Denizione del Value at Risk

Come si è detto, negli anni '90 la banca d'aari J.P. Morgan rese pubblico un docu- mento (il RiskMetrics) che illustrava una nuova tecnica di misurazione del rischio, ovvero il Value at Risk, conosciuto più comunemente con l'abbreviazione VaR.

Il Value at Risk è denito generalmente come la massima perdita potenziale derivante dalla detenzione di una particolare attività, in relazione ad un certo intervallo di condenza e ad un determinato orizzonte temporale futuro.

Per quanto riguarda il livello di condenza, solitamente esso varia dal 95% al 99,9%, in relazione alle esigenze speciche dell'istituto che usufruisce di questa misura o agli obbli- ghi normativi imposti dalle Autorità competenti. Relativamente all'orizzonte temporale scelto invece, esso generalmente corrisponde ad 1 giorno o a 10 giorni, in attinenza con la tipologia di attività cui si riferisce (più l'attività è liquida, più rapido sarà il suo eventuale smobilizzo e quindi più breve sarà l'arco temporale di riferimento).

Andando a specicare meglio il concetto, si può dire che il Value at Risk è la potenziale

38_{Per ulteriori informazioni si veda il documento tecnico J.P. MORGAN, RiskMetrics}TM_{ Technical}

Document [47].

39_{Per ulteriori informazioni sull'evoluzione storica si veda l'articolo TEDESCHI, R. Storia quasi breve}

del risk management nelle banche [69].

40_{Si fa riferimento, ad esempio, alla perdita di un ammontare di circa 1,050MM dollari registrata nel}

1993 dalla compagnia petrolifera Showa Shell Sekiyu a causa di una speculazione sui tassi di cambio o alla perdita di circa 1,300MM dollari subita nel dicembre del medesimo anno dalla MG Rening and Marketing, una controllata americana della tedesca Metallgesellschaft AG, a causa di un'errata copertura di una fornitura di petrolio a lunga scadenza. Per ulteriori informazioni si consulti il libro HOLTON, G. A. Value-at-Risk: Theory and Practice [45], paragrafo 1.9.6.

perdita massima, espressa in termini monetari, che un'attività o un portafoglio di attività può sopportare in un determinato arco temporale, con una data percentuale di probabilità (ad esempio 95%). Modicando il punto di vista originario, il VaR può essere inteso anche come la perdita minima (non più massima) che un'attività può registrare, sempre in un prestabilito periodo temporale, nel caso venga superato l'intervallo di condenza preceden- temente utilizzato (quindi nel rimanente 5% dei casi).

In altri termini, il Value at Risk può essere considerato come una tecnica che esprime, attraverso valori monetari, la misura di rischio a cui un particolare individuo, detentore di un capitale o di un'attività, è soggetto.

Ovviamente si deve tener presente che più ampio e complesso è il portafoglio di attività di cui si vuole calcolare il rischio, più elaborato sarà il calcolo del VaR, poiché in quest'ulti- mo caso, bisognerà tener conto anche delle correlazioni tra le diverse attività presenti nel medesimo portafoglio e il livello di diversicazione delle stesse.

L'elemento innovativo del VaR risiede nella quanticazione della deviazione standard della P&L (ovvero la distribuzione dei protti e delle perdite di un'attività o portafoglio) attra- verso valori monetari di perdita (es. dollari, euro, sterline, ecc.): più ampia è la volatilità (c.d. standard deviation), maggiore è il rischio e di conseguenza più elevate le potenziali perdite monetarie.

Figura 1.1: Rappresentazione di un VaR pari a 500e, su un orizzonte temporale di 10 giorni e con un livello di condenza del 95%.

Si può spiegare questa misura anche attraverso termini più semplici e concreti: si assuma, ad esempio, che relativamente ad una particolare attività (il cui capitale iniziale ammonte-

rà ad una data cifra) venga denito un VaR pari a 500e, quanticato tenendo conto di un livello di condenza del 95% e di un arco temporale di 10 giorni: ottenere un VaR di 500e con le suddette ipotesi, implica che l'attività in questione, nel 95% dei casi, potrebbe subire una perdita massima di 500e nei prossimi 10 giorni e solo nel restante 5% dei casi tale perdita potrebbe risultare superiore ai 500e stimati. Come si desume dall'esemplicazio- ne appena esposta, il Value at Risk è una tecnica semplice, ma di immediata e universale comprensione.

