Compito di Meccanica Razionale, 8/4/2002
Prof. F. Bagarello
Considerare il sistema in figura,
che consiste in un disco D che rotola senza strisciare su una guida orizzontale ed in un punto materiale P appeso ad una fune inestensibile e di massa nulla arrotolata su D. Supponiamo che durante il moto del sistema la fune non strisci su D. Sia M la massa sia di D che di P . Supponiamo che la densit`a superficiale di massa di D cresca quadraticamente con la distanza dal suo baricentro G (ρ(r) = αr2, con α > 0) e che G sia anche collegato al punto A = (0, R, 0) in figura da una molla dotata di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k > 0. Assumiamo che al tempo t = 0 risulti x(0) = θ(0) = yP(0) = 0.
1) Ottenere la langrangiana del sistema;
2) Ricavare le equazioni del moto;
3) Risolvere le equazioni ottenute al punto precedente usando le condizioni iniziali sopra;
4) Scrivere l’energia del sistema e ricavare, sfruttandone la sua conservazione, l’equazione del moto. Verificare che questa coincide con quelle ottenute al punto 2).
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