Schiere lineari equispaziate uniformi

Si stanno considerando schiere lineari equispaziate; una volta introdotta que-sta ipotesi, ci`o che discrimina le varie schiere di antenne `e l’insieme dei coefficienti di alimentazione, an.

La cosa pi`u facile che pu`o venire in mente `e quella di avere una schiera uniforme, ossia per cui le alimentazioni sono tutte uguali: a_n= 1∀n. Questo significa ottenere un fattore di schiera semplicemente pari a:

A = N −1 X n=0 e^jnψ = N −1 X n=0 zⁿ

Osservando questa espressione, si pu`o vedere che essa `e una somma geo-metrica, la cui espressione `e scrivibile in forma chiusa:

A = ^z

N − 1 z − 1

Siamo interessati a questo punto alla determinazione degli zeri di questa espressione: dal momento che il diagramma di irradiazione `e dato dal prodot-to di questa espressione e di un’altra, sapere dove sono gli zeri dell’espressione suggerir`a la posizione di parte degli zeri del diagramma di irradiazione finale. In questo caso, si ha qualcosa del genere:

Si hanno N − 1 zeri: z = 1 `e infatti una discontinuit`a eliminabile del-la funzione, dunque si ha del-la canceldel-lazione polo-zero. Dal momento che z avr`a sempre modulo unitario, si pu`o scrivere come ejnψ; questo implica poter scrivere l’espressione del modulo di A come:

|A(ψ)| = ^e

jN ψ− 1 ejψ− 1

Si utilizza a questo punto un trucco: si raccoglie a numeratore e a deno-minatore e^jψ2 (al numeratore anche con N :

= ^e

j^{N ψ}₂ − e−j^{N ψ}₂

e^jψ2 − e−j^ψ₂

ej^{N ψ}₂

e^jψ2

Il secondo termine, il rapporto dei due esponenziali, non `e modulo, dunque si pu`o eliminare; come si pu`o vedere, mediante la formula di Eulero:

|A(ψ)| = ^{sin N}

ψ 2

sin ^ψ₂

Si introduce solo una normalizzazione: per ψ → 0, si vuole che A(ψ) abbia modulo unitario; ci`o si ha se si premoltiplica per 1/N ; infatti:

lim ψ→0|A(ψ)| = N dunque |A(ψ)| = ¹ N sin N^ψ₂
sin ^ψ₂

Consideriamo ora questa espressione per un caso particolare: se N = 1, tutto va a 1, ma in effetti `e un caso scontato e non interessante: `e una schiera composta da un singolo elemento, dunque un’antenna. Pi`u interessante il caso per N = 2: ripartendo dal polinomio di partenza, se N = 2, si ottiene:

A(ψ) = z + 1 sviluppandolo:   e^jψ2 h e^jψ2 + e^−jψ2 i  =     cos ψ 2    

In entrambi i casi, come si vede, la funzione `e periodica e di periodo 2π; sono inoltre entrambi pari: nel secondo caso `e evidente, nel primo quasi, dal momento che si ha il rapporto di due funzioni dispari. Aumentando N , ossia il numero di radiatori, aumenta il numero degli zeri presenti nel diagramma di irradiazione (nel fattore di schiera); si ha qualcosa del gneere:

Man mano che si aumenta N , il fattore di schiera si stringe, e il diagramma di irradiazione insieme a esso. Si ha tuttavia una cosa negativa: per N → ∞, il primo lobo secondario ha comunque un valore importante; come si pu`o vedere, sostituendo all’argomento del seno al numeratore una x:

N ψ 2 −→ x si ha lim N →∞ 1 N sin x sin_N^x

N continua a crescere, dunque l’argomento al denominatore diventa infi-nitesimo (x/N → 0), dunque `e possibile approssimare il seno al denominatore con il suo argomento:

∼ ¹ N sin x x N = ^{sin x} x

Questo `e sostanzialmente il comportamento che aveva un’apertura rettan-golare, e, come noto, sotto i 13 dB rispetto al lobo principale i lobi secondari non potevano andare: non `e possibile avere lobi secondari estremamente bassi con schiere uniformi.

