La topologia della coscienza, ovvero: della faneroscopia

L’algebra delle relazioni fornisce l’impalcatura formale necessaria alla faneroscopia, che è la teoria peirciana delle categorie intese come elementi indecomponibili di una coscienza qualsiasi. Tale impalcatura si sostanzia nei seguenti termini:

10 _{Brunning (1983) ricostruisce nel dettaglio la natura matriciale dell’algebra peirciana dei relativi e ravvisa in Peirce una} vera e propria anticipazione di Copilowish 1948, che sviluppa una struttura matriciale per il calcolo delle relazioni. Un’immagine esaustiva dello studio peirciano delle relazioni è offerta da Fabbrichesi 1992, tale testo assieme a quello di Brunning costituisce l’orizzonte che orienta la presente sezione.

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A relative term cannot possibly be reduced to any combination of absolute terms, nor can a conjugative term be reduced to any combination of simple relatives; but a conjugative having more than two correlates can always be reduced to a combination of conjugatives of two correlates (CP 3.144)11_.

Ovviamente, avere più di 2 correlati significa avere una valenza più che triadica (una relazione con più di 2 correlati ha, quindi, arietà maggiore di 3). Un’esposizione già matura delle ragioni di tale

reduction thesis si trova, come anticipato, in Brief Description of the Algebra of Relatives (1882). Si

seguirà tale testo per due ragioni: esso è coevo ai primi passi verso l’invenzione dei grafi esistenziali (cf. Roberts 2009: 17-20, Bellucci 2018: 149-181 e W4: 394-399), inoltre contiene formulazioni che trovano corrispondenze dirette nella trattazione grafica della riduzione delle valenze più che triadiche a combinazioni di valenze triadiche (cf. MS 908)12. Peirce, dal canto suo, caratterizza la propria algebra come logica perché – scrive – “My own studies in the subject have been logical not mathematical, being directed toward the essential elements of the algebra, not towards the solution of problems” (W4: 333); la differenza è quindi posta sul piano di ciò verso cui tende l’indagine. Su tale aspetto ha fatto chiarezza Giampaolo Proni (2017: 77):

La differenza di scopo si riflette ovviamente sulla scelta degli strumenti abituali, ma in linea di principio nulla esclude che un apparato logico sia di uso comune. Il tipo di uso, però, sarà diverso. Solo in questo modo riusciamo a spiegare – per esempio – quale sia il ruolo della teoria dei grafi esistenziali […]. Se pensiamo che essa debba trovar posto esclusivamente o nella matematica o nella logica troveremo delle difficoltà, perché, se è vero che il suo scopo dichiarato è proprio la rappresentazione del ragionamento in tutti i suoi passi, cioè uno scopo logico, è anche vero che i grafi sembrano esemplificare in maniera perfetta il ragionamento diagrammatico, che è tipico della matematica.

Si può, quindi, dire che l’algebra dei relativi pertiene alla matematica e i grafi esistenziali ne sono la migliore notazione logica per i fini filosofici di Peirce.

In CP 3.144, ossia nel paragrafo da cui abbiamo tratto la formulazione della reduction thesis (cf.

supra), i termini assoluti sono definiti come la somma di oggetti di qualsiasi tipo denotati da lettere.

La stessa definizione si ritrova nell’algebra del 1882: “Let A, B, C, etc., denote objects of any kind. These letters may be conceived to be finite in number or innumerable. The sum of them, each affected

11 _{Al testo da cui è tratta tale formulazione (Description of a Notation for the Logic of Relatives del 1870) rinvia quello} del 1882 qui in esame.

12 _{Cf. Luisi (2008: 165): “La base del pragmaticismo giace nella Faneroscopia, nella sua capacità di analizzare gli elementi} indecomponibili dell’esperienza; […] Peirce dimostra inequivocabilmente che esistono solo tre elementi di questo genere, distinti tra loro in base alla loro valenza, in analogia con gli atomi chimici”.

