Analisi di un’apertura rettangolare

E apparsa una dipendenza dal campo elettrico; noi conosciamo anche questo, dal momento che possiamo utilizzare l’espressione relativa al campo di far field! Possiamo scrivere che:

|E | = ^Z0 2λR     Z A 2E_tdS    

il “2” `e il solito che deriva dall’applicazione della forma “sole correnti magnetiche” del teorema di equivalenza, dunque E<sub>t</sub> `e il campo elettrico tra-sverso. Si deve usare questa formulazione precisa al fine di far apparire sia al numeratore sia al denominatore il campo elettrico trasverso, sotto segno di integrale. Si ha dunque, sostituendo tutto:

D_max= ^4πR 2 1 Z0 1 4λ2R2   R A2E_AdS 2 1 Z0 R A|E_A|²dS ⁼ = ^4π λ2   R AE_AdS 2 1 Z0 R A|E_A|²dS

Questa formula deve essere legata alla direttivit`a, dunque totalmente do-vrebbe essere adimensionata; vediamo che tuttavia si ha dipendenza da λ<sup>−2</sup>, dunque sembrerebbe di avere a che fare con qualcosa che va come l’inverso di un’area, dimensionalmente. In realt`a, al numeratore si ha l’integrale al modulo quadro, dunque, recuperando il fatto che l’integrale ha il significato geometrico di “area sottesa dalla curva integranda”, si pu`o pensare di ave-re a numeratoave-re un’aave-rea al quadrato, al denominatoave-re un’aave-rea, e dunque la formula risulta essere definitivamente adimensionata. Ricordando che vale la formula:

G = ^4π λ2A_eq

risulta evidente che la frazione degli integrali sia collegata al concetto di area equivalente precedentemente introdotto.

2.1.2 Analisi di un’apertura rettangolare

Analizziamo a questo punto uno dei casi pratici che ci verr`a incontro nel sem-plificarci i calcoli, al momento di parlare di antenne vere e proprie: l’apertura rettangolare.

L’ipotesi fondamentale `e quella secondo cui il campo sia non nullo esclu-sivamente all’interno di un rettangolo: l’apertura rettangolare.

L’approccio che verr`a utilizzato `e basato sulla seguente idea: prima di tutto si determina un’espressione generale per la determinazione del campo all’apertura data una certa “illuminazione”, ossia una certa funzione del cam-po trasversale che “illumina” l’antenna, quindi si prova a risolvere il problema per alcuni casi particolari di illuminazione. L’integrale sar`a:

f_x,y = Z +^a₂ −a 2 Z +₂^b −b 2 E_x,ye^jkxx+jkyydxdy

Molto comunemente, si ha a che fare con aperture in cui la distribuzione di campo di illuminazione `e a variabili separabili; d’altra parte questa cosa `

e nota anche dalla teoria delle guide d’onda rettangolari: anche in questo caso si pu`o pensare alle funzioni di campo come a variabili separabili. Si pu`o dunque dire che:

E(x, y) =^X

n

E_n,1(x)E_n,2(y)

fare la trasformata doppia di Fourier di una funzione data dal prodotto di due funzioni in due variabili diverse coincide con il prodotto delle due tra-sformate di Fourier nei domini reciproci relativi a ciascuna variabile; questo significa che, se la funzione di illuminazione `e a variabili separabili, `e possibile scomporre un singolo problema complicato bidimensionale in due problemi pi`u semplici monodimensionali.

Consideriamo a questo punto, fatta questa osservazione, alcuni casi par-ticolari di illuminazione, utilizzati frequentemente nell’ambito delle aperture rettangolari.

Illuminazione uniforme

Il primo caso analizzato, nonch`e quello probabilmente pi`u semplice, `e quello di una funzione di illuminazione uniforme, ossia tale per cui

E(x)

E(0) ^{= costante,} |x| < ^a 2

Applicando dunque le propriet`a della trasformata di Fourier, si pu`o rica-vare (ricordando quanto valgono k_x e k_y):

F (ϑ, ϕ) = ab "

sin ^πa_λ sin ϑ cos ϕ

πa

λ sin ϑ cos ϕ # "

sin ^πb_λ sin ϑ sin ϕ

πb

λ sin ϑ sin ϕ #

Questa `e infatti la trasformata di Fourier di una “porta”, che d`a noto-riamente luogo a un seno cardinale. Consideriamo a questo punto per la

rappresentazione di ogni grafico il piano (u, v) precedentemente introdotto; ci`o ci permette di riscrivere, semplicemente, la funzione come

F (u, v) = ab^sin ua 2
ua 2 sin ^vb₂
vb 2

u e v sono funzioni dell’angolo ϑ e dell’angolo ϕ. Questo significa che la funzione che rappresenta il momento elettrico generalizzato, dunque le caratteristiche di irradiazione vettoriali sull’apertura nella direzione in cui la funzione `e costante, `e un seno cardinale funzione di u e v. Questa sin(u)/u `e una funzione oscillante con un massimo sulla discontinuit`a eliminabile u = 0; gli zeri di questa funzione sono gli zeri della funzione seno, dunque sono noti. Risolvendo l’equazione trascendente sin(u)/u uguale a un qualche termine, `e possibile determinare le caratteristiche di questa funzione:

si pu`o vedere che:

ϑ_3dB ∼ 50λ/a

questo si pu`o trovare risolvendo l’equazione trascendente sin x

x ⁼ √

2 l’angolo del primo zero `e:

ϑ₀ = 57λ/a

dove 57 `e semplicemente un radiante, in gradi; si pu`o vedere che i lobi secondari sono a -13 dB e a -17 dB.

