Il merito di credito e la probabilità di default

Il merito di credito identica il livello di adabilità di una controparte in relazione alla capacità della stessa di rimborsare un nanziamento concesso. Esso rappresenta perciò, una caratteristica intrinseca della controparte in questione.

Per quanto riguarda la stima del merito di credito, esso può essere identicato attraverso la denizione di:

• Un rating; • Uno score; • Una probabilità.

Nel primo caso, il merito di credito di una controparte può essere identicato diret- tamente con il rating che la stessa possiede. Com'è noto, il rating può essere denito internamente dalla banca, oppure può essere acquisito esternamente dalle agenzie di rating specializzate. In quest'ultima evenienza, la banca ottiene l'informazione direttamente da una fonte esterna, che deve essere perciò, adabile. Ogni agenzia di rating, però, ha un proprio metodo sia per la denizione della classe di merito, sia per il calcolo della stessa.

Ad una stessa azienda, infatti, in dipendenza dal valutatore, verrà attribuito una diversa classe di rating, perché ogni agenzia esamina le aziende utilizzando modelli diversi e, allo stesso tempo, perché il metro di giudizio adoperato è dierente (per esempio, la classica- zione di Moody's prevede lettere e numeri, mentre la classicazione di Standard & Poor's usufruisce di lettere e operatori numerici). L'unico inconveniente che si potrebbe creare in questa situazione riguarda la possibilità, appunto, di commettere degli errori nella com- prensione delle metodologie adottate nella stima quantitativa di queste dierenti classi di rating.

Nell'ipotesi in cui, al contrario, il rating fosse denito internamente, la stima dello stesso avverrebbe mediante una valutazione soggettiva da parte dell'analista della banca: si tratta di una valutazione basata sull'analisi sia di informazioni di tipo qualitativo (es. la posizione competitiva, le prospettive di crescita futura, ecc.) sia di informazioni di tipo quantitativo (es. i ratio nanziari, l'analisi andamentale, ecc.) al termine della quale, l'analista assegna una classe di merito alla controparte sotto forma di rating.

Nel secondo caso, invece, il merito creditizio viene descritto attraverso un voto (c.d. score)2_.

In questa categoria sono compresi diversi modelli (ad esempio lo Z-score di Altman, il Lambda di Wilks, ecc.)3_{, i quali si realizzano attraverso tecniche computazionali diverse,}

che però, seguono tutte una linea comune: si caratterizzano, infatti, per la volontà di scremare le aziende solventi da quelle insolventi attraverso l'analisi di alcuni indici econo- mici o nanziari. Una chiara esemplicazione è fornita dal modello dello Z-score, modello statistico che, attraverso l'analisi e l'elaborazione di tutte le informazioni possedute sulle controparti, riesce a predire quale di queste sarà insolvente o meno. Tali modelli hanno come output uno score che, mediante alcune correzioni, può essere trasformato in una pro- babilità di insolvenza oppure in un rating. Il limite principale di tali metodologie è dato dal fatto che, essendo tecniche statistiche, non tengono conto delle informazioni qualitative dell'azienda.

Nel terzo caso inne, il merito di credito di una controparte viene rappresentato at- traverso una probabilità, più precisamente mediante la probabilità di default, identicata in modo più semplice con l'abbreviazione PD. Essa può essere vista come un parametro che descrive una variabile Bernoulliana4_{, variabile casuale che si ritiene possa descrivere le}

diverse possibilità del mondo del merito di credito (stato di default - stato di insolvenza) ossia, individua un valore denito tra 0 e 1 empiricamente testabile e puntuale.

Per quanto attiene il calcolo della probabilità di default, esso si basa su un processo a due

2_{In inglese, con il termine credit score si intende, appunto, l'adabilità creditizia. che viene formulato}

grazie all'ausilio di alcuni modelli indicati con la locuzione credit scoring.