Il VaR inoltre, è una misura di rischio statistica di tipo probabilistico caratterizzata dal fatto che l'ammontare monetario che viene determinato dipende, in primo luogo (ed es- senzialmente) dal livello di condenza scelto: difatti, generalmente all'aumentare della percentuale di probabilità assunta si registrerà un conseguente aumento dell'importo de- terminato da tale misura.

Se deniamo con Loss la perdita e con Liv.Conf. il livello di condenza, si potrebbe scrivere tale relazione nel modo seguente:

P rob(Loss ≥ V aR) = 1−Liv.Conf. equivalentemente P rob(Loss < V aR) = Liv.Conf. Quindi, riprendendo l'esempio precedente, si potrebbero riscrivere tali formule così:

P rob(Loss ≥ 500e) = 5% equivalentemente P rob(Loss < 500e) = 95%

In secondo luogo essa dipende dal periodo temporale stabilito, e anche in questo caso, con l'ampliamento dell'arco temporale deciso, si vericherà un incremento dell'ammontare di Value at Risk.

Risulta evidente a questo punto che tale tecnica, in relazione al livello di condenza stabili- to, denisce la potenziale perdita massima che un soggetto o una banca può subire (i 500e dell'esempio), ma nulla aerma a proposito dell'importo che si potrebbe perdere nel caso si vericassero gli eventi sfavorevoli rientranti nel restante 5% dei casi peggiori. Nonostante ciò rimane evidente la sua forte comunicabilità: il Value at Risk fu creato proprio con lo scopo di ottenere un unico valore che riassumesse al suo interno tutte le informazioni riguardanti i rischi dell'attività o del portafoglio di attività cui era riferito, attraverso dei calcoli sostanzialmente semplici e veloci, che fornissero un dato facilmente comprensibile anche da operatori che non possedevano competenze professionali e tecniche.

Come se non bastasse, è possibile vericare l'ecacia predittiva del modello mediante l'u- tilizzo di un semplice backtesting, ovvero tramite un confronto tra l'intervallo di valori stimati dal modello e l'esito realmente conseguito successivamente. In questo modo è pos- sibile controllare la bontà della misura e se necessario, porvi alcune modiche per allineare i risultati alla realtà.

Per il calcolo del Value at Risk sono previsti 3 diversi metodi: • l'approccio varianza-covarianza o approccio parametrico;

• la simulazione storica; • la simulazione Monte Carlo.

L'approccio varianza-covarianza è l'unico approccio parametrico tra i 3 descritti sopra e si contraddistingue principalmente per la circostanza di essere un metodo che poggia su un modello statistico di riferimento. Questo implica l'assunzione a priori di una determinata distribuzione di probabilità dei protti e delle perdite, che viene identicata solitamente nella distribuzione normale. In questo modo risulta più semplice calcolare la media e la varianza dei parametri di portafoglio, poiché essi deriveranno direttamente dalla media e dalla varianza dei valori di mercato sottesi. È l'approccio più semplice da utilizzare e comunemente viene impiegato quando l'attività o il portafoglio di attività sono lineari, quindi costituiti, per esempio, da obbligazioni o depositi.

La simulazione storica è un approccio non parametrico che non richiede la formulazione di alcuna ipotesi circa la normalità o meno della distribuzione di probabilità dei protti e delle perdite di un particolare portafoglio, perché tale distribuzione viene desunta esplici- tamente dalle osservazioni storiche eettuate sui prezzi degli elementi che costituiscono il portafoglio in questione. Questo metodo richiede che gli operatori che svolgono tale calcolo siano in possesso di serie storiche sucientemente lunghe per poter operare correttamente. Per di più, con riguardo alle altre due metodologie, la simulazione storica potrebbe essere denita come un metodo ibrido, perché possiede alcune caratteristiche dell'uno e dell'altro approccio.

