Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 26/10/2010

A.A. 2010/2011

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

y ^′ = t ² y(2 − y), y(0) = 1.

(b) Risolvere il problema stesso e verificare i risultati ottenuti nel punto (a).

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ⃗ r) di equazione parametrica

⃗

r(u, v) = (cos v, 2u + sin v, 2u), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

` e regolare.

Calcolare il flusso del campo F = (y ² , z + xe ^y

, xe ^y

) attraverso Σ.

Problema 3: Calcolare l’integrale ∫

|z|=2

(z ² − 2z)e

dz.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione

f (x) =

{ −2, −π ≤ x < 0,

2, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∑ ∞ n=0

1 (2n + 1) ² ,

∑ ∞ n=0

( −1) ⁿ 2n + 1 .

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Formula integrale di Cauchy: dimostrazione e applicazioni.

Tema 2: Convergenza delle serie di Fourier e dimostrazione del teorema sulla conver-

genza uniforme.