Responsabile scientifico: Antonio Iannizzotto
Gruppo di ricerca: Claudia Anedda, Lucio Cadeddu, Fabrizio Cuccu, Francesco Demontis, Antonio Greco, Monica Marras, Cornelis Van der Mee, Giuseppe Viglialoro
Il progetto di ricerca biennale “Integro-Dif-ferential Equations and Non-Local Pro-blems”, finanziato dalla Fondazione di Sar-degna, si svolge nel periodo 2018-2019 ed è pertanto arrivato oggi circa a metà della sua realizzazione.
Il progetto coinvolge nove docenti del Dipartimento di Matematica e Informati-ca dell’Università degli Studi di Cagliari, incardinati nei settori scientifico-discipli-nari Analisi Matematica (Claudia Anedda, Lucio Cadeddu, Fabrizio Cuccu, Antonio Greco, Antonio Iannizzotto, Monica Mar-ras, Giuseppe Viglialoro) e Fisica Matema-tica (Francesco Demontis, Cornelis van der Mee) e concerne tematiche di matematica pura e i loro collegamenti con le scienze applicate.
Descrizione scientifica
Il progetto di ricerca è incentrato sui pro-blemi non locali, una locuzione che in ma-tematica indica quelle equazioni in cui la dinamica (generalmente di tipo diffusivo) della funzione incognita, in un punto del-la regione spaziale studiata, dipende non solo dai valori che tale funzione assume in punti “vicini” ma anche dai valori che essa assume in punti “lontani” dello spa-zio, o dalle caratteristiche globali della funzione.
Tipicamente, la formalizzazione mate-matica di un problema non locale
condu-ce a un’equazione integro-differenziale, in cui compaiono sia operatori differenziali (che descrivono la dinamica del problema) sia termini integrali (portatori delle informa-zioni sintetiche sulle caratteristiche globali del problema). Due casi di particolare inte-resse sono le equazioni di tipo Kirchhoff (con uno o più termini integrali moltiplicati per l’operatore differenziale) e le equazioni dif-ferenziali frazionarie (in cui la diffusione è descritta da un operatore differenziale di ordine frazionario, che combina derivate e integrali).
I problemi non locali sono di grande in-teresse in varie discipline, principalmente nello studio delle interazioni a lungo rag-gio: per esempio, in meccanica quantistica la distribuzione di probabilità che descrive il movimento delle particelle si può rappre-sentare mediante un’equazione di Schröd-inger frazionaria; la diffusione della luce in atmosfere planetarie mediante un’equazio-ne integro-differenziale; fenomeni chimi-co-biologici come la chemiotassi mediante sistemi di equazioni paraboliche con termi-ni non locali; e anche nelle scienze sociali (finanza, teoria dei giochi) emergono mo-delli basati sui processi stocastici di Lévy, il cui generatore infinitesimale è il laplaciano frazionario.
Motivati da queste applicazioni, oltre che dall’intrinseco interesse matematico dei problemi non locali, i ricercatori
afferen-Exegi monumentum aere perennius.
(Orazio, Odi III.30.1)
Scienze matematiche e informatiche 2. A. Greco, in collaborazione con V. Ma-scia, ha dimostrato risultati di esisten-za, confronto e simmetria radiale per problemi frazionari con reazione subli-neare (8);
3. C. Anedda e F. Cuccu, in collaborazione con S. Frassu, hanno dimostrato un risul-tato di ottimizzazione per il primo auto-valore del laplaciano frazionario rispetto al peso in classi di riarrangiamento (1);
4. M. Marras e G. Viglialoro, in collabora-zione con N. Pintus, hanno dimostrato una stima inferiore per il tempo di esi-stenza della soluzione di un’equazione dei mezzi porosi con un termine non lo-cale (15);
5. F. Demontis e C. van der Mee hanno de-terminato una soluzione senza riflessio-ne per l’equazioriflessio-ne di Schrödinger non lineare (4).
Altri risultati, attinenti alle tematiche del progetto, sono stati ottenuti nelle pubblica-zioni (2, 3, 5-7, 9, 11-14, 16-19).