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by a numerical coefficient (which may equal 0), is called an absolute term” (W4: 328). Il termine

assoluto è chiaramente un termine generale perché consiste nella somma delle lettere a cui si applica,

lettere che denotano oggetti di qualsiasi tipo. Dal canto loro, i relativi semplici sono così definiti: “The symbol (A : B) is called an individual dual relative. It signifies simply a pair of individual objects, (A : B) and (B : A) being different” (W4: 329). Una coppia di oggetti, ossia un relativo duale

individuale, è simbolizzata dalle lettere già incontrate per la rappresentazione degli oggetti, dalle

parentesi e dai due punti per la rappresentazione della relazione (in particolare, l’occorrenza unica dei due punti indica l’arietà 2, cosicché all’arietà 3 corrisponderà la doppia occorrenza dei due punti – come vedremo a breve). L’ordine distingue i relativi individuali: lo schiaffo di A a B non è lo schiaffo di B ad A. A questo punto, il passo citato definisce il relativo duale generale mediante la stessa procedura seguita per il termine assoluto: “An aggregate of such symbols, each affected by a numerical coefficient, is called a general dual relative” (W4: 329). Può risultare naturale chiamare “relativo” una coppia, come fa Peirce, se si intende che ciascun termine relativo è in qualche modo ellittico: quando leggo “padre”, so che è “padre di un figlio”, ossia “(A : B)”. Allo stesso modo, “padri” è la somma di tutte le coppie (padre : figlio) e “figli” lo è di tutte le coppie (figlio : padre). Tuttavia, ciò costituisce uno scarto rispetto al lessico aristotelico, per il quale padre e figlio sono

relativi: non la coppia di oggetti, ma gli enti in relazione sono detti “relativi” da Aristotele. In Peirce,

la prospettiva algebrica ha preso il posto di quella ontologica. Non a caso, nell’algebra dei relativi succedono cose sorprendenti per l’ontologia aristotelica dei relativi: in accordo con la logica dei relativi del 1870 (W2: 359-429), è possibile ridurre i termini assoluti a relativi semplici (relativi di arietà 2). Vediamo come ciò viene espresso nell’algebra del 1882: “Each absolute term is considered to be equivalent to a certain relative term; namely, A = (A : A) + (A : B) + (A : C) + etc.” (W4: 329). Un qualsiasi oggetto A è identico a un relativo generale diadico, ossia alla somma di tutti i relativi duali di cui l’oggetto A entra a far parte. Questo significa che i termini generali, sia assoluti che relativi semplici, possono essere rappresentati da blocchi del seguente tipo per quanto concerne gli oggetti che li compongono (W4: 329):

Immaginando un cubo, come mostreremo a breve in fig. 1, si possono raffigurare i relativi tripli o di arietà 3 (conjugative terms in CP 3.144):

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Just as the different pairs of letters, A, B, C, etc., have been conceived to be arranged in a square block, so the different triplets of them may be conceived to be arranged in a cube, and the algebraical sum of all such triplets, each affected with a numerical coefficient, may be called a

triple relative (W4: 332).

Si capisce che un relativo triplo è costituito da triplette ordinate di tre lettere disposte tridimensionalmente. Inoltre, i relativi tripli sono per definizione generali, tanto da non essere detti

triple general relative – a differenza dei dual general relative, contrapposti ai dual general relative.

Possiamo, quindi, mostrare un relativo triplo così:

fig. 1.

D’altra parte, come si può far corrispondere un qualsiasi oggetto A a un relativo generale diadico rappresentabile da un blocco di lettere, anche un relativo duale può essere fatto corrispondere a un relativo triplo rappresentabile da un cubo come quello in fig. 1: “Every dual relative may be regarded as equivalent to a triple relative, just as every absolute term is equivalent to a dual relative” (W4: 332). Infatti, possiamo scrivere una tripletta di lettere tratta da un relativo triplo in formule lineari, che presentano ciascuna una doppia occorrenza dei due punti a segnare l’arietà 3:

Every triple relative may be regarded as a sum of five parts, each being a linear expression in terms of one of the five forms,

(A : A) : A (A : B) : A (A : A) : B (B : A) : A (A : B) : C (W4: 332).

Se ne desume che, essendo la tripletta tridimensionale una somma di relazioni individuali, anche in questo caso il relativo triplo è generale per definizione, così come lo è il termine assoluto. Inoltre, ecco la formulazione di (A : B) in termini triadici linearizzati:

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The sign of a dual relative followed by a comma denotes that part of the equivalent triple relative which consists of terms in one of the forms

(A : A ) : ( A : A) (A : B) : (A : B) (W4: 332).

