Centro di fase di un’apertura

N X n=0 an Z 1 0 1 − r^2
nJ0(ur)rdr di solito questo integrale viene indicato mediante una Λ.

2.1.5 Centro di fase di un’apertura

Di solito come campi di illuminazione abbiamo utilizzato funzioni reali; di tutte le domande che ci siamo posti su questa, tuttavia, non ne abbiamo ancora considerata una in particolare: qual `e il punto potenziante, ossia il punto dal quale proviene il campo irradiato dall’apertura? Beh, se il punto di osservazione `e a distanza abbastanza grande, l’antenna potrebbe essere considerata puntiforme, dunque il campo irradiato sarebbe un’onda sferica in cui il centro della sfera sarebbe il punto rappresentante l’antenna. In una situazione un po’ meno approssimata, il centro della sfera rappresentante la superficie a fase costante del campo irradiato sarebbe di sicuro da qualche parte nell’apertura, ma dove nel dettaglio? Non sempre, e anzi quasi mai, al centro dell’apertura.

Nel caso dell’apertura rettangolare uniformemente illuminata, il campo ha un certo andamento, precedentemente descritto; la funzione tuttavia ha punti in cui l’ampiezza `e positiva, altri in cui `e negativa: questo significa che la fase, essendo collegata a una funzione a segni alterni, sar`a a segni alterni: un po’ sar`a pari a 0^◦, un po’ pari a 180^◦.

Questo significa che in realt`a la sfera rappresentante la superficie a fase costante non `e una sfera: sul lobo principale si avr`a una certa fase, sul primo lobo secondario un’altra, e cos`ı via, con salti pari a π: si ha una superficie a fase costante “a gradini”. Questo non `e in realt`a l’unico problema: quando si parla di fase, non si pu`o dire se la fase sia 0 o 2π, dunque per esempio se la traslazione dei gradini sia verso il centro della sfera o verso l’esterno.

Preoccupiamoci del primo problema: dal momento che non `e possibile occuparsi del centro di fase di tutto il diagramma di irradiazione, dato l’an-damento a gradino, noi ci occuperemo solo di qualcosa di molto importante per i nostri scopi: il centro di fase relativo al solo lobo principale. In questo caso, dunque, la sfera coincide sostanzialmente con una sfera di raggio r, cen-trata nel centro dell’apertura; questo accade se l’apertura per`o `e illuminata da una funzione reale, a fase costante.

Il problema purtroppo `e che non tutte le distribuzioni sono a fase costante: molto frequentemente, come gi`a detto, si potrebbe avere un errore di fase quadratico. Si ricordi per esempio il comportamento di un’antenna a tromba: in questo caso l’errore `e di tipo quadratico; infatti, volendo calcolare la distanza r dal centro di fase, si avrebbe, applicando il teorema di Pitagora:

r =√

x2+ L2

dove L `e la lunghezza assiale della tromba, x la distanza dall’origine. Sapendo che la fase va come e^−jkr, e che r ha un andamento dipendente da quello di x come secondo la radice quadrata (andamento dunque quadratico), si ha qualcosa che va come

e^−jk

√ x2+L2

questo permette di intuire che la fase sull’apertura in realt`a non `e co-stante, e che dunque il centro dell’apertura non coincide con il centro di fase.

Proviamo a vedere cosa capita: se si ha una funzione trasformanda com-plessa, dunque a fase non costante, per le propriet`a della trasformata di Fourier non si pu`o garantire il fatto che la trasformata di questa sia una funzione reale o con propriet`a particolari.

Si consideri un esempio in cui si ha un errore quadratico di fase; il modulo e la fase del campo illuminante avran un andamento del tipo:

questo `e l’andamento di modulo e fase nel caso in cui l’illuminazione non sia uniforme: in questo caso, la fase non `e pi`u costante da nessuna parte nell’apertura! Neanche nel lobo principale! Si hanno vari cambi di concavit`a (per esempio nei punti u = ±3). Il fatto che la fase sia non costante implica il fatto che non ci sia una sfera a fase costante, dunque non sappiamo qual `e il centro di fase, dal momento che per quanto riguarda esso si dovrebbe avere una zona a fase costante, legata ad una sfera a fase costante.

Vediamo che, in questo specifico caso, si ha una fase che tende a crescere allontanandosi dall’origine. Il centro di fase `e quel punto tale per cui si riesce a non avere pi`u questo fenomeno di crescita. Al fine di non avere pi`u questo fenomeno, `e necessario “spostare”, sull’asse z, il punto considerato “punto

potenziante”: in altre parole, quello che si fa `e non considerare pi`u l’origine del sistema di riferimento sul piano dell’apertura. Se si sposta l’origine anche su questo asse, si ha un punto r⁰ descrivente la posizione delle sorgenti del tipo:

r⁰ = xˆx + yˆy + dˆz

Questa cosa far`a ridefinire il problema, dal momento che, quando si deve calcolare il prodotto scalare r<sup>0</sup> · ˆR, si ha un termine in pi`u, dal momento che la componente lungo z non `e pi`u nulla. Ricalcolando dunque il prodotto scalare, si avr`a:

kr⁰· ˆR = k_xx + k_yy + kd cos ϑ

ossia, in sostanza si ha tutto ci`o che si aveva prima, con in pi`u un termine moltiplicante i precedenti, ottenendo:

E⁰ = E e^{jkd cos ϑ}

Spostare dunque l’origine dall’apertura a un punto fuori dall’apertura a distanza d corrisponde a moltiplicare il risultato di prima con un fattore di questo tipo; questo `e un fattore ad ampiezza unitaria, dunque l’ampiezza del campo non varia, tuttavia si ha uno sfasamento dipendente dall’angolo di osservazione ϑ.