Risultati attesi
La ricerca in matematica ha tempi lunghi ed esiti difficilmente prevedibili, poiché ogni congettura per quanto sensata può richiedere anni di lavoro per essere dimo-strata o celare insidiose trappole logiche, e lo studio può portare a risultati del tutto diversi da quelli attesi. L’inconveniente di questo tipo di ricerca è che una dimostra-zione incompleta equivale a nessuna di-mostrazione, ma la ricompensa è un risul-tato di validità perenne.
I ricercatori afferenti al progetto Inte-gro-Differential Equations and Non-Local Pro-blems sono attualmente al lavoro su diversi temi, e per i motivi citati sopra è prematu-ro annunciarne i risultati finali; pertanto, il seguente elenco di risultati attesi è da considerarsi, al momento, meramente con-getturale:
1. In virtù del risultato di regolarità prece-dentemente ottenuto, si intende dimo-strare un risultato di coincidenza fra i minimi locali del funzionale dell’energia di un problema non locale in due diver-se topologie, un risultato cioè tecnico ma ti al progetto Integro-Differential Equations
and Non-Local Problems studiano, lavoran-do singolarmente o in gruppi, vari tipi di equazioni integro-differenziali articolati in diverse aree, che possono essere sintetica-mente descritte come segue:
1. Esistenza e molteplicità per equazioni el-littiche non locali. Applicazione della te-oria spettrale e della tete-oria di Morse a equazioni integro-differenziali di ordine frazionario; equilibrio di membrane ela-stiche mediante equazioni ellittiche con comportamento sulla frontiera descritto da un operatore frazionario.
2. Ottimizzazione in problemi non locali. Otti-mizzazione del funzionale dell’energia per equazioni di Poisson frazionarie su domini simmetrici; ottimizzazione dei pri-mi autovalori del problema agli autovalori frazionario rispetto a una funzione peso.
3. Proprietà qualitative per problemi parabolici con termini non locali. Stabilità delle solu-zioni di sistemi di Keller-Segel con termi-ni di sorgente non locali. Comportamen-to asinComportamen-totico delle soluzioni di equazioni paraboliche con diffusione frazionaria.
4. ‘Inverse scattering’ per equazioni di Schröd-inger non locali. Metodo delle perturba-zioni e integrabilità per equaperturba-zioni non lineari di Schrödinger con termini non locali o diffusione frazionaria.
Risultati ottenuti
I risultati già ottenuti, in questo primo anno di lavoro scientifico, dai ricercatori afferenti al progetto Integro-Differential Equations and Non-Local Problems, sono contenuti in 19 pubblicazioni apparse in riviste di livello internazionale, o attualmente in fase di esa-me, alcune delle quali scritte col contributo di collaboratori esterni.
Fra i più pertinenti al progetto, menzio-niamo almeno i seguenti risultati:
1. A. Iannizzotto, in collaborazione con S.
Mosconi e M. Squassina, ha dimostrato che le soluzioni di equazioni imperniate sul p-laplaciano frazionario hanno rego-larità hölderiana pesata rispetto a una potenza della distanza dalla frontiera del dominio (10);
Scienze matematiche e informatiche
tions (Taipei, 5-9 luglio 2018), UMI-SIMAI-PTM Joint Meeting (Breslavia, 17-20 settem-bre 2018), Imagine Math 7 - Mathematics and Culture (Venezia, 29-31 marzo 2019).
Inoltre, hanno invitato diversi eminenti studiosi a visitare l’Università di Cagliari:
fra questi ricordiamo V. Staicu, M. Somma-cal, C. Enache (altre visite sono previste per i prossimi mesi).
Ma l’iniziativa più importante, tra quelle intraprese nell’ambito del proget-to, è l’organizzazione del convegno Par-tial DifferenPar-tial Equations in Analysis and Mathematical Physics, che si terrà a Santa Margherita di Pula fra il 30 maggio e l’1 giugno 2019 e che radunerà in Sardegna circa cinquanta studiosi fra i quali molti giovani emergenti nel campo delle equa-zioni alle derivate parziali, oltre a contare sull’apporto di matematici affermati quali J.A. Carrillo de la Plata, G. Falqui, S. Lom-bardo, F. Pacella, S. Terracini e V. Vespri in qualità di oratori plenari.
Il convegno si avvale anche dei contri-buti dell’Università di Cagliari e dell’IN-dAM-GNAMPA.
che consentirebbe l’applicazione a tali problemi della teoria spettrale e della te-oria di Morse.
