Analisi Matematica IIb
Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 22/07/2008
A.A. 2007/2008
Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:
Problema 1: Verificare che la superficie Σ di equazione
~r(u, v) = (u sin v, u cos v, 1 − u
2),
con (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π], `e regolare. Esprimere in termini dell’area di Σ il momento d’inerzia, rispetto all’asse z, di una massa distribuita su Σ con densit`a superficiale ρ =
1−z1, z ∈ [0, 1[.
Problema 2: Dopo aver verificato che l’equazione differenziale y
0= (y − t)
2ha soluzioni della forma y = at + b, a, b ∈ R, studiare qualitativamente la soluzione del problema di Cauchy ½
y
0= (y − t)
2, y(0) = 0.
Determinare la soluzione y(t) analiticamente e confrontare i risultati ot- tenuti.
Problema 3: Studiare la convergenza della serie di potenze
+∞
X
n=0
(z + i)
n(1 + i)
n+1,
discuterne la convergenza uniforme e calcolarne la somma f (z).
Detto γ = {z ∈ C : |z + i| = 1}, calcolare Z
γ
f (z)dz.
Problema 4: Sia
f (x) = 1 − 2|x|
π , x ∈ [−π, π);
si denoti ancora con f il suo prolungamento periodico su R.
Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:
X
∞n=0
1 (2n + 1)
2,
X
∞n=0
