2.6 Antenne a paraboloide
2.6.11 Antenne a doppio riflettore
4πG
facendo il confronto tra le due configurazioni si pu`o calcolare il “guada-gno equivalente”, ossia il guada“guada-gno della configurazione dotata di ripetitore passivo rispetto al sistema a singola antenna; si ha, in questa situazione,
Geq = Gr
AS λd
2
Inserendo uno specchio, dunque, si pu`o dire che il guadagno cambi di questo fattore; ovviamente, tutto cil vale solo per il far field, ossia supponen-do che si abbiano distanze maggiori di 2D2
λ (ossia di essere nella regione di Fraunhofer). Nel caso limite, per cui
d = 2AS λ
si riduce di un quarto la potenza, ossia di 6 dB. Sembrerebbe svantaggioso, ma si ricordi che in questo caso non si utilizzano cavi ulteriori, dunque non si introducono attenuazioni superiori a questi 6 dB; questa cosa dunque in situazioni complicate potrebbe essere comunque favorevole.
2.6.11 Antenne a doppio riflettore
Nelle stazioni di terra sostanzialmente tutte le antenne sono almeno a doppio riflettore: queste sono fondamentali quando il guadagno deve essere elevato (50 e pi`u dB). Queste antenne, da studiare, sono ovviamente pi`u complicate di quelle a singolo riflettore, e il loro studio `e sostanzialmente basato sulle propriet`a delle coniche, nella fattispecie dalla ben nota propriet`a per cui, se un raggio esce da un fuoco della conica e incide sulla superficie della conica, allora da qui viene proiettato verso l’altro fuoco della conica (propriet`a che discende dal fatto che i raggi-vettori tracciati dai fuochi hanno lo stesso angolo rispetto alla normale). Ci`o vale per ellisse, iperbole o parabola.
Questa propriet`a si pu`o applicare nel seguente modo:
Se si fa partire un raggio da F10, questo si incider`a sulla prima conica, e verr`a direzionato verso F20; se si fa coincidere il secondo fuoco della prima conica, F20, con il primo fuoco della seconda conica, F100, il raggio che si `e ap-pena trovato andr`a a incidere sul secondo fuoco della seconda conica, da qua torner`a indietro al primo, e cos`ı via! Esistono sistemi guidanti elettromagne-tici, “beam waveguide”, che per l’appunto guidano i raggi, secondo questo principio; ci`o permette di far propagare il cilindro di flusso da un punto a un
altro, evitando comunque di farla passare per una guida d’onda metallica, la quale comunque introdurrebbe una dissipazione.
Antenna Cassegrain
Uno dei casi pi`u interessanti di coniche `e l’iperboloide: esso `e basato sull’e-quazione dell’iperbole, che si pu`o scrivere, in coordinate planari cilindriche, come:
z2 a2 −%
2
b2 = 1 dove si pu`o definire:
b2 = c2− a2
e ±c sono i fuochi dell’iperbole. Per l’iperbole a e c hanno un significato fisico: a `e il valore dell’intersezione della linea con l’asse z (ossia il vertice dell’iperbole); b ha un significato meno determinante geometricamente. Si definisce l’eccentricit`a e come:
e , c a
La cosa interessante `e che se spediamo un raggio dal fuoco F1 verso una delle due falde dell’iperboloide, essendo essa una superficie a due falde, i rag-gi vengono riflessi come se venissero dall’altro fuoco. Se andassimo a metallizzare una delle due falde, il raggio verrebbe riflesso come se uscisse dall’altro fuoco. Questo vale per tutti i raggi provenienti dal fuoco! In al-tre parole, data una sorgente in F1, essa si comporta esattamente come una sorgente posta nel fuoco F2. Se andiamo dunque a mettere F2 in corrispon-denza del fuoco di un paraboloide, orientando tutto in maniera opportuna, un paraboloide si vede arrivare un’onda sferica dal suo fuoco, e “raddrizza i raggi” dell’onda sferica spedendoli al secondo fuoco del paraboloide, os-sia verso l’infinito: anzich`e usare un illuminatore sul paraboloide, si illumina quest’ultimo mediante un altro riflettore, a sua volta illuminato da un illumi-natore. Questo `e detto “sistema ottico”, costituito da un riflettore iperbolico e da un paraboloide. Il riflettore iperbolico, pi`u piccolo del paraboloide, `e detto “subriflettore”. L’antenna Cassegrain `e basata su questo concetto (e su subriflettori iperbolici).