La simulazione Monte Carlo è il secondo approccio non parametrico, che consiste nel generare, dopo aver scelto una particolare distribuzione casuale, un numero sucientemen- te elevato di scenari (ad esempio di credito o di mercato) i quali verranno applicati ad uno specico portafoglio per ricavare una distribuzione di possibili esiti espressi come perdite e protti. I valori di media e varianza che si otterranno da tale distribuzione poi, saranno impiegati come punto di partenza per la stima del Value at Risk. Rispetto al metodo varianza-covarianza, quest'ultimo approccio permette di ottenere una stima più precisa del valore monetario del VaR, a discapito però, della semplicità dei calcoli: infatti, non viene posta alcuna ipotesi sulla distribuzione di probabilità, bensì la stessa distribuzione P&L (delle perdite e dei protti) verrà generata mediante simulazione. È l'approccio più dispendioso in termini non solo di tempo, ma anche di calcoli, però, poiché ha il pregio di produrre una stima più precisa, viene adoperato soprattutto in presenza di portafogli non lineari, ossia costituiti da strumenti quali le opzioni.

Si vuole rapidamente sottolineare che, nel caso in cui una banca o una società non disponga dei mezzi necessari per sviluppare internamente dei modelli per il calcolo del

Value at Risk (o nel caso tali modelli non abbiano ottenuto la validazione necessaria dalle Autorità competenti) esse possono comunque beneciare di alcuni modelli di misurazione standard, proposti e deniti all'interno della normativa di Basilea 3.

Per quanto attiene la scelta dell'approccio più idoneo da impiegare in ogni singola situa- zione, questa avviene in relazione ad alcuni fattori:

• la complessità di calcolo;

• l'ampiezza della base dati disponibile; • la copertura degli strumenti;

• il grado di comunicabilità e comprensione del modello scelto.

In base a questi fattori, gli operatori sceglieranno il metodo che più si addice alle nalità che dovranno perseguire nel loro lavoro.

In ultima istanza, si ritiene opportuno precisare che il Value at Risk, non è solo uno strumento per la misurazione del rischio, ma viene utilizzato anche per due ulteriori nalità41_:

• orire una misura per l'apprezzamento dell'adeguatezza patrimoniale, in considera- zione della totalità dei rischi assunti;

• permettere di denire le misure di performance corrette per il rischio, conosciute come RAPM (Risk Adjusted Performance Measures).

41_{Per eventuali approfondimenti in materia, si veda SAITA, F. Value at Risk and Bank Capi-}

tal Management: Risk Adjusted Performances, Capital Management and Capital Allocation Decision Making [64].

I modelli per il calcolo dell Value at

Risk

Le metodologie utilizzate attualmente per la misurazione dei rischi trovano le loro ori- gini nel Value at Risk. Il Risk Management predilige individuare il rischio come la perdita massima potenziale, ovvero come l'ammontare di moneta che si potrebbe perdere, poiché in questo modo risulta più semplice identicare, al tempo stesso, la quantità di capitale che si dovrebbe sempre mantenere per la copertura di tale potenziale perdita, ossia del ri- schio associato. Identicare il rischio in questo modo (come la massima perdita potenziale) comporta la determinazione di una metodologia di misurazione del rischio che ha il pregio di poter essere impiegata con qualsivoglia tipologia di rischio e ha il merito di poter essere espressa come l'ammontare di capitale indispensabile per assicurare la sopravvivenza di un intermediario, anche nell'ipotesi in cui si verichi un evento sfavorevole inaspettato che comporti la realizzazione di tali potenziali perdite. Le suddette circostanze vengono assolte proprio attraverso l'impiego del Value at Risk, strumento capace di rispondere all'esigenza essenziale del Risk Management di riuscire a misurare idoneamente i rischi che una banca si accolla, in rapporto all'ammontare patrimoniale accantonato dalla stessa.

Nel prosieguo si analizzerà, a livello pratico, la tecnica del Value at Risk, quale prima ed essenziale metodologia di misurazione del rischio impiegata storicamente, sulle cui basi poi, sono stati formulati tutti i successivi metodi di quanticazione del rischio.

