In alcune situazioni, oltre a possedere la misura della massima perdita potenziale di un portafoglio (V aRp) è importante anche eettuare un'analisi marginale della stessa misura
di rischio. Attraverso l'analisi marginale del Value at Risk, infatti, si può comprendere meglio come incidono, su tale misura di rischio, le diverse categorie di strumenti presenti in portafoglio. L'indicatore che permette di de nire ciò, ovvero la metrica utilizzata per catturare tutte le informazioni relative al comportamento che manifesta il Value at Risk di un portafoglio in dipendenza dai pesi assunti da una particolare posizione presente nello stesso, è indicata con il termine marginal VaR, oppure, usufruendo della sua abbreviazione, è nota anche come MVaR. Il marginal VaR viene calcolato attraverso la de nizione delle derivate parziali prime del Value at Risk rispetto ad ogni singolo peso wi, ossia mediante
la seguente espressione:
M V aRi=
∂V aRp
∂wi (2.4)
Questa de nizione è equivalente al calcolo di tale limite:
lim
4wi→0
V aR(w1, w2, . . . , wi+ 4wi, . . . , wn) − V aR(w1, w2, . . . , wi, . . . , wn)
4wi
In entrambi i casi, infatti, si misura la sensibilità del Value at Risk ad una variazione in nitesimale veri catasi in relazione ad un asset del portafoglio.
A questo punto, si può ricavare una de nizione ancora più generale del marginal VaR, a condizione però, che vengano accolte alcune ipotesi:
• gli asset che compongono il portafoglio, presi congiuntamente, devono distribuirsi secondo una normale multivariata;
• l'approccio che deve essere utilizzato in questo speci co caso è quello parametrico. Assunte tali premesse, il marginal VaR può essere scritto come segue:
M V aR = ri− zα
Pn
j=1wjcovi,j
σp (2.5)
Questa è l'espressione del marginal VaR che si ottiene non assumendo l'ipotesi di me- dia nulla, eventualmente, se si predilige mantenere la suddetta ipotesi, l'espressione è, in sostanza, analoga alla precedente:
M V aR = −zα
Pn
j=1wjcovi,j
σp
In ogni caso, ciò che emerge da entrambe le espressioni, è che il Value at Risk marginale di ogni singola posizione è condizionato principalmente dalla covarianza del rendimento di un
singolo asset con il rendimento del portafoglio stesso. Il marginal VaR, in sostanza, è una misura marginale di rischio che, nonostante preveda l'analisi del Value at Risk in relazione ad una singola posizione, nel complesso tiene comunque in considerazione delle relazioni che intercorrono tra tutti gli asset presenti in portafoglio.
Se, per esempio, si possiede un portafoglio con due soli strumenti, il Value at Risk di tale portafoglio sarà pari a:
V aRp = (w1r1+ w2r2) − zα
q
(σ1w1)2+ (σ2w2)2+ 2σ1σ2w1w2ρ1,2
dove con r1 e r2 si intendono i rendimenti rispettivamente dell'asset 1 e dell'asset 2, con σ1
e σ2 le deviazioni standard degli stessi, e con ρ1,2 la correlazione tra i due asset. Ripren-
dendo la formula (2.4) per calcolare il marginal VaR del portafoglio rispetto ai due asset è necessario identi care le derivate parziali prime9. Di seguito sarà illustrato, per rapidità,
solo il passaggio nale, che porta a de nire il marginal VaR. Innanzitutto il MVaR relativo al primo asset si de nisce così:
M V aR1 = ∂V aRp ∂w1 = r1− zα σ21w1+ w2cov1,2 p(σ1w1)2+ (σ2w2)2+ 2σ1σ2w1w2ρ1,2
Il MVaR relativo al secondo asset, analogamente, si scrive così:
M V aR2 = ∂V aRp ∂w2 = r2− zα σ22w2+ w1cov1,2 p(σ1w1)2+ (σ2w2)2+ 2σ1σ2w1w2ρ1,2
De nite queste due espressioni, si nota facilmente come esse possano essere ricondotte alla formulazione generale (2.5):
M V aRi = ri− zα
σ2
iwi+Pnj=1 e j6=iwjcovi,j
σp
= ri− zα
Pn
j=1wjcovi,j
σp
Ciò è possibile perché i due numeratori sono equivalenti, solo che scritti con termini diversi. Arrivati a questo punto, si ritiene importante illustrare anche il calcolo del marginal VaR attraverso l'algebra matriciale poiché, comunemente, i portafogli che vengono analizzati dalle banche sono composti da un numero assai elevato di asset e con tale tecnica risulta più semplice la sua computazione.