Non `e indispensabile, come gi`a detto, conoscere il diagramma di irradia-zione in tutti i suoi dettagli; `e sufficiente conoscere questi numeri. Questi numeri riassumono ci`o che si ha quando si ha un’illuminazione uniforme dell’apertura.

Illuminazione non uniforme

Si tratta di un caso pi`u comune: quello in cui l’apertura `e illuminata mediante un campo non costante; di solito in realt`a si han funzioni non costanti ma anche poco oscillanti, come potrebbe essere un coseno (ossia l’autofunzione relativa al modo TE₁₀ in una guida rettangolare). Si potrebbe dunque avere qualcosa di questo genere:

E(x) E(0) ^{= cos}  π^x a  , |x| < ^π a

in questo caso si avr`a, come trasformata di Fourier, qualcosa di un poco pi`u complicato: f (u) = ^4π a cos(ua) u2− π 2a
2

Si osservi che in questo caso la posizione del primo zero `e spostata pi`u avanti (circa a u = 5), dunque si ha un allargamento del lobo principale, ma il livello dei lobi secondari sar`a pi`u basso. Questa cosa, spiegata in un contesto particolare, in realt`a `e vera sempre: si pu`o vedere che quando la funzione trasformanda non `e costante, `e “rastremata”, ossia tende a zero agli estremi in modo graduale, la trasformata ha i livelli dei lobi secondari pi`u bassi. D’altra parte, purtroppo, abbassando i lobi secondari allarghiamo il lobo principale, abbassando il guadagno massimo.

Considerando questo specifico caso, si ha:

ϑ_3dB = 69^◦λ/a

ossia, si ha un lobo principale pi`u largo, come scritto precedentemente;

ϑ₀ ∼ 86◦λ/a

ampiezza del primo lobo secondario circa pari a -23 dB, ν ∼ 0, 81; rispetto a prima, l’efficienza d’apertura `e pi`u bassa; con un’illuminazione uniforme, infatti prima essa era unitaria. Questo significa sostanzialmente che se inten-diamo avere lobi secondari bassi, perderemo guadagno e perderemo efficienza di apertura, ossia per avere lo stesso guadagno dovremo avere aperture pi`u grandi, a parit`a di funzione di illuminazione.

Concetto di tapering

Consideriamo a questo punto il concetto di “tapering”, ossia di“rastremazione”, applicato alle aperture rettangolari; in realt`a questo concetto sar`a poi appli-cabile anche ad aperture di altri tipi, come si vedr`a in seguito.

Per una generica antenna si pu`o definire un numero, detto tapering, t, come il rapporto tra il campo illuminante presente al centro e ai bordi:

t =  E ^a₂


E(0)

Dunque, avere un tapering elevato significa che il rapporto dei campi `e circa unitario, dunque che il campo `e circa costante. Se t → 1, si ha che i lobi secondari sono pi`u alti, ma il fascio direzionale pi`u stretto, ν pi`u elevata, il guadagno pi`u elevato. Cosa duale se t si riduce.

Questa definizione potrebbe essere ricondotta a una formula vista in precedenza; per quanto riguarda il guadagno, si ha che:

D_max = ^4π λ2   R AE_AdS 2 1 Z0 R A|E_A|²dS

Nel caso E_S `e una funzione costante, al numeratore si ha A2, al denomi-natore A, (dove A `e l’area, ovviamente), dunque si ha la semplice formula dell’area geometrica.

Si vuol far notare un fatto: il criterio generale del tapering non assoluto, dal momento che esistono casistiche in cui il fatto che si abbia t bassi non implica per forza una diminuzione dei lobi: dipende sostanzialmente dal fatto che si arrivi a zero agli estremi, ma anche come ci si arrivi, con che tangente. Consideriamo ora, al fine di parlare di tapering, due fondamentali esempi di funzioni di illuminazione.

• coseno sul piedistallo: si tratta di una funzione coseno al quale si aggiunge un “piedistallo”, ossia una costante:

f = t + (1 − t) cos^π a^x



questa funzione pu`o avere il coseno al quadrato o al cubo invece che il coseno, si possono trovare valori ancora pi`u piccoli.

• distribuzione di Hamming: si tratta di una funzione particolare, un particolare compromesso:

f (x) = t + (1 − t) cos^2π a^x



se si calcolasse la trasformata di Fourier di questa funzione per deter-minati valori di t, si troverebbe qualcosa del tipo:

F (u) = t^{sin u}

u ^{+ (1 − t)}

sin u u

1 − ^u_π
²

provando a plottare questa funzione per diversi valori di t, si potrebbe vedere che il valore che permette di ridurre al minimo i lobi `e qualcosa di simile a t = 0, 14: abbassando t sotto questo valore, si ha una crescita dei lobi; per quel valore, si ha tutto a circa - 43 dB, e ν abbastanza alta. Non solo: guardando vari valori di t, si pu`o vedere che per certi il primo lobo secondario pu`o essere pi`u basso del secondo o del terzo: si ha un comportamento abbastanza particolare.

Ottenere esattamente il valore ottimo di tapering `e nella pratica difficile, per`o sappiamo che t_ottimo `e diverso da 0.