Il fattore di schiera `e formato da modulo e fase; se tutti i coefficienti a<sub>n</sub> sono intrinsicamente positivi (cosa valida per la schiera uniforme) il massimo dell’irradiazione si avr`a quando tutti i coefficienti saranno pesati con ψ = 0, perch`e se si han tutti i coefficienti positivi, il massimo si avr`a quando tutti saranno sommati in modulo, dunque quando non c’`e sfasamento tra loro; se ψ = 0 si verifica proprio questa cosa: z deve essere unitario, dunque la fase nulla.

Dato dunque ψ = 0, vogliamo identificare il massimo della funzione, ossia l’angolo ϑ per il quale si ha la massima irradiazione; questa sar`a la direzione del lobo principale del fattore di schiera. Detto questo angolo ϑ_max, per ψ = 0, si ha, ricordando che ψ = kd cos ϑ + Φ:

ϑ_max= arccos 

−^Φ kd



A questo punto, si ha un’espressione del ϑmax funzione dell’angolo Φ di sfasamento progressivo. Se Φ = 0, si ha ϑ_max = 90^◦, considerando l’angolo rispetto all’asse, e ϑ⁰_max = 0^◦, considerando l’angolo rispetto alla normale all’asse; questa schiera ha dunque irradiazione trasversale rispetto all’asse, ed `e detta broadside: irradia lateralmente.

Se si introduce uno sfasamento Φ tra i vari elementi, il massimo non `e pi`u nella direzione normale: se Φ `e positivo si ha l’arcocoseno di un numero negativo, dunque l’angolo di massimo si sposta verso sinistra (avendo l’angolo pi`u di 90^◦); se viceversa Φ `e negativo, il lobo (o, meglio, i lobi: entrambi!) si sposta verso destra. Questo ci suggerisce a questo punto uno dei casi pi`u interessanti: se Φ = −kd, si ha che arccos(1) = 0: si ha irradiazione nella direzione dell’asse, ottenendo una schiera endfire, ossia una schiera che irradia nella direzione crescente dell’asse. Dualmente, se Φ = kd, si ha una schiera backfire, ossia una schiera che irradia nella direzione opposta della endfire.

Introducendo questi sfasamenti Φ, `e possibile effettuare la scansione del fascio: ci`o come si vedr`a in seguito si far`a introducendo uno sfasamento tra gli elementi. Questa `e una delle caratteristiche pi`u interessanti delle schiere: una schiera, rispetto a un’antenna a riflettore, `e assolutamente sconsigliata, se non sono richieste cose particolari come la scansione del fascio, dal mo-mento che la parabola ha una direttivit`a maggiore, a meno che non si metta un numero veramente elevato di elementi (volendo per esempio avere 1000 lunghezze d’onda e avere un elemento ogni λ, servono 1000 elementi); oltre a doverli realizzare, questi elementi bisogna alimentarli, introducendo una rete di partizione della potenza; questa rete introdurr`a perdite o comunque non idealit`a, dunque per questi motivi, se non si hanno particolari richieste, le schiere sono sconsigliabili.

La schiera sicuramente vince quando si deve richiedere la possibilit`a di scansione del fascio: se si deve avere un fascio con il riflettore parabolico, `

e necessario ruotarlo con dei motori, cosa estremamente scomoda da fare. Per quanto riguarda altri tipi di performance, inoltre, la schiera pu`o essere utilizzata per modificare il singolo lobo secondario: si pu`o controllare con grande precisione i singoli lobi secondari. Volendo per esempio ottenere un diagramma di irradiazione di questo tipo:

Nelle antenne a riflettore abbiamo visto che, modificando il tapering, si riesce bene o male a ottenere qualche vantaggio; ottenere invece un controllo preciso per i singoli lobi secondari, `e impossibile con antenne a riflettore. Con le sfere, `e possibile costruire i coefficienti di alimentazione in modo tale da ottenere i vari lobi secondari con diversi livelli.

Si ricordi che per ora si sta solo parlando di fattore di schiera, non di diagramma di irradiazione complessivo ancora: abbiamo ancora un grado di libert`a sul radiatore che si inserir`a nella schiera. Se si ha a che fare con radiatori abbastanza direttivi, cosa si pu`o fare? Una buona distanza, come detto, `e λ/2 (tra i vari elementi). Avendo elementi direttivi, sembrerebbe che si possono mettere gli elementi pi`u spaziati tra loro, ma il problema dei grating lobes rimane, anche se leggermente modificato. Consideriamo alcuni casi.