2. Il problema di Ventsel, relativo all’equi-librio di membrane sottili e usualmente associato a un operatore ellittico di tipo locale in un dominio euclideo, si può riformulare mediante un’equazione di tipo frazionario su una varietà diffe-renziabile, conducendo così a un nuovo approccio per lo studio dell’esistenza e dell’unicità della soluzione.
3. Si è osservato che l’aggiunta di un ter-mine non locale all’equazione di Schröd-inger non lineare fa sì che il problema perda la sua caratteristica di essere in-tegrabile, d’altra parte lo rende idoneo a descrivere il transito dei segnali lungo fibre ottiche, il che suggerisce di elabora-re un nuovo approccio per la risoluzione dell’equazione.
Attività e impiego dei fondi
Un’altra caratteristica della ricerca matema-tica è che essa, di solito, non richiede labo-ratori o costose attrezzature: analogica nei mezzi e comunitaria per vocazione, questa particolare forma di lavoro intellettuale ri-duce quasi interamente le sue necessità eco-nomiche alla spesa necessaria per radunare i matematici in una sola stanza.
Il contributo erogato dalla Fondazione di Sardegna è stato ed è fondamentale per lo svolgimento del progetto di ricerca In-tegro-Differential Equations and Non-Local Problems.
Della somma accordata al gruppo di ricercatori, una parte minoritaria è stata destinata all’acquisto di un piccolo fondo librario (che sarà collocato presso la biblio-teca del Dipartimento di Matematica e In-formatica) e di un computer portatile per le necessità del gruppo, mentre la maggior parte è stata impiegata per rendere possibili l’incontro di ricercatori e lo scambio di idee.
Grazie a questo contributo, i ricercatori afferenti al progetto hanno potuto parteci-pare a importanti congressi internazionali quali: 12th AIMS Conference on Dynamical Systems Differential Equations and
Applica-Partial Differential Equations in Analysis and
Mathematical Physics
May 30 - June 1, 2019
Santa Margherita di Pula (Hotel Flamingo), Sardinia, Italy http://sites.unica.it/pdeamp/
Plenary speakers:
José Antonio Carrillo de la Plata (Imperial College of London, UK) Gregorio Falqui (Università di Milano Bicocca, Italy)
Sara Lombardo (Loughborough University, UK) Filomena Pacella (Università di Roma La Sapienza, Italy)
Susanna Terracini (Università di Torino, Italy) Vincenzo Vespri (Università di Firenze, Italy) Organizing committee:
Claudia Anedda, Lucio Cadeddu, Fabrizio Cuccu, Francesco Demontis, Antonio Greco, Antonio Iannizzotto, Monica Marras, Cornelis Van der Mee, Giuseppe Viglialoro
Dipartimento di Matematica e Informatica
Fondazione di Sardegna Istituto Nazionale di Alta Matematica "Francesco Severi"
Università degli Studi di Cagliari
Scienze matematiche e informatiche vetrina per la ricerca che si svolge in Ana-lisi Matematica e Fisica Matematica presso l’Università di Cagliari e in Sardegna, sia ad opera dei docenti che dei giovani studiosi.
I membri del gruppo confidano che que-sto congresso si rivelerà una preziosa oc-casione per lo scambio di idee scientifiche su problemi di frontiera e un’importante
Bibliografia
1. Anedda C, Cuccu F, Frassu S. Minimi-zation and Steiner symmetry of the first eigenvalue for a fractional eigenvalue problem with indefinite weight. Pre-print, 2019.
2. Benevieri P, Iannizzotto A. Eigenvalue problems for Fredholm operators with set-valued perturbations. Preprint, 2019.
3. Cadeddu L. Mathematics and Oenology:
Exploring an Unlikely Pairing. In: Srira-man B. Handbook of the Mathematics of the Arts and Sciences. New York: Spring-er, 2019.
4. Demontis F, van der Mee C. Reflection-less solutions for square matrix NLS with vanishing boundary conditions.
Mathematical Physics, Analysis and Ge-ometry, 2019.
5. Frassu S, Iannizzotto A. Strict monoto-nicity and unique continuation for gen-eral non-local eigenvalue problems. Tai-wanese J Math, 2019.
