Test scritto di Matematica I

(1)

Capitolo 1: Test d’esame 99 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Test scritto di Matematica I

Pisa, 13 Gennaio 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

arcsin(1/2) = π/6 2 2

La funzione f (x) = |x| sin x `e pari 2 2

L’equazione cos x = cos(x²) ha esattamente due soluzioni reali 2 2 Se x0 = 4 e xn+1 = 2xn− n per ogni n ∈ N, allora x² = 12 2 2

sin²x³ = o(x⁵) per x → 0 2 2

La funzione f (x, y) = x²e^y ha infiniti punti stazionari 2 2

∀M ∈ R ∃ ε > 0 tale che log x < M per ogni x ∈ (0, ε) 2 2 P∞

n=1n⁻²sin(n + 3) converge 2 2

L’equazione differenziale u⁰+ tu + 1 = 0 `e lineare ma non omogenea 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

2x²+ 4

x + 3 = . . . lim

x→−3⁻

2x²+ 4

x + 3 = . . . lim

x→+∞

2x²+ 4

x + 3 = . . . . max {3|x| − 2y : (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1]} = . . . .

maxn ∈ N : n² ≤ 3n + 1 = . . . .

• Siano

f (x, y) = e^2x+y, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, x + y ≥ 0 . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(0, 0) = . . . .

Z

A

2 dx dy = . . . .

Test d’esame Telecomunicazioni 2007 1

(2)

100 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2007 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Test scritto di Matematica I

Pisa, 3 Febbraio 2007

Se x ∈ [π, 2π] e cos x = 1/2, allora sin x = −√

3/2 2 2

La funzione f (x) = |x sin x| `e pari 2 2

Esiste almeno un x > 0 (reale) tale che √³

x + 207 = x 2 2

√n

n⁷+ 7 → 7 2 2

Esiste min{|x + 2| · |y + 3| : (x, y) ∈ R²} 2 2

sin x¹¹ = x¹¹+ o(x³⁰) per x → 0 2 2

∀ε > 0 ∃ k ∈ R tale che e^x < ε per ogni x ≥ K 2 2 La serie di potenze P(n³+ 3ⁿ)xⁿ ha raggio di convergenza 1/3 2 2 L’equazione differenziale u⁰+ tu + 1 = 0 `e lineare e omogenea 2 2

lim

x→−1⁺

log(1 + x)

x + 1 = . . . lim

x→0

log(1 + x)

x + 1 = . . . lim

x→+∞

log(1 + x)

x + 1 = . . . .

sup

α ∈ R :

Z +∞

0

x^α+ 3

x⁸+ x²+ 5 dx converge

= . . . .

sup

x ∈ R : sin x = 1 8

= . . . .

• Siano

f (x, y) = x

x + y, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, x + y ≥ 0 . Calcolare:

∂f

∂x(1, 2) = . . . .

Z

A

(x²+ y²) dx dy = . . . .

(3)

Capitolo 1: Test d’esame 101 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Test scritto di Matematica I

Pisa, 17 Febbraio 2007

3¹⁰· 3¹⁰= 9²⁰ 2 2

La funzione f (x) = x sin x `e pari 2 2

Esiste almeno un x > 0 (reale) tale che e^x = 2 cos x 2 2

n⁵⁰· 49ⁿ > n⁴⁹· 50ⁿ definitivamente 2 2

log(1 + x⁶) = x⁶+ o(x¹²) per x → 0 2 2

Se f (x, y) = x²e^y, allora ∇f (1, 0) = (2, 1) 2 2

∀M ∈ R ∃ K ∈ R tale che log x > M per ogni x ≥ K 2 2

Se {na_n} → 1/2, allora P a_n converge 2 2

La soluzione generale dell’eq. diff. u⁰⁰− 4u⁰ = 0 `e u(t) = a + be^4t 2 2

x→−∞lim

x + 6

x²− 4 = . . . lim

x→0

x + 6

x² − 4 = . . . lim

x→−2⁺

x + 6

x²− 4 = . . . . max {|x − 4| : x ∈ [0, 6]} = . . . .

min {2|x| − 3|y| : (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1]} = . . . .

• Siano

f (x, y) = e^x²^y, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0 . Calcolare:

∂f

∂x(2, 2) = . . . .

Z

A

7x dx dy = . . . .

(4)

102 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2007 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Test scritto di Matematica I

Pisa, 9 Giugno 2007

tan(π/3) =√

3 2 2

La funzione f (x) = x · sin |x| `e dispari 2 2

L’equazione e^x+20 = sin(20x) non ha soluzioni reali 2 2 Se an > 0 per ogni n ∈ N e aⁿ⁺¹/an→ 1, allora √ⁿ

an → 1 2 2

sin²x = x²+ o(x⁵) per x → 0 2 2

x = 0 `e un punto di minimo relativo per la funzione f (x) = x²⁰− x⁴⁰ 2 2

∀ε > 0 ∃ K ∈ R tale che e^x < ε per ogni x < K 2 2 La serieP∞

n=1n⁻²xⁿ converge se e solo se −1 < x < 1 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u⁰⁰+ 4u⁰+ 4u = 0 `e u(t) = ae^2t+ be^−2t 2 2

x→−∞lim

2x²+ 1

x²− 1 = . . . lim

x→−1⁺

2x²+ 1

x²− 1 = . . . lim

x→−1

2x²+ 1

x²− 1 = . . . . inf {x ∈ R : log(x − 2) > 0} = . . . .

inf {log(x + 3) : x > 0} = . . . .

• Siano

f (x, y) = x

x + y, A =(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 1, y ≥ 0 . Calcolare:

∂f

∂y(1, 2) = . . . .

Z

A

2|x| dx dy = . . . .