3_{Per maggiori informazioni sui modelli di credit scoring si veda RESTI A., SIRONI A. Rischio e valore}

nelle banche. Misura, regolamentazione, gestione, EGEA, Milano, 2008.

4_{La distribuzione di Bernoulli è una variabile casuale molto semplice, che può assumere solo due valori:}

0 o 1. Per eventuali approfondimenti si veda BOELLA, M. Probabilità e statistica per ingegneria e scienze [16].

passi:

• Denizione dello score;

• Mapping dello score sulla PD.

Tale processo, inoltre, dierisce nel caso si sia in presenza di controparti appartenenti al banking book o controparti concernenti il trading book.

Banking Book

Nell'ambito del Banking Book, generalmente, si scorgono prodotti tradizionali (es. mu- tui) erogati a controparti di dimensioni contenute che dicilmente sono quotate sul mer- cato. L'assenza di informazioni sul prezzo azionario, perciò, incide molto sul processo di calcolo della probabilità di default.

Il primo passo (denizione dello score) da compiere per arrivare a determinare la PD si articola, a sua volta, in due passaggi:

• Raccolta delle informazioni; • Determinazione dello score.

Non potendo usufruire delle informazioni sull'equity della controparte in questione, prima di tutto è necessario raccogliere ogni informazione possibile (ovviamente che sia attinente allo scopo dell'analisi). Gli input di questo modello, perciò, saranno identicati sia nelle informazioni di bilancio, sia nelle informazioni ricavate dalla Centrale Rischi. Una volta ottenuti tutti gli elementi necessari si dovranno elaborare tali dati in modo da ottenere alla ne la probabilità di default. Questo collegamento viene eettuato tramite l'uso di una variabile latente, ossia una variabile non osservabile.

Come aermato inizialmente, il merito di credito può essere rappresentato attraverso una variabile casuale, più precisamente, una variabile Bernoulliana, che identica unicamente due stati tra loro opposti, cioè lo stato di solvibilità (indicato con il numero 0) e lo stato di insolvenza (indicato con il numero 1). Per poter combinare le informazioni raccolte ed ot- tenere un risultato idoneo, si decise di introdurre una variabile latente. Per la precisione, si notò che si poteva determinare una corrispondenza biunivoca tra la variabile Bernoulliana e una variabile casuale latente continua. In questo modo, si potevano stimare i parametri necessari per denire la soglia sulla funzione f(x), la quale, sarebbe stata sempre uguale in relazione alle diverse tipologie di variabili latenti z utilizzate.

Deniti, perciò, tutti gli elementi necessari, si procede al calcolo dell'integrale R+∞

f (x)f (z) dz,

il quale identica un determinato score5_.

5_{L'output che si ottiene dal calcolo dell'integrale R}+∞

f (x)f (z) dz, inizialmente veniva denito come la

probabilità di default. Si è compreso successivamente che esso, invece, era una stima distorta della stessa. Utilizzando, per l'appunto, diverse variabili latenti (es. la variabile logit o la variabile probit) a parità di soglia si identicavano integrali dierenti. Per questo motivo il processo per il calcolo della PD non si è arrestato a tale risultato, ma continua con il secondo passo.

Figura 3.2: Relazione biunivoca tra una variabile Bernoulliana e una variabile latente.

Si vuole puntualizzare che tale calcolo deve essere eseguito sia sulle informazioni di bilan- cio, sia su quelle ricavate dalla Centrale Rischi, poiché tali input hanno una periodicità dierente6_.

Riassumendo, attraverso l'utilizzo della variabile latente, si riesce ad elaborare l'input ini- ziale in modo da ricavare degli score nali. Questi, poi, verranno ponderati in relazione al livello di attualità degli stessi, per ottenere uno score complessivo. Tale procedimento ovviamente, dovrà essere eettuato per ogni singola controparte presente in portafoglio. A questo punto si procede con il secondo passo (mapping dello score sulla PD).