È possibile ravvisare nell’algebra del 1882 la controparte matematica della formulazione logica di CP 3.144, che riportiamo di nuovo:

A relative term cannot possibly be reduced to any combination of absolute terms, nor can a conjugative term be reduced to any combination of simple relatives; but a conjugative having more than two correlates can always be reduced to a combination of conjugatives of two correlates.

Troviamo le ragioni profonde della riconduzione dei termini assoluti ai relativi in alcune considerazioni sulla logica dei relativi espresse con grande chiarezza da Peirce nel 1898. La logica dei relativi non si occupa della classe come insieme di individui, ma del sistema in quanto “composed of objects brought together by any kind of relation whatsoever” (RLT: 156)13. Ora, se la classe in quanto termine assoluto è riconducibile a un relativo duale generale, si capisce che “every doctrine and conception of logic is wonderfully generalized, enriched, beautified, and completed in the logic of relatives” (CP 4.5). La logica delle classi è ricompresa in quella dei relativi, il sistema è una generalizzazione della classe e non viceversa. Nel testo del 1882 Peirce propone una descrizione matriciale di sistemi secondo blocchi di numeri a due o tre dimensioni14: “the essential characteristics

13 _{Cf. “Thus, the ordinary logic has a great deal to say about genera and species, or in our nineteenth century dialect,} about classes. Now, a class is a set of objects comprising all that stand to one another in a special relation of similarity. But where ordinary logic talks of classes the logic of relatives talks of systems. A system is a set of objects comprising all that stand to one another in a group of connected relations” (CP 4.5). Il sistema non è un semplice insieme i cui elementi sono coppie o triplette ordinate: esso è strutturato gerarchicamente, un ordine di ordini di coppie o triplette ordinate – per così dire. La possibilità nell’algebra dei relativi, nonché nella logica dei relativi, di trattare i termini assoluti come relativi semplici significa che la logica delle classi può essere inclusa in quella dei sistemi e che le classi possono essere trattate come sistemi, ma non viceversa. Su Peirce come pioniere della teoria dei sistemi si veda Herbenick 1970, studio che si ritrova in una recente formulazione della teoria dei sistemi (Yndestad 2001).

14 _{Cf. “I have this day had the delight of reading for the first time Professor Cayley's "Memoir on Matrices," in the} Philosophical Transactions for 1858. The algebra he there describes seems to me substantially identical with my long subsequent algebra for dual relatives. […] JANUARY 16, 1882” (W4: 333). È di particolare rilievo notare che “Heisenberg, nel 1925, riconobbe nell’algebra delle matrici precisamente lo strumento di cui aveva bisogno per la sua opera rivoluzionaria nella meccanica dei quanti” (Bell 2010: 493). La distinzione faneroscopica tra reazioni diadiche e relazioni triadiche (il cui caso emblematico è la semiosi) può vantare una conferma a livello di fisica matematica (limitatamente alla meccanica matriciale). Più in generale, la distinzione peirciana tra pensiero o mediazione (Terzietà) e interazioni della fisica pare in linea di principio sperimentale o, quantomeno, correlabile alle forme che la descrizione matematica di tali interazioni non può assumere, se tale distinzione vuole restare vera in qualità di previsione – insomma, la concezione della Terzietà sembra falsificabile nel senso popperiano, ossia scientifica. Barbieri (2016: 8) compie un’operazione simile: “A nominable entity, in other words, is not a label but an observable, and more precisely a non- computable observable. […] physics and chemistry deal exclusively with computable entities (physical quantities), whereas nominable entities (information and coding rules) exist only in living systems. Organic information and organic meaning, in conclusion, are not mere names, as the chemical paradigm has claimed: they are fundamental nominable observables”. Tuttavia, il biologo italiano mira a introdurre la nozione di significato e le relazioni triadiche della biosemiotica peirciana in biologia molecolare senza introdurvi le nozioni di pensiero e di mente (cf. Marconi 2019).

