isoscele le basi sono lunghe rispettivamente 100 cm; 28 cm. L'altezza è lunga 48 cm.
Determinare il perimetro e l'area del trapezio. Verificare inoltre che la diagonale è perpendicolare al lato obliquo.
3
Consideriamo un triangolo ABC. Consideriamo un generico punto P della mediana AM relativa al lato BC. Conduciamo per P le parallele ai lati AB e AC, che incontrano BC rispettivamente nei punti D ed E. Dimostrare che M è punto medio del segmento DE.
4
Dimostrare che, in un triangolo, una corda parallela ad un lato è dimezzata dalla mediana del triangolo relativa a quel lato.5
Dimostrare che segmenti paralleli compresi tra rette parallele sono congruenti.Valutazione
Obiettivi: riuscire ad interpretare un enunciato, analizzarlo coi metodi se/allora – ipotesi/tesi, impostare la dimostrazione, scrivere la dimostrazione in modo chiaro. Applicare le proprietà delle figure geometriche, i criteri di congruenza dei triangoli, il teorema fondamentale delle rette parallele, il teorema del fascio di parallele, definizione di luoghi geometrici, circonferenza e cerchio, equivalenza delle superfici piane, teoremi di Euclide e Pitagora, Teorema di Talete, similitudini, trasformazioni geometriche.
Riferimenti principali: capitoli 5,6,7,8,9 del libro di testo.
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova
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Non usare la penna rossa!
Non usare la “cancellina”!
1
Dimostrare che i punti medi dei lati di un poligono regolare sono vertici di un altro poligono regolare.Solo per chiarirci le idee abbiamo disegnato un ettagono regolare e abbiamo proceduto costruendo il poligono che ha per vertici i punti medi: dall'aspetta sembra proprio un altro ettagono regolare.
Ipotesi: poligono regolare
Tesi: poligono con vertici i punti medi dei lati è regolare.
Dimostrazione:
Concentriamoci temporaneamente su tre soli lati del nostro poligono regolare, facendo riferimento alla figura del nostro ettagono, ai lati AB, BC, CD.
I punti I, J e K sono rispettivamente i punti medi di AB, BC e CD.
Per ipotesi il poligono è regolare e quindi AB≡BC≡CD . Essendo I, J e K i punti medi possiamo pure dire che AI ≡IB≡BJ ≡JC≡CK≡KD .
Sempre dall'ipotesi che il poligono è regolare possiamo dire che ̂IBJ ≡̂JCK .
Dunque i triangoli IBJ e JCK sono congruenti per il primo criterio. In particolare IJ ≡JK . Lo stesso ragionamento lo possiamo ripetere per tutte le terne di lati consecutivi del poligono regolare e quindi il poligono che ha per vertici i punti medi ha tutti i lati congruenti.
Ma non solo questo. I triangoli IBJ e JCK sono isosceli e ̂BJI ≡̂CJK .
Dunque ̂IJK ≡π−2 ̂BJI ≡̂IBJ , in parole povere gli angoli del nuovo poligono formato dai punti medi (che sono tanti quanti i lati del vecchio poligono) sono congruenti agli angoli del vecchio poligono. Questo ragionamento può essere ripetuto su tutte le coppie di triangolini e quindi possiamo concludere che il poligono che ha come vertici i punti medi ha anche tutti gli angoli congruenti.
Segue la tesi.
2
In un trapezio isoscele le basi sono lunghe rispettivamente 100 cm; 28 cm. L'altezza è lunga 48 cm.
Determinare il perimetro e l'area del trapezio. Verificare inoltre che la diagonale è perpendicolare al lato obliquo.
Fare un disegno precisissimo fin dall'inizio non è semplice e forse neanche particolarmente utile. Può essere d'aiuto considerare la base maggiore come diametro di una circonferenza in modo tale che le diagonali siano davvero perpendicolari ai lati obliqui.
L'area si può calcolare anche alla cieca:
(100+28)×48
2 =3072
Per calcolare il perimetro ci serve la lunghezza dei lati obliqui, possiamo arrivarci considerando il triangolo rettangolo BDF che ha come ipotenusa un lato obliquo, un cateto è l'altezza del trapezio e l'altro cateto posso ricavarlo dalle basi: 100−28
2 =36 .
Applicando il teorema di Pitagora:
√
482+362=√
2304+1296=√
3600=60 è la lunghezza del lato obliquo.Dunque il perimetro richiesto è 100+28+60+60=248 .
Per verificare che la diagonale è perpendicolare al lato obliquo potremmo fare un test con il secondo teorema di Eclide. Infatti non conosciamo la lunghezza di questa diagonale, però conosciamo l'altezza (48) e anche le proiezioni dei cateti (se cateti sono) sull'ipotenusa (che in questo caso è la base maggiore del trapezio). Le proiezioni dei cateti (se cateti sono) sono i segmenti CF e FB. La lunghezza di FB l'abbiamo già calcolata sopra (36). La lunghezza di CF è 100−36=64 .
Se BDC fosse un triangolo rettangolo, per il teorema di Euclide sarebbe 482=64×36 .
Coloro che sono abili nella scomposizione in fattori già si rendono conto che tale uguaglianza è vera: (6×8)2=82×62 .
Per i maniaci della calcolatrice: 2304 = 2304.