In questo momento si possiedono un determinato numero di score: se si interpretassero tali numeri come dei punteggi, diventerebbe possibile individuare le controparti più rischiose e quelle meno rischiose, cosicché l'output ottenuto, indipendentemente da quale distribuzio- ne latente si sia scelta, possa essere ordinato in maniera coerente, in funzione di tutte le informazioni e in relazione a tutte le controparti.

In primo luogo, quindi, si ordinano gli score in un vettore, iniziando da quello relativo alla controparte con minor probabilità di default, no a giungere a quella più rischiosa. In sostanza, si delinea un metodo semplice e comprensibile che permette di trasformare

6_{Com'è noto, i dati di bilancio sono generalmente annuali (in rari casi si possono trovare dei bilanci}

infra annuali), mentre i dati ottenuti dalla Centrale Rischi sono mensili. Per tenere conto della storicità di tali input, si è preferito elaborare in modo separato queste informazioni, per poi incorporarle attraverso una ponderazione.

le informazioni di bilancio e i dati della Centrale Rischi in un ordinamento che illustra la posizione di tutte le controparti in termini di rischio.

In secondo luogo si divide il vettore in blocchetti con un numero inferiore di valori, e per ognuno di questi si va a calcolare la frequenza relativa, data dal seguente rapporto:

F requenza relativa = N umero di def ault N umero di osservazioni

Tale suddivisione è possibile poiché è facile intuire che le controparti al loro interno pos- siederanno un rischio analogo (non identico, ma approssimativamente lo stesso), in questo modo la frequenza relativa calcolata su ogni blocchetto può essere intesa come la stima della probabilità di default rappresentativa dello specico blocchetto preso in considerazione.

P D = F requenza relativa = N umero di def ault N umero di osservazioni

Ricapitolando, la frequenza relativa per ogni singolo blocchetto è una stima corretta della Bernoulliana rappresentativa delle controparti presenti in tale blocchetto, ovvero della PD7_.

Trading Book

Nell'ambito del Trading Book comunemente si distinguono strumenti potenzialmente liquidi e controparti di dimensioni grandi e strutturate quindi, diversamente dal caso pre- cedente, in tale circostanza le informazioni sul prezzo azionario sono facilmente reperibili. Esse sono qualitativamente migliori rispetto alle informazioni sul bilancio, poiché sono quo- tazioni azionarie che hanno una elevata frequenza e scontano tutte le informazioni che il mercato possiede su una data controparte: un'azienda che va bene e che possiede un valore di mercato alto avrà, di conseguenza, un buon merito di credito. Implicitamente quindi, l'informazione azionaria contiene anche informazioni sulla probabilità di default di ogni controparte.

A questo punto si può passare alla denizione dei 2 passi necessari al calcolo della PD. Il primo passo, ossia la denizione dello score, si basa sul modello di Merton8_{: esso deniva}

l'equity mediante una call option che ha come underline asset l'attivo di mercato di una controparte e come strike price il livello delle sue passività.

  

Equity = Assets − Liabilities se A>L Equity = 0 se A<L

7_{Per avere la conferma che il risultato ottenuto sia giusto, ossia, che la frequenza relativa sia uno}

stimatore corretto della probabilità di default, si deve procedere attraverso una verica empirica: posta sull'asse ordinate la frequenza relativa e sull'asse delle ascisse lo score, la curva che risulta deve essere monotona crescente. Solo in tale situazione si può aermare la correttezza del modello utilizzato.

8_{Per maggiori informazioni si veda MERTON, R. C. On the pricing of corporate debt: the risk structure}

Figura 3.3: Graco di una call option.

Sulla base di questa considerazione Vasicek ricavò la denizione di default9_{: esso, in}

termini di option price, coincide con una call out of the money. In sostanza, per denire il rischio di credito, si deve pensare al merito di credito di una controparte come alla probabilità che un'opzione possa risultare out of the money.