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of this algebra are (1) that it is a multiple algebra depending upon the addition of square blocks or cubes of numbers” (W4: 332). La possibilità che tale algebra sia letta nei termini di una logica dei relativi è insita nella definizione stessa delle lettere utilizzate: “Let A, B, C, etc., denote objects of any kind”. Così come i termini assoluti sono equivalenti ai termini duali, i termini duali lo sono ai tripli. Ma si osservano dei fatti rilevanti a livello di calcolo: la combinazione tra relativi non è la stessa se si passa a un’arietà o valenza (numero dei termini in relazione) maggiore di 3 (cf. W4: 332). Ciò mette le teorie diadiche della relazione segnica, come ad es. quella di Hjelmslev (cf. cap. 4), di fronte a uno scomodo bivio: o stanno riducendo una relazione triadica a relazioni diadiche o la relazione segnica, proprio perché diadica, è equivalente a una relazione triadica. Tuttavia, i relativi con arietà maggiore a tre sono il prodotto di relativi tripli: in questo l’algebra di Peirce si accorda con il principio di semplicità, a cui Hjelmslev attribuisce un grande valore (cf. § 4.1). Del resto, la moltiplicazione di due relativi tripli dà un relativo quadruplo (cf. W4: 332). L’algebra del 1882 sembra prefigurare quella della teridentità, che per Peirce è una relazione triadica da cui la relazione diadica d’identità (x = y) deriva (cf. Bellucci 2018: 241, anche per una discussione e giustificazione interna al sistema logico peirciano): infatti, l’identità è una relazione diadica (W4: 330) ed è, di conseguenza, equivalente a una relazione triadica così come i termini assoluti sono equivalenti ai relativi duali. Il fatto che la

moltiplicazione dei relativi tripli non sia perfettamente associativa, mentre “the multiplication […]

is, for the two-dimensional form of the algebra, always associative” (W4: 332), dimostra che i relativi

tripli non sono riducibili a relativi duali. Alla prova topologica15 della reduction thesis va aggiunta, quindi, quella algebrica del 1882: la proposizione “A relative term cannot possibly be reduced to any combination of absolute terms” è vera, perché piuttosto sono i termini assoluti a essere equivalenti a quelli relativi; “nor can a conjugative term be reduced to any combination of simple relatives” vale in virtù della teridentità e dell’imperfetta associatività della moltiplicazione dei relativi di arietà 3 (definiti in CP 3.144 in termini di coniugativo e con 2 correlati)16; infine, “a conjugative having more than two correlates can always be reduced to a combination of conjugatives of two correlates” deriva nell’algebra del 1882 dalla possibilità di calcolare le relazioni di arietà maggiori a 3 come prodotti di relazioni ad arietà 3 – “Every quadruple or higher relative may be conceived as a product of triple relatives” (W4: 332). Se possiamo chiamare i relativi duali “semplici”, allora i relativi tripli e tutti gli

D’altra parte, Peirce pur riconoscendo la natura non-computabile della semiosi – la logica non si occupa di calcolare, ma “di sezionare il processo inferenziale nel maggior numero possibile di passi” (Peirce 2003: 132-133) – riconosce ad essa la necessità di implicare reazioni, ossia effetti fisicamente computabili. Ciò è dovuto alla continuità peirciana tra mente e materia (cf. Ibri 2017: 45-56).

15 _{Su tale prova in funzione della semiotica peirciana si rinvia a Proni 2017: 264-268 e Bellucci 2018: 240-241, 281.} 16 _{Si può dire che la teridentità è la conseguenza in logica della reduction thesis, mentre l’imperfetta associatività ne è la} giustificazione algebrica.

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altri possono essere definiti complessi: un relativo complesso è o un relativo triplo o un prodotto di relativi tripli.

Tutto questo riemerge in MS 908 nell’analisi della struttura relazionale del Phaneron, definito come “the total content of any one consciousness (for any one is substantially any other), the sum of all we have in mind in any way whatever, regardless of its cognitive value” (EP2: 362). La sua analisi porta alle categorie faneroscopiche intese come elementi indecomponibili e l’algebra dei relativi fornisce la preparazione formale all’analisi: “As such preparation for our survey, then, let us consider what forms of indecomposable elements it is possible that we should find” (EP2: 362). L’algebra offre una forma che sta alla faneroscopia riempire: infatti, la definizione di Phaneron è di pertinenza della faneroscopia e non dell’algebra. In un certo senso, come la fisica fa uso della matematica così la faneroscopia se ne serve per un’osservazione scientifica dei vissuti umani. Si può parlare di matematizzazione o, meglio, di topologizzazione del vissuto17. Va, inoltre, detto che dalla definizione deriva che c’è un solo Phaneron, parlare di Phanera non ha senso: si tratta di un nome proprio. Peirce, data la definizione, introduce la nozione di forma esterna (cf. EP2: 363) – rispondente all’idea che, se anche un oggetto non presenta relazioni interne, presenta comunque relazioni esterne – per sciogliere il seguente dubbio: “A doubt may, however, arise whether any distinction of form is possible among indecomposable elements” (EP2: 362). Di conseguenza, si giunge all’applicazione della reduction thesis alle forme esterne: “out of triads exclusively it is possible to build all external forms, medads, monads, dyads, triads, tetrads, pentads, hexads, and the rest” (EP2: 364). Ciò deriva direttamente dalle seguenti affermazioni, già citate nell’analisi dell’algebra del 1882:

