II Foglio di Esercizi: corso IGS2
(Semestre Estivo 2016) Dr. Matteo Penegini
Esercizio 1. Sia k un campo, si consideri l’anello di polinomi k[x]. Si dimostri che k[x] `e un anello a ideali principali, cio`e che ogni ideale in k[x] ammette un solo generatore. Si dimostri che ogni ideale primo `e massimale.
Esercizio 2. Sia A un anello dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti
(1) p ⊂ A `e un ideale primo;
(2) A/p `e un dominio di integrit`a.
Esercizio 3. Sia A un anello dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti
(1) m ⊂ A `e un ideale massimale;
(2) A/m `e un campo;
(3) ogni elemento in 1 + m `e invertibile.
Esercizio 4. Sia A un anello e a ⊂ A un ideale primo. Dimostrare che a =√ a.
Esercizio 5. Siano X e Y due variet`a affini. Dimostrare che X `e isomorfa a Y se e solo se OX(X) `e isomorfo a OY(Y )
Esercizio 6. Dimostrare che un punto in una variet`a algebrica `e un chiuso.
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