Si guardi la gura 3.4: se si è posizionati nell'istante t0 e si desidera valutare il merito

di credito in t1, il valore di mercato degli attivi è rappresentato dalla distribuzione A che

illustra l'underline asset a scadenza, mentre il valore di partenza è dato da At0 (valore di

mercato dell'attivo all'istante t0) e lo strike price da L.

Si è consci che tutte le traiettorie da t0 a t1 che terminano sull'underline asset sopra L

forniscono un valore positivo della call, poiché l'opzione resta in the money, mentre tutte le dinamiche che terminano sull'underline asset al di sotto di L deniscono una call out of the money, ossia ideticano lo stato di default.

La probabilità quindi, di risultare out of the money coincide con la probabilità di default:

P D = P robability (call out of the money)

Da un punto di vista teorico tale formulazione non presenta alcun difetto mentre, dal punto di vista pratico si deve tener presente che l'underline asset è una variabile denita solo a livello logico, poiché nella realtà essa non è osservabile e quindi non è possibile denire la sua distribuzione di probabilità.

Figura 3.4: Graco che illustra la possibilità di un'opzione di risultare in the money o out of the money.

Il modello perciò, non è direttamente applicabile perché la call è scritta su un underline asset latente: la probabilità di default risulterebbe dal calcolo dell'integrale su una coda di una distribuzione che però non è conosciuta.

Sapendo che le variabili note sono lo strike price L e il valore dell'opzione E, e che il prezzo di un'opzione (secondo il modello di option pricing) è dato dalla seguente funzione: E = f unction(A, σA, L, τ, r) dove A rappresenta l'asset, σA la volatilità dell'asset, τ il

tempo a scadenza e r il tasso free risk, Vasicek capì che era possibile ricavare i parametri ignoti A e σA attraverso la tecnica di calcolo della volatilità implicita.

In questo modo, possedeva tutti i mezzi per denire la Distant to Default (c.d. DD):

Distant to Def ault = DD = A − L σA· A

La Distant to Default è un indicatore stabile e adimensionale che denisce la distanza tra il valore A e L, corretta per la volatilità della distribuzione. Esso è l'output del modello che viene utilizzato per ordinare tutte le controparti nel secondo passo della denizione della PD.

A questo punto si procede con il mapping dello score sulla PD (secondo passo). Come visto precedentemente nel caso del Banking Book, anche in questo caso si possiede un determi- nato numero di score, o meglio di output (DD): se tali numeri fossero interpretati come dei punteggi diventerebbe possibile individuare le controparti più rischiose e quelle meno

rischiose, cosicché l'output ottenuto, indipendentemente da quale distribuzione latente si sia scelta, possa essere ordinato in maniera coerente in funzione di tutte le informazioni e in relazione a tutte le controparti.

In primo luogo, quindi, si ordinano gli output in un vettore partendo da quello relativo alla controparte con minor probabilità di default no a giungere a quella più rischiosa. In secondo luogo si divide il vettore in blocchetti con un numero inferiore di valori e per ognuno di questi si determina la frequenza relativa, data dal seguente rapporto:

F requenza relativa = N umero di def ault N umero di osservazioni

Tale suddivisione è possibile poiché è facile intuire che le controparti al loro interno avranno un rischio analogo, cosicché la frequenza relativa calcolata su ogni blocchetto può essere intesa come la stima della probabilità di default rappresentativa dello specico blocchetto preso in considerazione. Come visto precedentemente, il secondo passo, ovvero il mapping dello score sulla PD, risulta essere esattamente identico per i due diversi casi.

Pertanto, si può concludere aermando, che il calcolo della probabilità di default (PD) si compone di due passi, ossia la denizione dello score (la cui determinazione dipende dal portafoglio considerato) e il mapping dello score sulla PD (processo analogo per qualsiasi portafoglio preso in esame).