Modelli di calcolo per la pianificazione automatica del layout

La soluzione del problema del layout può essere affrontato facendo ricorso ad un approccio numerico, definendo, cioè:

la modalità di rappresentazione del problema (costruzione del modello matematico atto a riprodurre il sistema fisico reale);

la modalità di risoluzione del modello formulato.

Esistono quattro principali modalità di formulazione matematica del problema di determinazione del layout:

1. Modello QAP (Quadratic Assignment Problem). 2. Modelli di Programmazione Lineare Intera.

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3. Rappresentazione basata sulla Teoria dei Grafi. 4. Modello DAP (Dymanic Layout Planning).

L‟obiettivo che ci si prefigge di raggiungere, formulando modelli e progettando algoritmi di soluzione del problema di allocazione della merce, è la massimizzazione dell‟efficienza nei flussi di materiali movimentati e nelle relazioni organizzative ed informative fra le diverse aree produttive e logistiche. Si vuole cioè ottimizzare una funzione obiettivo che rappresenta:

a. sia gli aspetti quantitativi legati alla progettazione del layout (flussi di materiali, distanza tra i punti di stoccaggio, costi differenziali tra le diverse soluzioni);

b. sia gli aspetti qualitativi relativi all‟importanza delle relazioni e della vicinanza tra reparti.

Questa duplice impostazione della funzione obiettivo si traduce in una minimizzazione dei costi totali di material handling; ed una massimizzazione delle relazioni tra attività/reparti.

Si definiscono i seguenti parametri di funzione obiettivo: 1. flusso di materiali tra due elementi di layout (ij);

2. costo unitario delle movimentazioni tra due elementi di layout (ij); 3. importanza della relazione di vicinanza tra due elementi di layout (ij).

I costi unitari di material handling nel trasporto di due elementi di layout (ij) rappresentano la principale tipologia di costo differenziale, al variare delle soluzioni scelte nella progettazione integrata di layout e sistema di movimentazione. Si misurano tipicamente in valori monetari per unità trasportata di prodotto e per unità lunghezza.

Il QAP, Quadratic Assignment Problem, è il modello più noto nell‟ambito del problema del layout. Si tratta di un modello di programmazione intera e quadratica (non lineare).

Ipotesi:

- N elementi di layout devono essere inseriti all‟interno del magazzino. Ogni elemento di layout può essere considerato come una determinata zona entro cui dovranno essere allocati i prodotti di tipo i. - L locazioni ammissibili disposte sulla superficie totale disponibile sono assegnate, aventi geometria

identica e non differenziale. Ogni locazione k-esima può contenere al più un qualsiasi prodotto i- esimo. Ogni locazione ammissibile rappresenta per noi un punto di stoccaggio.

- i percorsi di collegamento fra due qualsiasi locazioni k e w sono noti e mappati.

- la tecnologia di movimentazione è assegnata: i costi di trasporto sono noti e linearmente proporzionali alle distanze fra le locazioni e alle quantità di prodotto trasportate.

- Il modello ha come obiettivo la minimizzazione del costo totale di trasporto fra le diverse locazioni “attive” di layout.

Parametri:

N: numero di elementi di layout da allocare; L: numero di locazioni disponibili;

distanza tra due locazioni (k=1,…,L; w=1,…,L); flussi di materiali tra due elementi di layout;

: costo di trasporto per unità di prodotto e per unità di lunghezze fra due locazioni k e w.

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variabile binaria indicante l‟assegnamento del prodotto i-esimo alla locazione k-esima ( se i è assegnato a k; altrimenti) (i=1,…,N; k=1,…,L).

Il modello prevede la minimizzazione della funzione obiettivo costo totale di trasporto tra le locazioni attive:

Se, in una soluzione ammissibile, l‟elemento di layout i è assegnato alla locazione k ( ) e, contemporaneamente, l‟elemento j è assegnato alla locazione w ( =1), si ha che il flusso sei prodotti deve essere trasportato, al costo unitario , lungo il percorso (percorso divenuto attivo in quanto si verifica che ).

Vincolo 1: Ogni elemento di layout deve essere assegnato ad una sola locazione k:

i=1,…,N

Vincolo 2: Al massimo un elemento di layout i può essere assegnato ad una locazione k:

k=1,…,L

Vincolo 3: Condizione di binarietà delle variabili per ogni reparto i, per ogni

locazione k.

2.7.1 Programmi di calcolo per la pianificazione automatica del layout

Programmi di calcolo sono stati sviluppati nel recente passato per la generazione di diverse configurazioni alternative, a partire da una configurazione iniziale o dal diagramma dei rapporti tra gli spazi, per arrivare quindi, alla selezione del layout ottimale, prefissati gli obiettivi da ottenere. Esistono algoritmi:

1. Costruttivi: costruiscono una soluzione del layout ex novo; consistono nella successiva selezione e posizionamento delle attività o reparti fino a che si raggiunge un progetto di layout possibile. Esempi di algoritmi costruttivi sono CORELAP (COmputerized RElationship LAy-out Planning) e ALDEP (Automated Lay-out Design Program).