2.1 Le metodologie di misurazione del Value at Risk

Il processo di misurazione dei rischi è una fase essenziale del Risk Management, il quale, generalmente, valuta il rischio in termini di perdita inattesa: tutte le tecniche del Risk Management hanno come ne principale la misurazione globale di tutte le distinte varietà di rischio della banca. La prima tecnica che riuscì in questo arduo compito e sulla quale vennero poi formulate e sviluppate tutte le altre diverse metodologie di misurazione dei

rischi, fu il Value at Risk. Pertanto, il presente paragrafo e la suddetta tesi, analizzeranno il processo di misurazione del rischio in relazione alla tecnica che può essere ritenuta come quella principale e fondamentale in questa fase, ovvero il Value at Risk.

Il Value at Risk è denito comunemente come la massima perdita potenziale derivante dalla detenzione di una particolare attività, in relazione ad un certo intervallo di condenza e ad un determinato orizzonte temporale futuro: è una tecnica di misurazione del rischio fondamentale, che si caratterizza dal fatto che, diversamente da altri modelli, questa è una misura sostanzialmente omogenea di rischio, con il pregio di poter essere utilizzata per compiere un raronto fra diverse tipologie di rischio. Come precedentemente illustrato, le misure che venivano utilizzate inizialmente, come la duration, il beta (β) o le greche, erano tutte metodologie che difettavano, da un lato per l'impossibilità di adoperarle con lo scopo di attuare un confronto fra diverse posizioni, in modo da conoscere quale fosse più rischiosa per i detentori di tali strumenti, dall'altro per l'incapacità delle stesse di fornire una misura del rischio complessivo, cioè risultante dalla combinazione di diverse posizioni. Per risolvere queste problematiche, si necessita di un'unità di misura generale del rischio, tenendo conto che il rischio associato ad ogni strumento è legato al livello di variazione del valore dello strumento in un determinato momento del futuro. Tale unità di misura generale è impersonata dalla perdita che una banca può potenzialmente subire in relazione allo strumento posseduto. A questo punto è necessario, per eettuare una valutazione ido- nea, denire due elementi: un orizzonte temporale di riferimento e un livello di condenza appropriato.

Con riguardo al primo elemento, ovvero l'orizzonte temporale di riferimento, è necessario che esso venga denito a priori, per un semplice motivo: la perdita che si incorre relati- vamente alla detenzione di uno strumento (ad esempio un'obbligazione o un'azione) per un giorno, è diversa dalla perdita che si potrebbe incorrere nel caso tale strumento fosse mantenuto per 10 giorni o per 30 giorni, o perno un anno. È chiaro perciò che, la misura di rischio prescelta, deve essere usufruita in relazione ad un preciso e predenito orizzonte temporale.

Relativamente al secondo elemento, ossia il livello di condenza, la sua denizione è legata al concetto di massima perdita potenziale. La misura di rischio, infatti, non può essere assimilata alla massima perdita assoluta, bensì a quella potenziale. La ragione è palese: se si dovesse utilizzare una misura di rischio assoluta e non più potenziale, nel caso si dete- nesse uno o più strumenti e si volesse quanticare la loro massima perdita assoluta, risulta evidente che questa coinciderebbe esattamente con l'esposizione complessiva, ovvero, l'am- montare di capitale impiegato in tali strumenti. Tale concetto verrà illustrato di seguito con un esempio: se una banca possedesse un portafoglio contenente 100 obbligazioni dal valore di 10e per singola obbligazione, il capitale complessivo nel portafoglio risulterebbe pari a 1000e, e la perdita massima assoluta di tale portafoglio andrebbe proprio a coin- cidere con l'importo dal capitale complessivo, ovvero i 1000e. Allo stesso modo, se la

banca possedesse 100 azioni dal valore di 10e per azione, il capitale complessivo risulte- rebbe sempre pari a 1000e e la perdita massima assoluta rimarrebbe invariata alla cifra di 1000e. Ovviamente, in questo modo, detenere 100 azioni o detenere 100 obbligazioni in portafoglio, comporterebbe lo stesso livello di rischio, in altri termini, una perdita massima assoluta di 1000e, ma è comunemente noto che il rischio associato alle azioni è più elevato di quello associato alle obbligazioni, perciò l'utilizzo di una tipologia di misurazione basata sulla perdita assoluta non sarebbe idonea proprio perché si incorrerebbe in un'evidente contraddizione.

