Analisi Matematica I – Esame sul secondo modulo
Appello del giorno
15/06/01
Cognome e nome (stampatello) C.L. (M/F)
Una e una sola `e la risposta esatta. Annerire la casella scelta cos`ı:
Punti per ogni risposta: Esatta = 3 , Bianca = 0 , Errata = −1 . Tempo a disposizione: 1 ora e 45 minuti.
1. Siano f : [0, 1] → R continua e g : R → R di classe C1. Allora a g ◦ f `e di classe C1 in (0, 1) ; b g ◦ f : [0, 1] → R `e uniformemente continua; c f g : [0, 1] → R `e derivabile in 1/2 ; d f g : [0, 1] → R `e lipschitziana.
2. Sia v : R → R tale che v(0) = 1 e v0(t) = sin v(t) ∀ t ∈ R . Allora v `e a concava;
b strettamente monotona; c costante; d non limitata.
3. Sia u : R → R di classe C2 tale che u00(t) + 4u(t) = 0 ∀ t ∈ R , u(0) = 0 e u0(0) = 1 . Allora a u(π) = 1 ; b u0(π) = 1 ; c u(π) + u0(π) = 0 ; d u(π) − u0(π) = 0 . 4. Sia α > 0 tale che lim
x→0
(1 − cos x4)α
sin x = 0 . Allora a 1/α < 10 ; b sin α ≥ 1 ; c α `e irrazionale; d tanh πα > 1 .
5. Sia T = (x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0, x + y ≤ 1
e si ponga f (x, y) = R1
0 xy cosh t dt per (x, y) ∈ T . Allora a maxT f = f (1/2, 1/2) ; b f ha esattamente un punto di minimo assoluto; c f cambia segno; d f non ammette minimo assoluto.
6. Sia f : R2 → R definita dalla formula f(x, y) = x2 + (y2 − 1)2. Allora
a f ha esattamente 4 punti stazionari; b f ha esattamente 2 punti stazionari;
c f ammette minimo assoluto; d f ammette massimo assoluto.
7. Il limite lim
x→0
6(ex/2− cos x)
sinh 3x vale a 6 ; b 0 ; c 1 ; d 12 .
8. Siano δ > 0 e w : (−δ, δ) → R una funzione di classe C2 tale che w00(t) = w0(t) w2(t)+t2 per |t| < δ . Allora a ∃k ∈ N tale che w non `e di classe Ck; b w `e convessa in un intorno di 0 ; c w `e di classe C∞; d w = 0 in un intorno di 0 .
9. L’integrale Rπ
0 x sin x dx vale a −π ; b 0 ; c 1 ; d π . 10. Sia C =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 9
e sia f : C → R data dalla formula f (x, y) = xy2. Allora a f ha un punto di massimo nell’interno di C ; b
R
Cf (x, y) dx dy
> 0.1 ; c R
Cf (x, y) dx dy ≥ maxCf ; d R
Cf (x, y) dx dy ≤ minC|f | . spazio riservato alla commissione
