Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 28/09/2009

A.A. 2008/2009

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy ( y

= ty(4 − y

),

y(0) = 1.

(b) Risolvere esplicitamente il problema di Cauchy del punto (a).

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ~r) di equazione parametrica

~r(u, v) = (u cos v, u

, u sin v), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

`e una superficie regolare e che `e di rotazione.

Calcolare il flusso del campo vettoriale F = ~

µ x

x

+ z

, 0, z x

+ z

¶

attraverso la superficie Σ.

Problema 3: Calcolare il seguente integrale

+∞

Z

0

cos x 1 + x

dx .

Problema 4: Calcolare il massimo e il minimo della funzione f (x, y) = x

+ y

soggetta al vincolo G = {(x, y) ∈ R

: (x

+ y

)

= x

− y

}.

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Prolungamento delle soluzioni del Problema di Cauchy.

Tema 2: Teoremi di convergenza per le Serie di Fourier.