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Academic year: 2021

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Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 18/07/2011

A.A. 2010/2011

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: Data

f (t, y) = e

sin t

(y

2

− 1), risolvere i seguenti quesiti.

(i) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

y

= f (t, y), y(0) = 0.

(ii) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

y

= f (t, y), y(0) = 6.

Cosa si pu` o dire sulla concavit` a della soluzione?

(iii) Detta y la soluzione del problema di Cauchy al punto (ii), dimostrare che esiste a > 0 tale che y

(t) ≥ a per ogni t ≥ 0 e sfruttare questo risultato per ottenere una stima di t

0

> 0 per cui si abbia y(t) ≥ 8 per ogni t ≥ t

0

.

Problema 2: Calcolare ∫

γ

y

2

dx + xydy + xzdz, dove γ ` e la curva individuata da

{

x

2

+ y

2

= 2y y = z.

Problema 3: Si consideri la funzione di variabile complessa f (z) = (1 − e

z

)(z

2

− π

2

)

sin z .

(i) Determinare le singolarit` a isolate di f e classificarle.

(ii) Calcolare l’integrale di f (z) sul cerchio |z| = 4 percorso una volta in senso orario.

(iii) Calcolare l’integrale di f (2z) sul cerchio |z| = 4 percorso una volta in senso orario.

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Superfici regolari, orientabili e superfici con bordo.

Tema 2: Equazioni di Cauchy-Riemann.

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