Date le circostanze è preferibile adottare una misura di rischio basata sulla massima perdita potenziale, la quale avrà luogo solo in un determinato set di casistiche possibili: si dovrà, di conseguenza, delineare un insieme ampio di situazioni sfavorevoli per un intermediario che, però, non vada mai a coincidere con la totalità delle situazioni possibili (altrimenti si determinerebbe la perdita assoluta e non quella potenziale). La percentuale delle si- tuazioni sfavorevoli prese in considerazione potrebbe essere pari, ad esempio, al 99% di tutti gli scenari possibili, così da non coincidere con la totalità delle situazioni avverse, ma, allo stesso tempo, comprenderne un numero sucientemente elevato: infatti, solo nel remoto caso in cui si vericasse il rimanente 1% di scenari sfavorevoli, la perdita che si registrerebbe sarebbe superiore a quella stimata dalla misura di rischio. In altri termini, denire una perdita massima potenziale relativa al 99% del totale degli scenari possibili, implica la determinazione, sulla distribuzione dei rendimenti della posizione assunta, di un valore z, tale che la probabilità di ottenere un valore più piccolo di z sia uguale all'1% dei rimanenti casi.

Si può spiegare tale meccanismo attraverso un esempio: se poniamo che il valore di un'at- tività sia pari a 1000e e che, con una probabilità dell'1%, il valore di tale attività dopo un giorno scenda a 785e, ciò signica che la cifra di 785e è il valore più basso che quell'attivi- tà, nell'arco di un giorno, può pervenire nel 99% dei casi: tale cifra è esattamente il valore dell'attività relativo ad un livello di condenza del 99%, cioè nel 99% dei casi avversi. A questo punto si può quanticare la massima perdita potenziale, relativamente ad un orizzonte temporale pari ad un giorno e ad un intervallo di condenza del 99%, come la dierenza tra il valore iniziale dell'attività (1000e) e il valore dell'attività nel 99% degli scenari sfavorevoli (785e) che risulta essere pari a 215e.

Questo valore è denito come Value at Risk: la massima perdita potenziale derivante dalla detenzione di una particolare attività, in relazione ad un certo intervallo di condenza e ad un determinato orizzonte temporale futuro.

In altri termini, il Value at Risk può essere considerato come una tecnica che esprime, attraverso valori monetari, la misura di rischio a cui un particolare individuo, detentore di un capitale o di un'attività, è soggetto.

Si deve tener presente che più ampio e complesso è il portafoglio di attività di cui si vuole calcolare il rischio, più elaborato sarà il calcolo del VaR, poiché, in quest'ultimo caso, bi-

Figura 2.1: Rappresentazione del Value at Risk calcolato, a titolo esemplicativo, su un'at- tività dal valore di 1000e, con un intervallo di condenza del 99% e in un arco temporale di 1 giorno.

sognerà tener conto anche delle correlazioni tra le diverse attività presenti nel medesimo portafoglio e il livello di diversicazione delle stesse.

Come si desume dall'esemplicazione appena esposta, il Value at Risk è una tecnica sem- plice, ma di immediata e universale comprensione, che ha il pregio di poter essere applicata ad un numero elevato di rischi (con eventuali e opportune modiche) e di conseguenza, di riuscire a denire una misura del rischio complessivo sopportato da una banca.

Per concludere, si ritiene doveroso ricordare che questa misura di rischio dipende prin- cipalmente da due elementi: l'orizzonte temporale deciso e il livello di condenza scelto. All'aumentare di uno dei due elementi o all'incremento di entrambi, sussegue l'ampliamento del valore del Value at Risk. Quest'ultimo, inoltre, viene stimato in base alla distribuzione dei protti e delle perdite dell'attività o del portafoglio in esame, distribuzione che può es- sere denita in modo diverso, in relazione ai dierenti metodi che possono essere utilizzati. Per il calcolo del Value at Risk sono previsti 3 diversi metodi:

• l'approccio varianza-covarianza (c.d. approccio parametrico); • la simulazione storica;

• la simulazione Monte Carlo.