2. Migliorativi: Partono da un layout iniziale completo e scambiano ripetutamente le attività (o reparti) in modo da migliorare il progetto del layout. Un esempio di algoritmo migliorativo è CRAFT (Computerized Relative Allocation of Facilities Technique).

3. Ibridi: costruiscono una soluzione iniziale e poi la migliorano applicando un algoritmo migliorativo. Esempio è FLAC (Facility Layout by Analysis of Clusters).

Il Programma ALDEP (Seehof e Evans, 1967). Si fornisce in ingresso al programma una tabella

con i collegamenti fra i centri di lavoro e le caratteristiche dimensionali di ciascun impianto (o una postazione di lavoro in genere). L‟algoritmo seleziona casualmente un impianto e lo riporta (in scala) su un disegno assegnandolo all‟angolo superiore sinistro del layout. L‟impianto successivo considerato è quello che ha maggior numero di collegamenti con il primo già assegnato, e lo seleziona per l‟assegnamento. Se più di un impianto soddisfa questa condizione, allora l‟algoritmo

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ne seleziona uno tra questi, casualmente. Se nessun impianto verifica tale condizione allora il secondo impianto da assegnare è selezionato a caso. Tale procedura è ripetuta finché tutti gli impianti non sono stati assegnati. L‟impianto da assegnare al n-esimo step dipende dal grado di legame con l‟impianto assegnato allo step n-1.

Il Programma CORELAP (Lee e Moore, 1967). Definito il total closeness rating come la somma

del valore numerico che definisce le relazioni tra l‟impianto i-esimo e tutti gli altri, l‟algoritmo individua il centro di lavoro interessato da un maggior numero di collegamenti, lo dispone con forma e dimensione predeterminati al centro del layout; quindi, in base al numero dei collegamenti, individua il centro di lavoro che è opportuno disporre vicino al primo e poi via via gli altri. Analogamente l‟algoritmo procede in successione con i centri di lavoro che hanno più rapporti con quelli già sistemati.

Il programma CRAFT (Amour e Buffa, 1963; Buffa et al., 1964). Il criterio impiegato dal

programma è la minimizzazione del costo del trasporto interno dei materiali, supposto tale costo come una funzione lineare della distanza percorsa. Questo criterio è il più impiegato quando nel progetto del layout il fattore più significativo è il flusso dei materiali.

CRAFT cerca il progetto ottimale introducendo nel layout i miglioramenti in maniera sequenziale: prima valuta il layout assegnato, poi valuta il miglioramento prodotto eseguendo scambi di coppie di reparti, quindi si esegue lo scambio che produce il miglioramento più elevato. Il processo continua finché non si può più ottenere alcun miglioramento.

Da notare che per lo scambio di ubicazione si considerano solo coppie di reparti con bordi in comune o aventi la stessa area.

I dati di input sono:

1. Layout iniziale (numero ed area dei reparti oltre alla loro posizione relativa); 2. Dati sul flusso dei materiali;

3. Dati sui costi unitari di trasporto;

4. Numero ed ubicazione dei reparti collocati a priori in posizione fissa e non modificabile.

I dati di cui al punto 2 sono forniti tramite un foglio origine-destinazione, in cui i dati di flusso sono espressi in termini di numero di viaggi (z) effettuati nell‟unità di tempo fra coppie di reparti, mentre i dati di costo si riferiscono al costo di trasporto del materiale per unità di percorso (c) fra coppie di reparti; poiché la movimentazione dei materiali può essere eseguita con una varietà di mezzi di trasporto diversi, gli elementi di costo (c) non sono necessariamente gli stessi per ogni coppia di reparti.

Indicando con k una generica coppia di reparti, interessati da un flusso bidirezionale di materiali, si ha:

[viaggi/anno]; [€/km];

[€/anno Km]

[Km] distanza tra i reparti [€/anno]

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il costo totale di trasporto annuale per tutte le possibili coppie di reparti costituenti il layout interessate da flussi bidirezionali ovvero scambi di materiale.

Se si usano trasportatori continui il costo è considerato proporzionale alla lunghezza del trasportatore e non una funzione lineare del flusso, quindi w esprime il costo per unità di tempo e per unità di lunghezza del trasportatore, in accordo con la scala del layout.

Il programma FLAC (Scriabin e Vergin, 1985). L‟algoritmo è basato su tre livelli. In prima

istanza, gli impianti sono localizzati in modo tale che le distanze tra essi siano inversamente legate al flusso. In seconda istanza l‟assegnamento avviene tenendo anche conto di vincoli di spazio. In terza istanza l‟assegnazione avviene con una procedura più fine che aggiusta l‟assegnazione con una funzione di scambio di ubicazione tipo quella adottata anche dal CRAFT.

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