- “Every dual relative may be regarded as equivalent to a triple relative, just as every absolute term is equivalent to a dual relative”;

- “Every quadruple or higher relative may be conceived as a product of triple relatives”.

Quelli che nel 1882 erano solo esperimenti di notazione logica (cf. W4: 394-399) si sono sviluppati negli anni 1897 e 1898 nel sistema dei grafi esistenziali; tale lavorio consente una presentazione visiva

17 _{L’esperienza è ciò che avviene nel Phaneron, essendo definita nel corso delle seguenti considerazioni in termini di} modificazione forzata delle attitudini di pensiero: “we call the world of fancy the internal world, the world of fact the external world. In this latter, we are masters, each of us, of his own voluntary muscles, and of nothing more. But man is sly, and contrives to make this little more than he needs. Beyond that, he defends himself from the angles of hard fact by clothing himself with a garment of contentment and of habituation. Were it not for this garment, he would every now and then find his internal world rudely disturbed and his fiats set at naught by brutal inroads of ideas from without. I call such forcible modification of our ways of thinking, the influence of the world of fact, experience” (EP2: 369-370). Che si tratti di topologizzazione, almeno per quanto concerne la forma esterna degli elementi categoriali, emergerà nel corso dell’analisi di MS 908.

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e perfettamente iconica della verità di quelle che erano considerazioni algebriche in MS 908 (EP2: 364):

fig. 2.

La dipendenza di tale manoscritto (probabilmente datato dicembre 1905, cf. EP2: 360 e Luisi 2008: 165) dai principi stabiliti nell’algebra del 1882 non si limita a questa corrispondenza arricchita dal punto di vista notazionale e diagrammatico: “So far as our study has now gone, then, it appears possible that all elements of the Phaneron should be triads” (EP2: 364). Tale possibilità viene scartata sulla base del “principle that whatever is logically involved in an ingredient of the Phaneron is itself an ingredient of the Phaneron; for it is in the mind even though it be only implicitly so” (EP2: 364). Nella misura in cui tale principio contiene il termine Phaneron, esso afferisce alla faneroscopia. Tuttavia, l’analisi della struttura di una triade è isomorfa a quella riportata dall’algebra del 1882:

Suppose then a Triad to be in the Phaneron. It connects three objects, A, B, C, however indefinite

A, B, and C may be. There must, then, be one of the three, at least, say C, which establishes a

relation between the other two, A and B. The result is that A and B are in a dyadic relation, and C may be ignored, even if it cannot be supposed absent. Now this dyadic relation between A and B, without reference to any third, involves a Secundan. In like manner, in order that there may be a Secundan, so that A and B are in some sense opposed, and neither is swallowed up in the other,— or even if only one of them had such an independent standing, it must be capable of being regarded as more or less determinate and positive in itself, and so involves Primanity. This Primanity supposes a Priman element; so that the suggestion that no elements should be Primans is absurd, as is the suggestion that no elements should be Secundans (EP2: 364-365).

Anzitutto le lettere sono introdotte allo stesso modo che nel 1882: “Let A, B, C, etc., denote objects of any kind”. Considerando che C viene ignorato ma non è assente nell’analisi, si ha che la triade può essere scritta in accordo con l’algebra dei relativi “(A : A) : A (A : B) : A (A : A) : B (B : A) : A (A :

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B”: infatti, dall’analisi della triade risulta (A : B) : C. Inoltre, (A : B) e (B : A) sono i relativi duali che

permettono di introdurre la Secondità nel Phaneron come elemento ulteriore rispetto alla Terzeità e da essa implicato, infine (A : A) : A testimonia a favore di quanto segue: “even if only one of them