Ci `e consentita a questo punto l’introduzione di un termine di normalizza-zione per il termine del campo, moltiplicando per esempio per un termine del tipo e^−jkd, ossia un termine di fase costante, indipendentemente dall’angolo di osservazione. In questo modo:

E⁰ = E e^{jkd(cos ϑ−1)}

traslare di una fase costante infatti `e assolutamente consentito; questa cosa ci verr`a utile in seguito; tendenzialmente il primo vantaggio sta nel fatto che, per ϑ = 0, l’incremento di fase `e 0.

Vediamo:

questa funzione ha un comportamento opposto rispetto a quello della fase che si aveva nel problema precedente, ossia sempre costante nell’origine, ma poi decrescente all’aumentare di ϑ; questa cosa pu`o essere utilizzata a nostro favore per compensare, dato un certo valore ben preciso di kd, questa crescita della fase, in modo da mantenere la fase risultante dalla variazione del sistema di riferimento circa costante, circa piatta. Questo significa che la fase del campo calcolato nel nuovo modo `e circa costante, e che dunque, dato O⁰ il nuovo sistema di riferimento, ottenuto traslando sull’asse z quello

O precedente, si potr`a dire che il centro di fase, ossia il centro della sfera a fase costante relativa al lobo principale del diagramma di irradiazione, sia proprio in O⁰.

Vale la seguente osservazione generale: nel caso in cui la fase abbia una concavit`a verso l’alto, come nel caso analizzato, allora O<sup>0</sup> `e “dietro” O, ossia verso l’interno dell’antenna; nel caso opposto, ovviamente, verso l’esterno.

Giunti a questo punto, come si determina nella pratica il centro di fase di un’apertura? Beh, prima di tutto, la prima cosa da fare `e calcolare o misurare il campo all’apertura in modulo e fase rispetto a un certo punto di riferimento noto, per esempio posizionato sull’apertura. Fatto ci`o, con che criterio si determina il centro di fase? Beh, semplicemente, ci si prepone l’obiettivo di compensare la concavit`a di ∠E fino a un certo angolo, richiedendo per esempio di avere fase nulla fino a un certo livello di ampiezza; un esempio potrebbe essere - 10 dB. Per fare ci`o dunque, dati i diagrammi plottati, si determina l’angolo ϑ₀ corrispondente a un calo rispetto al massimo di 10 dB, quindi ci si prepone di avere una certa fase φ₀ massim in corrispondenza di questo ϑ₀; questo coincide col chiedere:

d λ ⁼

φ₀ 2π [cos ϑ₀− 1]

Da qui `e possibile effettuare una prima verifica di un’affermazione scritta poco fa: cos ϑ − 1 ≤ 0, e φ₀ > 0 (essendo la fase da compensare positiva); per la regola dei segni, dunque, d < 0, esattamente come detto prima.

Fatta questa osservazione, `e possibile trovare una formula approssimata: supponendo infatti di volere il centro di fase nell’intorno dell’origine, per ϑ<sub>0</sub> → 0 si pu`o effettuare lo sviluppo di Mac Laurin e quindi sviluppare nella seguente maniera: d λ ∼ ^φ0 2π1 −x2 2 − 1 = φ₀ πϑ2 0

La posizione del centro di fase, `e dunque pari al valore della fase da correg-gere, diviso π moltiplicante il quadrato dell’angolo di osservazione. Questa formula poi si pu`o ovviamente convertire in gradi. Possiamo dire che

φ^rad₀ (ϑrad 0 )2 = ¹⁸⁰ π2 ∼ 18, 24 ^φ ◦ 0 (ϑ◦ 0)2

Il centro di fase `e tanto pi`u all’interno dell’antenna quanto maggiore `e l’errore di fase che si ha; questo sostanzialmente `e legato a quanto la tromba `

`

e x rispetto a L, tanto pi`u Pitagora si fa sentire e meno possiamo confondere L con r).

Perch`e ci serve tutto ci`o? Per quale motivo ci siamo posti questo proble-ma? Beh, ci interessa in uno specifico caso: quello delle antenne utilizzate come illuminatori di antenne a riflettore: la parabola, data una sorgente luminosa posizionata nel fuoco della parabola, riflette tutti i raggi parallela-mente alla direzione di propagazione. Come vedremo quando parleremo di antenne a riflettore, l’illuminatore deve essere posizionato nel fuoco; dove sia il fuoco lo sappiamo bene, ma dove posizionare l’illuminatore no: ci`o che si deve far coincidere con il fuoco dell’antenna a riflettore `e proprio il centro di fase e, se ci`o non `e stato fatto correttamente, il guadagno dell’antenna cala enormemente; per questo motivo, la teoria ora introdotta sul centro di fase `

e assolutamente fondamentale.