Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova del 19/01/2011

A.A. 2009/2010

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy ( y

= (t

− 1)(y

− y),

y(0) =

.

(b) Risolvere esplicitamente il problema stesso.

Problema 2: Verificare che la superficie Σ di equazione

~r(u, v) = (u cos v, u sin v, 1 − u

),

con (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π], `e regolare. Esprimere in termini dell’area di Σ il momento d’inerzia, rispetto all’asse z, di una massa distribuita su Σ con densit`a superficiale ρ =

, z ∈ [0, 1[.

Problema 3: Calcolare il seguente integrale

+∞

Z

−∞

sin 2x + cos x x

+ 3 dx.

Problema 4: Sia

f (x) = 2 − |x|, x ∈ [−π, π);

si denoti ancora con f il suo prolungamento periodico su R.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

X

1 (2n + 1)

,

X

1 (2n + 1)

.

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema di esistenza e unicit`a locale di Cauchy-Lipschitz.

Tema 2: Funzioni olomorfe: il Teorema di Cauchy ed alcune sue conseguenze.