2.2 Antenne a tromba
2.2.3 Tromba bimodale
ˆ
p = cos ϕ ˆϕ + sin ϕ ˆϑ ˆ
q = sin ϕ ˆϕ − cos ϕ ˆϑ
Come mai torniamo qua? Beh, si era anche visto, in precedenza, che il campo elettromagnetico potrebbe essere rappresentato come:
E = E0hFH(ϑ) cos ϕ ˆϕ + FE(ϑ) sin ϕ ˆϑi
A questo punto `e possibile valutare le polarizzazioni diretta e incrociata, proiettando questa funzione di campo sui versori appena visti:
Ediretta = FH(ϑ) cos2ϕ + FE(ϑ) sin2ϕ Eincrociata= sin ϕ cos ϕ [FH(ϑ) − FE(ϑ)]
Cosa ci dice ci`o? Beh, essendo la seconda la polarizzazione incrociata, `
e possibile vedere che essa `e nulla nei piani principali, ma questo `e un caso banale; pi`u interessante `e il fatto in cui FE = FH, ossia se si ha simmetria, in modulo e fase, del diagramma di irradiazione.
Come mai ci impuntiamo cos`ı tanto sul desiderio di avere una bassa pola-rizzazione incrociata? Beh, come gi`a detto, se essa `e trascurabile `e possibile introdurre un riutilizzo di frequenza, ossia trasmettere nel canale il doppio dell’informazione, usando sia una polarizzazione verticale sia una polarizza-zione orizzontale, ma questo ovviamente si pu`o fare solo a patto che la cross polarization sia bassa, ossia se le due polarizzazioni sono ben disaccoppiate, eliminando fenomeni di interferenza.
Come si pu`o fare per fare una tromba con bassa polarizzazione incrocia-ta? Si deve sostanzialmente avere la possibilit`a di avere un tapering il pi`u possibile uguale nei due piani, ossia avere simmetria rispetto alla variabile di integrazione ϕ0 (ossia l’azimut considerato sul solo piano d’apertura): nor-malmente, una tromba circolare, in cui vi sia il suddetto TE11, non realizza assolutamente questo obiettivo.
2.2.3 Tromba bimodale
Il problema da risolvere `e quello dunque di uniformare l’illuminazione nei due piani principali. Per fare ci`o, l’idea vincente `e stata quella di combinare non un modo, bens`ı due: il TE11 e il TM11.
Da dove salta fuori questa idea? Beh, prima di tutto consideriamo alcuni cenni riguardo la guida circolare: come noto, quando si studiano problemi al contorno, si finisce per arrivare alla ben nota equazione di Helmholtz:
∇2
tφ + kti02φ = 0
questa `e l’equazione differenziale la cui soluzione fornisce una funzione, il cui gradiente dar`a luogo alle autofunzioni modali. Per ottenere problemi differenziali di semplice risoluzione, l’idea `e di solito quella di avere coordinate costanti al momento di esprimere le condizioni al contorno; in questo caso, dal momento che il dominio `e circolare, ci`o che si fa `e passare l’equazione in un sistema di coordinate polari planari, e ci`o che ne esce `e una coppia di funzioni di questo tipo:
• per i modi TM,
φ = cos(mϕ)Jm(k0mn%)
dove la condizione, essendo il modo TM, `e di Dirichlet:
φ(a) = 0 • per i modi TE:
ψ = cos(mϕ)Jm0 (k00mn%)
dove la condizione al contorno in questo caso `e di Neumann:
dψ dν = 0
Le caratteristiche dei modi (quali per esempio la frequenza per cui es-si iniziano a propagares-si nella struttura guidante) sono note a partire dalla conoscenza degli autovalori kmn(0,00), i quali per quanto riguarda una gui-da rettangolare sono notoriamente collegati agli zeri di funzioni sinusoigui-da- sinusoida-li/cosinusoidali, mentre in questo caso sono collegati agli zeri di una funzione di Bessel di prima specie o alla sua derivata.
Studiando gli andamenti delle funzioni di Bessel, si pu`o vedere che il primo modo, ossia il modo fondamentale della struttura, `e il TE11, dal momento che `e il primo zero che si incontra.
Siamo interessati, dei modi superiori, al modo TM11, dal momento che `
e quello che meglio permette di “aggiustare” la topografia del campo elet-tromagnetico all’interno della struttura guidante, in modo da renderla pi`u uniforme.
Il modo TM11 ha una topografia di questo genere:
essendo un TM, le linee di campo elettrico avranno anche una componente longitudinale, lungo z; si pu`o vedere che dunque, per quanto riguarda l’asse verticale (ossia l’asse E), a met`a della sezione trasversale, si ha un’inversione di segno, dal momento che le “freccette” cambiano di verso: quelle nelle zone periferiche sono direzionate nello stesso modo, quelle nelle zone centrali (vicino al centro della circonferenza rappresentante la sezione trasversale) nel verso opposto. Per quanto riguarda invece il piano orizzontale, ossia il piano H, si ha un insieme di linee di campo dall’intensit`a sostanzialmente uguale a quella normale: sono sempre nella stessa direzione; come condizione al contorno ai bordi il campo tangenziale sar`a nullo, dunque campo orizzontale che si annulla ai bordi. Nel piano E ho un cambio di segno e un campo non nullo ai bordi, nel piano H campo nullo ai bordi e solito andamento.
