Appello 3 - 15/07/2008
Università degli Studi di Pisa - Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale
Fisica e Elettronica
Appello 3 - 15/7/2008
PROBLEMA I
Una sbarretta metallica, di lunghezza r e massa 3m concentrata nei due punti estremi e nel centro (massa m in ciascuno dei tre punti), è libera di ruotare intorno a un asse ad essa
perpendicolare e passante per un suo estremo O. Durante il moto, l’estremo in movimento della sbarretta striscia senza attrito lungo un anello metallico circolare, di raggio r, mantenendo il contatto elettrico con lo stesso. Un’induttanza L collegata tra asse di rotazione e anello chiude il circuito elettrico. La resistenza elettrica del circuito è trascurabile.
Tutto il sistema è immerso in un campo magnetico esterno B costante e uniforme, parallello all’asse di rotazione.
Al tempo iniziale t = 0 la sbarretta ha una velocità angolare ω0 e non circola corrente.
Determinare:
1. un sistema di equazioni differenziali per la corrente I(t) nel circuito e per la velocità angolare ω(t) della sbarretta, separandolo poi in due equazioni differenziali indipendenti per le stesse funzioni incognite;
2. la massima corrente Imax circolante nel circuito;
3. la corrente e la posizione angolare della sbarretta come funzioni del tempo I(t) e ϕ(t);
Si supponga ora che durante lo strisciamento, a differenza di quanto già assunto, l’estremo in moto della sbarretta risenta di una forza d’attrito proporzionale alla sua velocità: Fatt = -γv, dove γ è una costante positiva nota.
Determinare:
4. la nuova equazione differenziale per la funzione I(t), separata da ω(t);
5. la soluzione I(t), nel caso si usi un campo magnetico di modulo L m
B= 2rγ , con le stesse condizioni iniziali usate ai precedenti punti (2) e (3).
O
L
m m
m B
ω
r
Appello 3 - 15/07/2008
PROBLEMA II
Una carica puntiforme Q > 0 è posta nel punto P a distanza h da una lastra indefinita di spessore trascurabile, conduttrice e collegata a terra. La lastra definisce due semispazi A e B, dove A è il semispazio contenente la carica Q, mentre B è quello che non la contiene.
1. Dopo aver scelto un opportuno sistema di coordinate, specificare le simmetrie a cui è soggetto il sistema, deducendone per ciascuna la corrispondente restrizione sul campo elettrico.
2. Dimostrare che il campo elettrico è nullo nel semispazio B.
In condizioni di equilibrio il campo elettrico nel semispazio A è identico a quello che vi si avrebbe aggiungendo al sistema una carica –Q nel punto P’ di B specularmente simmetrico a P rispetto alla lastra e togliendo la lastra (naturalmente per questo nuovo sistema il campo elettrico in B non sarebbe nullo). Determinare:
3. la densità superficiale di carica, indotta sulla superficie della lastra, in funzione della posizione;
4. la carica elettrica complessivamente indotta sulla lastra.
Successivamente la carica Q viene allontanata, lungo la retta perpendicolare alla lastra, dal punto P al punto P” distante 2h dalla lastra. Tale spostamento può essere effettuato in due modi: in modo reversibile, cioè molto lentamente e passando per stati di equilibrio elettrostatico, oppure, in modo irreversibile, assai velocemente e supponendo di arrivare in P” prima che le cariche indotte inizino a muoversi per ridistribuirsi sulla lastra. Determinare:
5. il lavoro necessario per spostare la carica Q nel primo modo, reversibile;
6. l’energia dissipata per effetto Joule, in seguito alla “precipitosa” ridistribuzione delle cariche indotte sulla lastra, nel caso dello spostamento “ultra-veloce” e irreversibile del secondo modo.
P P’
P” h h h
Q
A B
Appello 3 - 15/07/2008
PROBLEMA III
Si desidera realizzare circuiti digitali con flip-flop di tipo T, avendo però a disposizione solo flip-flop di tipo D e gate elementari con 1 o 2 input. I tempi caratteristici ts (setup), th (hold), tco (clock to output) dei flip-flop D sono noti; pure noto è il ritardo td introdotto da ciascun gate (tutti i gate a disposizione introducono lo stesso ritardo indipendentemente dalla funzione logica eseguita). Determinare:
1. come combinare un flip-flop D e un opportuno gate per realizzare un flip-flop T;
2. i tempi di setup, di hold e di propagazione da clock a output per il flip-flop T così realizzato.
Si valutano poi due diverse architetture, mostrate rispettivamente nelle figure 2 e 3, per contatori (ciclici) da 0 a 31, realizzati con i flip-flop T e gli altri gate di cui sopra.
Determinare:
3. la massima frequenza di clock per il contatore di figura 2;
4. qual è il gate incognito, usato per tre volte, nella figura 3;
5. la massima frequenza di clock per il contatore di figura 3.
CLK
1 T Q
Q Q
T
Q
Q T
Q
Q T
Q
?
?
Q T
Q
?
CLK CLK CLK
CLK
Q0 Q1 Q2 Q3
Q T
Q
=
D QQ
+
?Figura 1
Q T
Q Q
T
Q
Q T
Q
Q T
Q
Q T
CLK Q
1
Q0 Q1 Q2 Q3 Q4
1 1 1 1
Q4 Figura 2
Figura 3