Studiamo il comportamento dei raggi riflessi dall’iperboloide: partendo dall’equazione dell’iperbole si pu`o dimostrare che:
tan ϑi 2
ossia `e una costante, ed `e detta M , “magnification”; si pu`o infine dimo-strare che:
M = e + 1 e − 1
dove e `e l’eccentricit`a; si noti che questa `e un’espressione autoinvertente: l’inversa `e uguale, sostituendo e ↔ M . Questo vale per tutti gli angoli di incidenza e di riflessione, dunque anche per i massimi angoli di incidenza e riflessione; come ϑmax una buona idea sarebbe quella di prendere il valore corrispondente al paraboloide utilizzato: se l’angolo del paraboloide al mas-simo `e di 60◦, allora si deve scegliere questo valore, per fare in modo di non avere n`e spillover n`e riduzione dell’efficienza di apertura.
Cosa ci dice tutto ci`o? Beh, semplicemente, si ha una struttura tale per cui si parte con un illuminatore con un fascio, e, dopo l’incidenza sul-l’iperboloide, questo fascio verr`a ampliato. A seconda dell’eccentricit`a, si allarga di pi`u o di meno l’illuminatore del paraboloide. Dato un angolo ϑfeed, rappresentante il massimo angolo raggiungibile mediante il feed, si ottiene ϑmax, che sar`a sicuramente maggiore. Questa cosa `e molto utile dal mo-mento che, quando si progetta un’antenna a riflettore, non si pu`o prendere un illuminatore a caso e un riflettore parabolico a caso: `e necessario che i due siano “matchati”, nel senso che l’illuminatore deve essere tale da poter illuminare l’intera apertura. Il subriflettore permette di estendere il fascio dell’illuminatore in maniera da “adattarlo” all’antenna.
Si presti attenzione su un fatto: l’iperboloide non `e a curvatura costante, nel senso che, allontanandosi dal vertice, l’iperboloide tende asintoticamente a una retta, dunque il raggio di curvatura continua ad aumentare tendendo a infinito. Se un’onda si riflette su una superficie convessa, come questa, tende a divergere. Ci`o spiega il seguente comportamento:
Se si illuminasse con illuminazione uniforme, grazie al fatto che il subri-flettore `e abbastanza convesso sul vertice e poi sempre meno ai bordi, fino a diventare piatto, il campo riflesso nella zona del vertice rimane basso, perch`e si ha divergenza dei raggi, mentre nei bordi pi`u alto, dal momento che i raggi divergono di meno; questo comportamento permette, almeno in parte, di compensare l’attenuazione spaziale: ci`o riduce il tapering sulla superficie, dando un certo “guadagno”.
`
E noto che l’equazione della parabola `e:
% = 2f tanϑ 2
dove ϑ `e quello che abbiamo chiamato, qui, ϑr; l’equazione per`o dice che questa, per l’equazione delle tangenti prima ricavata, `e:
tanϑr 2 = M tan ϑi 2 dunque % = 2M f tanϑi 2
Questa cosa `e, ancora una volta, l’equazione di una parabola: una “para-bola equivalente”, tenendo conto della deviazione introdotta dal subriflettore iperbolico. In questo caso si ha una distanza focale equivalente feq pari a:
feq = M f
La distanza focale `e molto maggiorata, dunque il semiangolo di apertura sar`a molto piccolo, e l’attenuazione spaziale sar`a di conseguenza ridotta. Si parla di antenne “prime focus” quando l’illuminatore `e sul fuoco del riflettore finale (ossia del paraboloide); in questo caso non `e cos`ı, dal momento che sul fuoco del riflettore finale c’`e il subriflettore.
Che vantaggi hanno queste antenne? Beh:
• queste antenne sono pi`u semplici da alimentare: ora c’`e il subriflettore, ma esso viene illuminato, non richiede una guida d’onda; il feed `e messo vicino al paraboloide, dunque l’alimentazione `e pi`u semplice;
• si ha un inferiore tapering ai bordi, dunque si riesce a migliorare anche sotto questo punto di vista: si ha una migliore efficienza d’apertura.
Si ha un grande sostanziale difetto: il bloccaggio `e generalmente pi`u elevato, dal momento che si ha un subriflettore che sar`a lungo/largo qualche lunghezza d’onda (5 ÷ 10λ): il subriflettore funziona sostanzialmente solo se vale il modello di ottica geometrica, dunque questa condizione `e necessaria: serve avere a che fare con dimensioni fisiche maggiori di λ.
Dobbiamo a questo punto parlare di progetto: quanti gradi di libert`a ci rimangono? L’unica cosa che non abbiamo regolato `e il diametro del subriflettore, ossia dell’iperboloide: esso `e in realt`a vincolato dal fatto che non pu`o essere enorme, dal momento che il subriflettore `e comunque un elemento che introduce bloccaggio. Se combiniamo la condizione per cui il subriflettore deve essere 5 ÷ 10λ, con una condizione ragionevole per il bloccaggio (per esempio il fatto che il diametro bloccato sia 101 o meno del totale), servirebbe avere a che fare con antenne per cui:
D
questo ci fa capire una cosa: le Cassegrain sono antenne grandi, mai piccole.