6. Greco A. An overdetermined problem for the infinity-Laplacian around a set of positive reach. Analysis, München 2019;
38(4): 155-165.
7. Greco A. Bernoulli’s problem for the in-finity-Laplacian near a set with positive reach. Symmetry, 2019; 11: 472.
8. Greco A, Mascia V. Non-local sublinear problems: existence, comparison, and radial symmetry. Discrete Contin Dyn Syst, 2019; 39: 503-519.
9. Iannizzotto A, Marras M, Papageorgiou NS. Constant sign and nodal solutions for nonhomogeneous Robin boundary value problems with asymmetric reac-tions. Electron. J Qual Theory, 2018; 71:
1-22.
10. Iannizzotto A, Mosconi S, Squassina M.
Fine boundary regularity for the
degen-erate fractional p- Laplacian. Preprint, 2018.
11. Iannizzotto A, Staicu V. Existence and multiplicity results for partial differen-tial inclusions via non smooth local link-ing. Preprint, 2019.
12. Lankeit J, Viglialoro G. Global existence and boundedness of solutions to a che-motaxis consumption model with singu-lar sensitivity. Acta Appl Math, 2019.
13. Li T, Pintus N, Viglialoro G. Properties of solutions to porous medium problems with different sources and boundary conditions. Z Angew Math Phys, 2019;
70; 3: 86.
14. Marras M, Nishino T, Viglialoro G. A refined criterion and lower bounds for the blow-up time in a parabolic-elliptic chemotaxis system with nonlinear diffu-sion. Discrete Cont Dyn Syst Ser S, 2019.
15. Marras M, Pintus N, Viglialoro G. On the lifespan of classical solutions to a non-local porous medium problem with nonlinear boundary conditions. Discrete Cont Dyn Syst Ser S, 2019, in stampa.
16. Viglialoro G. Global existence in a two-dimensional chemotaxis-consump-tion model with weakly singular sensi-tivity. Appl Math Lett, 2019; 91: 121-127.
17. Viglialoro G. Global in time and bound-ed solutions to a parabolic-elliptic che-motaxis system with nonlinear diffusion and signal-dependent sensitivity. Appl Math Optim, in stampa.
18. Viglialoro G. Explicit lower bound of blow-up time for an attraction-repulsion chemotaxis system. Preprint, 2019.
19. Viglialoro G, Woolley TE. Solvability of a Keller-Segel system with signal-depen-dent sensitivity and essentially sublinear production. Appl Anal, 2019; in stampa.
Scienze matematiche e informatiche
Antonio Iannizzotto (Firenze, 1977), ha conse-guito la Laurea in Matematica nel 2002 e il Dot-torato di Ricerca in Matematica nel 2008 presso l’Università degli Studi di Catania, sotto la su-pervisione del Prof. B. Ricceri. Dal 2009 al 2014 è stato titolare di diversi assegni di ricerca presso le Università di Catania e Verona. Nel 2013 ha conseguito l’abilitazione nazionale al ruolo di Professore associato, e nel 2014 ha preso servizio in questo ruolo presso il Dipartimento di Mate-matica e InforMate-matica dell’Università degli Studi di Cagliari.
La sua attività di ricerca si svolge nell’area dell’analisi non lineare e comprende lo studio di equazioni differenziali ordinarie o alle deri-vate parziali, inclusioni differenziali, equazioni alle differenze finite, equazioni
integro-diffe-renziali con operatori frazionari (quest’ultimo è il tema principale del suo lavoro attuale). È autore di 45 pubblicazioni, sia a nome singo-lo che in collaborazione con studiosi italiani e stranieri.
Ha tenuto corsi di Analisi Matematica, Matema-tica Generale e Teoria dei Giochi presso le Uni-versità di Catania, Messina e Cagliari, ed è tutor di un’allieva del Dottorato di Ricerca in Mate-matica presso l’Università di Cagliari.
Ha partecipato a più di 30 congressi internazio-nali e ne ha organizzati diversi, ed è stato visi-tatore di varie Università in Italia e in Europa.
È responsabile dell’Unità di Ricerca di Cagliari nel progetto PRIN Nonlinear Differential Problems via Variational, Topological and Set-Valued Methods (coordinatore nazionale Prof. G. Bonanno).