1. Si supponga di avere 8 elementi, spaziati d = λ/2; dato ci`o, il fattore di schiera sar`a questo:

questo sar`a il fattore di schiera nel primo caso. Questi potrebbero essere 8 dipoli affiancati, dunque il fattore dell’elemento `e una costante, e si ottiene il diagramma di irradiazione.

2. Proviamo con 4 elementi spaziati λ: cosa capita adesso? Beh, si ha qualcosa di peggio:

La funzione avr`a meno zeri, ma il visibile sar`a maggiore, dunque nel-l’angolo ϑ il fattore di schiera mostrer`a dei grating lobes.

3. Due elementi spaziati 2λ: in questo caso il fattore di schiera porta a un diagramma di irradiazione di questo tipo:

Il fattore di schiera `e praticamente sempre alto.

Questo riguarda i fattori di schiera in tre situazioni diverse. Avendo a disposizione elementi molto direttivi, `e possibile attenuare ci`o che viene introdotto dal fattore di schiera (magari, nei casi 2 e 3, facendo in modo da introdurre gli zeri del diagramma di irradiazione in prossimit`a degli angoli dei grating lobes). Ci`o si pu`o dunque fare, ma, se la specifica sui lobi secondari `

e severa, usare una schiera uniforme non `e comunque la soluzione giusta. Riassumendo, per quanto riguarda il fattore di schiera della schiera uni-forme, si hanno le seguenti caratteristiche:

ϑ_3dB ∼ 50^◦λ l

G ∼ ^2L λ

SLL ∼ −13dB

Si noti che queste sono caratteristiche del fattore di schiera, non del dia-gramma di irradiazione finale; questo dovr`a essere ancora combinato con le propriet`a del radiatore. L `e la lunghezza della schiera.

Ci chiediamo, per concludere, quale sia la spaziatura ottimale per una schiera uniforme. Come si pu`o decidere qual `e? Data una schiera a N elementi (dove N `e, come gi`a detto, il numero di zeri pi`u 1):

La schiera uniforme con spaziatura ottimale `e quella che non fa entrare i grating lobes nel campo del visibile. Come noto, il campo del visibile (intervallo in cui ψ pu`o variare) `e:

Φ − kd < ψ < Φ + kd

Partendo da Φ, il massimo segmento kd accettabile `e quello per cui non si tocca (n`e a sinistra n`e a destra) un grating lobe; non si avr`a simmetria ovviamente, ma si deve scegliere il caso pi`u vincolante. Come si pu`o deter-minare kd_max ? Beh: la posizione dell’ultimo zero prima del grating lobe, meno Φ. Sapendo che gli zeri sono equispaziati di ^2π_N, l’ultimo zero prima del grating lobe, partendo da 0, ha ascissa −^{2π(N −1)}_N : `e il (N − 1)-esimo zero, ossia l’ultimo accettabile. Questo, meno il modulo di Φ:

kd_max= 2π^{N − 1} N − |Φ|

Lavoriamo su questa espressione: se si ha una schiera lineare, vuol dire che si ha un angolo di puntamento ϑ_max che segue questa equazione:

ϑ_max= arccos 

−^Φ kd



invertendo questa equazione:

|Φ| = kd abscos ϑ_max

questo `e il valore del modulo dello sfasamento. Di solito, invece di riferire a ϑ (angolo rispetto alla direzione assiale), lo si fa rispetto a ϑ_S, relativo alla direzione normale (chiamato ϑ⁰_max in precedenza). In questo caso:

sostituiamo a questo punto; d = d_max, ovviamente, dunque: kd_max= 2π^{N − 1} N − kd_max|sin ϑ_S| dunque kd_max= ^2π N −1 N 1 + |sin ϑ_S| semplificando, dal momento che k = ^2π_λ:

2πd λ ⁼ 2π^{N −1}_N 1 + |sin ϑ_S| quindi d_max λ ⁼ N − 1 N 1 1 + |sin ϑS|

Questa `e la distanza ottimale degli elementi, al variare dell’angolo di scansione. Per una schiera broadside, dove ϑ_S = 0, si ha

d_{max,broadside}

λ ⁼

N − 1 N

ora: se questa d_max aumenta di poco, pazienza: si fa entrare nel visibile un pochino del grating lobe, sperando che sia poco. