Simulazione storica

La simulazione storica è un approccio che determina il Value at Risk come un deter- minato percentile della distribuzione storica dei protti e delle perdite di un particolare portafoglio. Diversamente dal precedente modello, non impone alcuna ipotesi relativamen- te alla distribuzione di probabilità dei rendimenti, ma la desume direttamente dai dati passati, poiché ritiene che il comportamento dei dati passati si realizzi anche in futuro. Di conseguenza, una volta ricavata la serie storica dei protti e delle perdite, identica il VaR in base al livello di condenza scelto, come il percentile della coda sinistra della distribuzione ottenuta.

Come aermato nel precedente capitolo, con riguardo alle altre due metodologie, la si- mulazione storica potrebbe essere denita come un metodo ibrido, poiché possiede alcune caratteristiche dell'uno e dell'altro approccio: al suo interno, infatti, possono essere identi- cate due diverse tipologie di VaR, ovvero, un VaR parametrico e un VaR non parametrico. Queste due diverse misure di Value at Risk verranno di seguito illustrate, attraverso degli esempi.

VaR parametrico

Il procedimento per il calcolo del VaR parametrico si sostanzia in una serie di fasi: 1. Si deve scegliere sia l'orizzonte temporale di riferimento, sia il livello di condenza

(n) preferito;

2. Si deve calcolare la variazione del valore che è intercorsa nell'arco temporale preso in considerazione (ad esempio, se poniamo come orizzonte temporale 1 giorno, la variazione di valore dell'attività o del portafoglio di attività dovrà essere calcolata tra ogni singolo giorno e il giorno successivo);

3. Si devono applicare le variazioni ottenute nel punto precedente al valore presente del portafoglio in modo da ricavare un certo numero di ipotetici cambiamenti futuri dello stesso;

4. Si devono calcolare media (µ) e deviazione standard (σ) dei valori ottenuti nel punto precedente;

5. Si deve, inne, applicare questa semplice formula: V aR = µ − n × σ

Si ritiene opportuno illustrale tale modello con un esempio: si vuole stimare il VaR di un portafoglio attraverso una simulazione storica. Il valore del portafoglio in esame è pari a 500.000e, mentre l'orizzonte temporale di riferimento è di 1 giorno e l'intervallo di condenza scelto è pari al 95%.

Valore del portafoglio (e) Variazione percentuale Variazione ipotetica (e) 474.642,08 450.695,43 -5,05% 474.774,00 521.843,99 15,79% 578.931,97 510.918,40 -2,09% 489.531,75 474.598,39 -7,11% 464.456,15 527.043,95 11,05% 555.252,58 463.902,64 -11,98% 440.098,63 472.187,96 1,79% 508.930,01 523.820,34 10,93% 554.673,55 514.475,30 -1,78% 491.079,92 . . . . 506.915,37 5,99% 529.967,32 531.300,73 4,81% 524.052,70 469.197,84 -11,69% 441.555,80 438.859,32 -6,47% 467.669,80 455.947,31 3,89% 519.468,65 448.701,85 -1,59% 492.054,49 475.466,14 5,96% 529.824,14 524.814,68 10,38% 551.894,91 547.933,25 4,41% 522.025,46 500.266,84 -8,70% 456.503,46

Tabella 2.1: Simulazione storica mediante approccio parametrico.

In tabella sono riportati i valori in euro del portafoglio in esame, registrati negli ultimi 100 giorni6_{. Su questi valori si è calcolata la relativa variazione percentuale come:}

valore nale-valore iniziale valore iniziale

e poi si è denita la variazione ipotetica, sommando al valore iniziale del portafoglio l'ammontare della variazione intercorsa, ossia:

valore iniziale del portafoglio + valore iniziale del portafoglio × variazione percentuale Come si può notare, la tabella ragurata presenta solo dei dati parziali. Se si desidera prendere visione della tabella completa, si veda l'appendice A, a pag201.

A questo punto, per il calcolo del Value at Risk con simulazione storica, ma mediante approccio parametrico, è necessario ricavare dai dati rappresentati in tabella 2.1, sia la media (µ) che la deviazione standard (σ) e, inne, applicare la formula: V aR = µ − n × σ.

Il VaR viene denito dalla dierenza tra il valore iniziale del portafoglio e il valore trovato con l'applicazione della formula parametrica, ovvero:

V aR = 500.000, 00 − 424.113, 77 = 75.886, 23e

6_{I valori non riprendono i dati di un portafoglio reale, ma sono puramente casuali, riportati a soli ni}

Valore iniziale(e) Liv. di conf. Arco temp.(gg) Media(e) Dev. standard(e) µ − 1, 65 × σ(e)

500.000,00 95% 1 502.501,49 47.507,71 424.113,77

Tabella 2.2: Dati di sintesi della simulazione storica mediante approccio parametrico.

In conclusione, la massima perdita potenziale che si potrebbe incorrere in questo caso, con intervallo di condenza del 95% e un holding period di 1 giorno è di 75.886,23e.

VaR non parametrico

Il procedimento per il calcolo del VaR non parametrico è molto simile a quello del VaR parametrico, solo che dierisce per le ultime due fasi.

Di seguito vengono illustrate tutte le fasi del processo (comprese quelle analoghe al metodo del VaR parametrico):

1. Si deve scegliere sia l'orizzonte temporale di riferimento, sia il livello di condenza (n) preferito;

2. Si deve calcolare la variazione del valore che è intercorsa nell'arco temporale preso in considerazione (ad esempio, se poniamo come orizzonte temporale 1 giorno, la variazione di valore dell'attività o del portafoglio di attività dovrà essere calcolata tra ogni singolo giorno e il giorno successivo);

3. Si devono applicare le variazioni ottenute nel punto precedente al valore presente del portafoglio in modo da ricavare un certo numero di ipotetici cambiamenti futuri dello stesso;

4. Si devono ordinare i valori ottenuti nel punto precedente in modo decrescente, ovvero dal valore maggiore a quello minore;

5. Si deve, inne, stimare la massima perdita potenziale, attraverso la dierenza tra il valore corrente del portafoglio e il valore ottenuto in relazione al livello di condenza scelto nel punto a) (il valore sarà quello del percentile individuato tramite questa formula: [(n.osservazioni+1)×livellodiconfidenza]  ad esempio, se il livello scelto è pari al 95% e le osservazioni che si possiedono sono 90, mediante l'applicazione della precedente formula (90 + 1) × 0, 95 = 86, 45, quindi il valore sarà dato dalla media tra la cifra dell'86◦ _{percentile e la cifra dell'87}◦ _percentile).

Riprendendo l'esempio precedentemente utilizzato e riportato in tabella 2.1, si desidera spiegare concretamente tale metodologia.

Una volta calcolate le variazioni ipotetiche del portafoglio, si deve proseguire con l'ordi- namento di tali valori, in ordine decrescente, in modo da ottenere, per ogni percentile, il relativo valore associato.

Percentili Variazione ipotetica(e) 1 600.780,61 2 600.602,32 3 591.180,50 4 586.798,28 5 584.457,19 6 578.931,97 7 575.733,89 8 574.506,09 9 564.434,20 10 564.355,87 . . . . 90 450.481,91 91 441.700,40 92 441.555,80 93 440.488,86 94 440.403,21 95 440.098,63 96 428.376,78 97 428.376,78 98 403.375,04 99 402.549,46 100 395.557,15

Tabella 2.3: Simulazione storica mediante approccio non parametrico.

Anche in questo caso la tabella non è completa, ma la si può trovare in appendice A, a pagina201.

Il Value at Risk, in questo caso, viene determinato attraverso la dierenza tra il valore iniziale del portafoglio e il valore associato al percentile denito nel punto 5, ossia:

(n◦ _{osservazioni + 1)×livello di condenza = (100 + 1) × 0, 95 = 95, 95 = 96}◦

In sostanza, il percentile da prendere in considerazione è il 96◦_{, e il valore ad esso associato}

è pari a 428.376,78e, di conseguenza il VaR sarà pari a 71.623,22e: V aR = 500.000, 00 − 428.376, 78 = 71.623, 22e

I modelli di simulazione storica sono apprezzati e utilizzati principalmente per 3 moti- vazioni:

• non richiedono la formulazione di alcuna ipotesi circa la normalità o meno della distri- buzione di probabilità dei protti e delle perdite di un particolare portafoglio, perché tale distribuzione viene desunta esplicitamente dalle osservazioni storiche eettuate sui prezzi degli elementi che costituiscono il portafoglio stesso;

• non esigono la stima della matrice delle correlazioni, poiché attraverso questi modelli, è possibile denire la correlazione eettiva tra le diverse attività prese in esame;

• sono i più semplici da utilizzare e, allo stesso tempo, i più comprensibili, anche da parte di manager meno avvezzi a tali tecniche.

Contemporaneamente, però, devono essere sottolineati anche i limiti e i difetti di tale approccio:

• l'adozione di una distribuzione desunta dalle osservazioni passate comporterà una certa stazionarietà della stessa, vale a dire, la distribuzione di probabilità dei protti e delle perdite futuri andrà a combaciare in modo perfetto con quella storica e questa circostanza sottolinea l'assenza di elementi predittivi nel calcolo del VaR;

• l'utilizzo di un tale metodo richiede che gli operatori che svolgono tale calcolo siano in possesso di serie storiche sucientemente lunghe per poter operare correttamen- te, perché, in assenza di serie abbastanza lunghe, non si potrebbero determinare idoneamente le code della distribuzione;

• l'applicazione di tale approccio può essere considerata dispendiosa, dal momento che comporta la rielaborazione del portafoglio all'interno di una moltitudine di scenari distinti e per un numero elevato di volte proprio per assicurare la signicatività della stima del VaR.