De niamo con ∇ il vettore delle derivate parziali prime del Value at Risk calcolate rispetto ai pesi degli asset in portafoglio, con Ω la matrice di varianza-covarianza relativa a tutti gli asset presenti in portafoglio e con w il vettore colonna contenente i pesi delle diverse posizioni.
9Per comprendere idoneamente il calcolo delle derivate parziali prime in questo preciso contesto, si
Il marginal VaR, di conseguenza, può essere de nito così:
M V aR = ∇V aRp= −zα
Ωw √
wTΩw
Com'è evidente, qualsiasi formulazione si utilizzi, il marginal VaR risulta, comunque, sem- pre dipendente dalla dimensione del peso del singolo asset in questione: la derivata prima parziale del VaR, in relazione ad una speci ca posizione wi, si modi ca al variare della
grandezza di tale posizione in portafoglio. Più precisamente, se il marginal VaR risulta positivo, allora all'aumentare del peso dell'asset considerato, incrementerà il rischio mar- ginale relativo e di conseguenza anche il rischio complessivo del portafoglio, mentre, nel caso il marginal VaR sia negativo, all'aumentare del peso dell'asset considerato, diminuirà il rischio marginale relativo e di conseguenza anche il rischio complessivo del portafoglio.
Il marginal VaR, in conclusione, è una metrica di rischio marginale che consente di ottenere una misura approssimativa del grado di incidenza di un asset sul Value at Risk di portafoglio. Esso, inoltre, come tutte le metriche fondate sul VaR, ha una visione orientata sul futuro e, contemporaneamente, il pregio di tenere in considerazione il collegamento presente tra ogni singola posizione e tutte le restanti in portafoglio.
2.5 Marginal ReVaR
La possibilità di studiare la sensibilità del Value at Risk al peso di ogni componente del portafoglio mediante il marginal VaR, si ritrova anche con il relative Value at Risk: come è possibile, infatti, de nire il marginal VaR del Value at Risk, così si può determinare la sensibilità del relative VaR rispetto alle componenti del portafoglio mediante una misura analoga, chiamata marginal ReVaR, identi cata anche attraverso il diminutivo MReVaR. Il marginal ReVaR si calcola esattamente allo stesso modo del marginal VaR, perciò, nel prosieguo, si illustrerà tale metrica rapidamente.
Essendo in possesso del valore del relative VaR (ReVaR) e del peso wDif f
i , cioè del peso
relativo alla singola posizione presente nel portafoglio dierenziale, il marginal ReVaR può essere espresso così:
M ReV aR = ∂ReV aR ∂wDif fi
Allo stesso modo, in termini matriciali, il marginal ReVaR può essere de nito così:
M ReV aR = ∇ReV aRp = −zα
ΩwDif f √
wDif f,TΩwDif f
Il marginal ReVaR, in sostanza, è una metrica di rischio marginale che concede la possibilità di individuare una misura approssimativa del livello di incidenza di un singolo strumento sul relative VaR di portafoglio.
2.6 Component VaR
Un'altra misura di rischio che si pre gge lo scopo di conoscere l'incidenza del Value at Risk delle diverse categorie di asset, oltre al marginal VaR, è il component VaR, ovvero il VaR parziale. Questa metrica serve ad analizzare, in relazione ad un particolare asset presente in portafoglio, qual è l'ammontare di Value at Risk che può essere assegnata a tale asset. In sostanza, il component VaR viene de nito come il marginal VaR moltiplicato per il peso dello speci co asset preso in considerazione:
CV aRi= M V aR × wi =
∂V aRp
∂wi
× wi
Questa misura di rischio è caratterizzata dal fatto che la somma di tutti i component VaR relativi ad ogni singola posizione in portafoglio dovrebbe essere pari al Value at Risk del portafoglio stesso.
Dal teorema di Eulero10, infatti, si può ricavare il VaR del portafoglio in termini di marginal
VaR: V aRp = n X i ∂V aRp ∂wi × wi
Sostituendo i valori all'interno della sommatoria con quelli de niti precedentemente si ottiene: V aRp= n X i ∂V aRp ∂wi × wi = n X i M V aR × wi = n X i CV aRi
Come risulta evidente, la sommatoria di tutti i VaR marginali fornisce il VaR complessivo del portafoglio. Ciò può essere riscritto in termini matriciali utilizzando il marginal VaR, ossia:
V aRp = ∇V aRTp × w
Il component VaR può essere de nito anche in termini percentuali, in modo da identi care più agevolmente l'incidenza di una particolare posizione al Value at Risk:
%CV aRi= ( ∂V aRp ∂wi × wi) × 1 V aRp × 100
Tramite quest'ultima formulazione, infatti, si può ricavare l'impatto percentuale di una speci ca posizione al Value at Risk complessivo del portafoglio che contiene tale asset. Per spiegare meglio quest'aermazione si propone un esempio: ottenere un component VaR pari al 5% signi ca che la posizione da cui si è ricavato il CVaR in questione incide sul Value at Risk del portafoglio complessivo per il 5%.
In questi termini è facile intuire quale asset in portafoglio ha un impatto maggiore sulla
10Per un approfondimento sul tema, si rinvia all'Appendice B, a pagina207, la quale illustra il suddetto
massima perdita potenziale complessiva dello stesso (VaRp).
2.7 Component ReVaR
Come si è visto nell'ambito del calcolo del rischio marginale (marginal VaR), esiste la possibilità di de nire una misura che de nisca l'impatto di una determinata posizione al Value at Risk complessivo del portafoglio, anche nell'ipotesi in cui esso sia calcolato su un portafoglio dierenziale, ovvero anche nel caso in cui si è in presenza del relative VaR. In questo preciso contesto, tale indicatore fornisce il livello di concentrazione del rischio di ottenere una performance inferiore rispetto al benchmark. Si parla di component ReVaR:
CReV aR = ∂ReV aR ∂wDif fi × w
Dif f i
dove il valore del relative VaR è espresso come ReVaR e il peso relativo alla singola posi- zione presente nel portafoglio dierenziale come wDif f
i .
Questa misura, riassumendo, consente di comprendere quali posizioni concorrono princi- palmente a creare un rischio di performance negativa in relazione al benchmark prescelto.
2.8 Incremental VaR
A questo punto risulta inevitabile identi care anche una misura di Value at Risk che riesca a catturare le eventuali variazioni che si realizzerebbero nel caso in cui, in un por- tafoglio, si introducesse o si estromettesse uno strumento. È evidente che tale operazione determinerebbe un certo impatto sulla misura di Value at Risk, poiché, con l'aggiunta o l'eliminazione di un asset, le dinamiche che intercorrono tra i vari strumenti di un porta- foglio sarebbero sciolte e poi rintrecciate in modo diverso. La misura di rischio che venne determinata con lo scopo di quanti care, in termini di perdita massima potenziale, l'ap- porto di un asset al Value at Risk globale di un portafoglio, venne indicata con il nome incremental VaR, nota anche con l'abbreviazione IVaR.
L'incremental VaR è una misura di rischio che si fonda, essenzialmente, sulla comparazione tra il Value at Risk del nuovo portafoglio, ossia quello che ha subito l'aggiunta o l'elimina- zione di un asset, e il VaR del portafoglio originario. In tal modo, l'IVaR va ad identi care come varia il Value at Risk globale al variare della composizione del portafoglio.
Detto ciò, l'incremental VaR può essere espresso, in termini generali, come di seguito:
IV aR = V aR(portafoglio nuovo)− V aR(portafoglio originario)
Da questa generale espressione, si può ricavare che l'incremental VaR potrebbe essere riscritto attraverso due formulazioni alternative, in dipendenza appunto, dalla circostanza
che si sia in presenza del caso in cui un asset viene aggiunto al portafoglio di origine, oppure, del caso opposto, in cui un asset viene eliminato dal portafoglio originario. Nel primo caso, appunto, quello caratterizzato dall'inserimento nel portafoglio di origine di un nuovo asset, l'incremental VaR può essere de nito così:
IV aR = V aR(p+new asset)− V aRp
Nel secondo caso, invece, caratterizzato dall'esclusione dal portafoglio di origine di uno degli asset, l'incremental VaR può essere rappresentato così:
IV aR = V aRp− V aR(p−new asset)
Per quanto riguarda la stima dell'incremental VaR, essa può essere determinata attraverso due diverse metodologie.
In primo luogo, può essere quanti cato mediante un approccio de nito come before and after.
Tale metodo si sviluppa attraverso una serie di fasi:
1. Calcolo del Value at Risk del portafoglio originario, dopo averlo rappresentato e aver indicato chiaramente i pesi di ogni asset presente nello stesso;
2. Determinazione del nuovo portafoglio, attraverso l'eliminazione o l'introduzione di un nuovo asset, esplicitando, anche in questo caso, i pesi assunti da ogni asset in tale nuovo portafoglio;
3. Calcolo del Value at Risk del nuovo portafoglio;
4. Applicare, a questo punto, una delle formule descritte precedentemente, in relazione al caso corrente, ovvero: [IV aR = V aR(p+new asset) − V aRp] nell'ipotesi sia stato
aggiunto un nuovo asset; [IV aR = V aRp− V aR(p−new asset) ] nell'ipotesi alternativa
in cui sia stato escluso un asset.
Questo approccio, in sostanza, si fonda su un processo di rivalutazione del Value at Risk complessivo del portafoglio, che avviene precedentemente e successivamente alla modi ca- zione dello stesso mediante l'inclusione o l'esclusione di un asset o di un insieme di asset. In questo contesto, inoltre, tale metodologia risulta più idonea se utilizzata in accordo con l'approccio delle simulazioni storiche per la misurazione del Value at Risk.
In secondo luogo, si può utilizzare un altro processo, anch'esso costituito da diverse fasi, che si fonda sul concetto precedentemente esposto di marginal VaR: si supponga di introdurre un asset all'interno del portafoglio che produca un ampliamento sostanzialmente irrisorio di una qualsiasi posizione (i) per un determinato ammontare (4wi).
Con questa modi ca, seppur trascurabile, i pesi di tutte le altre posizioni, presenti origi- nariamente, subiscono una variazione.
Si indichi con w il vettore contenente le posizioni originarie e wn il vettore contenente le nuove posizioni: w = w1 . . . wi . . . wn wn= w1+ 4w1 . . . wi+ 4wi . . . wn+ 4wn
Riprendendo ora il concetto di marginal VaR, si può misurare il VaR del nuovo portafoglio come la somma tra il VaR del portafoglio originario e il MVaR del portafoglio moltiplicato per la variazione dei pesi che si è registrata con l'aggiunta o la sottrazione di un asset. Il Value at Risk del nuovo portafoglio, perciò, può essere determinato con la seguente espressione:
V aRnp ≈ V aRp+ ∇V aRTp4w
Da cui si ricava la formula dell'incremental VaR:
IV aR = V aRnp − V aRp≈ ∇V aRpT4w
Tale de nizione, però, è stata ricavata nell'ambito di una variazione praticamente irrisoria di una posizione (i) mentre, nella realtà, tale variazione assume un'entità più rilevante e, per questo motivo, si ritiene necessario adottare un'approssimazione della precedente formula:
IV aR ≈ ∇V aRTp4w +1 24w
T∇2V aR p4w
Questa approssimazione risulta opportuna e necessaria nel caso in cui vi sia da de nire l'incremental VaR di un portafoglio che ha subito una variazione della propria composizione di notevole rilevanza.
In conclusione, l'incremental VaR calcolato attraverso quest'ultimo approccio gode della possibilità di essere adoperato anche in situazioni dove si veri cano delle variazioni delle posizioni di portafoglio di entità elevata, al contrario, non può essere usufruito nell'ipotesi in cui venga inserita una categoria di asset diversa da quelle presenti nel portafoglio di origine.