Se si disegna la topografia del modo fondamentale anche per il TE11, si ha:
Si pu`o vedere che l’ampiezza ha un andamento di questo genere.
L’idea della tromba bimodale `e quella di far sommare le due topografie di campo. Si ottiene che:
• nel piano H le due funzioni sono molto simili, dunque la funzione ri-sultante dalla somma sar`a taperata allo stesso modo delle due funzioni sommate;
• nel piano E (che si ricorda essere il piano verticale), i campi dei due modi nella parte centrale si sommano, nella periferia si sottraggono; scegliendo un peso conforme per le due topografie (dal momento che, essendo le equazioni di Maxwell lineari, tutto ci`o si riconduce a una combinazione lineare), si riesce ad avere un campo risultante con to-pografia taperata allo stesso modo del piano H, ottenendo dunque la tanto agognata simmetria del diagramma di irradiazione.
A questo punto resta una domanda: al fine di avere un modo, servono due condizioni: il fatto che esso sia eccitato, e il fatto che esso sia propa-gato. Al fine di eccitare un modo, `e necessario introdurre una discontinuit`a nella struttura guidante, discontinuit`a che ecciter`a un certo numero di modi superiori. Per eccitare il modo TM11 l’idea che si attua `e la seguente:
Si introduce in questo modo una discontinuit`a di questo tipo. Un proble-ma per`o sta nel fatto che tra il TE11 e il TM11, in mezzo vi stanno altri modi, ed essi non devono essere eccitati: la tromba bimodale deve coinvolgere solo i due modi introdotti. Questo fatto viene evitato proprio mediante l’uso di una discontinuit`a di questo tipo: essa infatti, per come `e fatta, eccita sola-mente i modi con lo stesso indice azimutale, dal momento che questa `e una
discontinuit`a simmetrica, ossia `e un gradino in %, nella coordinata radiale, ma non in ϕ; in una discontinuit`a di tipo radiale si ha dunque sempre lo stesso indice azimutale, ma non si eccitano modi con diversi indici radiali. I TE1n e TM1n non vengono eccitati, dunque non possono neanche propagarsi. Questa cosa si pu`o intuitivamente vedere nella seguente maniera: ogni volta che si deve calcolare l’effetto di un modo rispetto all’intero campo elettromagnetico, quello che si fa sostanzialmente `e considerare un integrale di proiezione, applicando il metodo di Gram-Schmidt:
emodale= Z 2π 0 Z a 0 Jm(k0mn%) cos(mϕ)Jm0(km0 0n0%) cos(m0ϕ)dϑd%
ossia, si considera un modo con pedici (m, n) e (m0, n0); il fatto che n 6= n0 non comporta problemi dal momento che va a modificare le funzioni di Bessel, ma il fatto che m 6= m0 invece ci aiuta, dal momento che in questo caso fa ottenere un integrale non nullo solo secondo un risultato moltiplicato per la delta di Kronecker: solo quando i due indici sono uguali (dal momento che i coseni sono tra loro ortogonali per m0 6= m).
Il fatto di poter introdurre questo secondo modo permette dunque di ef-fettuare un tapering anche sul solo piano E. Se il coefficiente di peso del secondo modo `e circa pari a 0,4 (poco di meno), i lobi principali corrispon-dono abbastanza, sia in modulo sia in fase (fino a quando il lobo principale si abbassa di circa 10 dB, dunque di un buon valore). Inoltre, risultato aggiuntivo a nostro favore, i lobi secondari sono sempre molto ridotti: nel lobo principale c’`e una maggiore efficienza di fascio, ossia un rapporto pi`u favorevole tra energia nel lobo principale e nel fascio.
Il problema principale di questo tipo di antenna a tromba `e la banda: se si fa un gradino tale da passare dalla guida d’onda circolare, la quale permette un solo modo fondamentale, a un nuovo raggio per il quale si fa passare anche l’altro modo, si deve avere un gradino molto grande: le due kt sono piuttosto diverse. La realizzazione pratica dunque di questa antenna richieder`a qualcosa di un poco pi`u complicato. Quello che si fa prima di tutto `e introdurre una leggera rastremazione molto graduale, poi si porta la guida d’onda a dimensioni tali da poter permettere il modo fondamentale e i primi due modi superiori; questi verranno poi attenuati da un tratto di guida d’onda, prima di fare un ulteriore salto, che in questo caso sar`a quello che permetter`a l’eccitazione del solo modo TM11, che verr`a dunque eccitato di qui in poi, e propagato. Facendo questa cosa qui, si riesce a evitare di distorcere eccessivamente il diagramma di irradiazione.
Si noti che i due modi si propagano con velocit`a di fase diverse, dunque `
si possano sommare e che non vadano in controfase; si introduce dunque una sezione finale di rifasamento, in modo tale da far combinare in fase le due componenti di campo.
Il fatto che si abbia una sola configurazione giusta per le velocit`a di fase, a meno di non andare in controfase, limita la banda dell’antenna.