3
Consideriamo un triangolo ABC. Consideriamo un generico punto P della mediana AM relativa al lato BC.
Conduciamo per P le parallele ai lati AB e AC, che incontrano BC rispettivamente nei punti D ed E.
Dimostrare che M è punto medio del segmento DE.
Ipotesi: ABC triangolo;
BM ≡CM ; P∈AM ;
PE∥AC ; PD∥AB
Tesi: DM ≡EM
Dimostrazione:
Tracciamo le parallele ad AB anche per M e per E. Individuiamo così sul lato AC i punti E1, M1, D1.
Per il teorema di Talete è vera la proporzione: EM
CM=E1M1 CM1 .
Adesso facciamo la stessa cosa tracciando le parallele a AC anche per M e per D. Individuiamo così sul lato AB i punti E2, M2, D2.
Per il teorema di Talete è vera la proporzione: EM
CM =E2M2 AM2
.
D'altra parte, sempre grazie al teorema di Talete (ma anche grazie ad altri teoremi precedenti), possiamo affermare che la retta M1M2 è parallela al lato BC.
Inoltre, sempre grazie al teorema di Talete, ed all'assioma di unicità della parallela, possiamo dire che le rette D1E2 e E1D2 sono pure parallele al lato BC.
Considerando questo ultimo fascio di parallele, per il teorema di Talete è vera la proporzione E2M2
AM2 =D1M1 AM1
Riprendendo il fascio delle parallele al lato AB, per il teorema di Talete è vera la proporzione:
D1M1 AM1
=DM BM .
Ricapitolando, applicando più volte la proprietà transitiva, possiamo dire che è vera la proporzione:
EM
CM=DM
BM e siccome per ipotesi CM =BM ne segue che EM = DM , ovvero la tesi.
Dimostrazione alternativa 1
A volte capita che gli studenti trovino una dimostrazione più semplice (sic!) di quella del loro insegnante. In questo caso ecco la dimostrazione di fonte studentesca.
Osserviamo due diversi fasci di parellele, uno contenente la retta AC e l'altro contenente la retta AB.
Le rette PE e PD sono quelle che abbiamo costruito su richiesta del testo, mentre di nostra iniziativa abbiamo disegnato le parallele a AC passanti per M e D e le parallele ad AB passanti per M e ed E.
Applicando il teorema di Talete al fascio delle parallele ad AB, considerando come trasversali la mediana AM e il lato BC, possiamo dire che è vera la proporzione: AM : PM = BM : DM .
Analogamente, applicando il teorema di Talete al fascio delle parallele al lato AC e considerando trasversali la mediana AM e il lato BC, possiamo dire che è vera la proporzione:
AM : PM =CM : EM .
Per proprietà transitiva: CM : EM =BM : DM .
Per ipotesi BM ≡CM da cui EM ≡DM che è la tesi.
Dimostrazione alternativa 2
Anche questa dimostrazione è di fonte studentesca.
La figura da prendere in considerazione è sempre quella di questa pagina (anche se useremo meno cose). Consideriamo il triangolo PED ed i suoi angoli.
̂PDE≡̂ABC Perché corrispondenti rispetto alle parallele PD e AB tagliate da BC;
̂PED≡̂ACB Perché corrispondenti rispetto alle parallele PE e AC tagliate da BC;
Per il primo criterio di similitudine i triangoli PED e ABC sono simili.
Segue in modo ovvio che PM è mediana di ED, da cui la tesi.
Nel caso di quest'ultima dimostrazione va specificato che non sarebbe stata possibile facendo riferimento alla collocazione dell'esercizio nel libro di testo (ovvero dopo il teorema di Talete ma prima delle similitudini).
4
Dimostrare che, in un triangolo, una corda parallela ad un lato è dimezzata dalla mediana del triangolo relativa a quel lato.Ipotesi: ABC triangolo;
DE∥AB ; AM ≡MB . Tesi: DT ≡TE
Dimostrazione:
Per il teorema fondamentale delle rette parallele tagliate da una trasversale possiamo affermare che gli angoli corrispondenti ̂BAC≡̂TDC ; ̂ABC ≡̂TEC .
Consideriamo adesso i triangoli AMC e CTD: hanno un angolo in comune e un altro angolo congruente, quindi sono simili per il primo criterio di similitudine.
Analogamente possiamo dire che sono simili i triangoli BMC e CTE.
Da queste similitudini possiamo dedurre le seguenti proporzioni: CT
CM = DT
AM ; CT CM= TE
BM .
Per proprietà transitiva: DT AM = TE
BM .
Siccome per ipotesi AM =BM segue che DT =TE che è la tesi.
(Praticamente quanto dimostrato nel tema 4 funge da lemma per la seconda dimostrazione studentesca del tema 3)
5
Dimostrare che segmenti paralleli compresi tra rette parallele sono congruenti.Si tratta di un parallelogramma, la dimostrazione che i suoi lati opposti sono congruenti si trova a pagina 141 del libro di Geometria.
Per quanto riguarda questo compito era assolutamente accettabile una risposta tipo questa: “la figura ottenuta è per definizione un parallelogramma, come è noto una proprietà dei parallelogrammi è proprio quella di avere i lati opposti congruenti tra loro e questa è appunto la tesi richiesta”.
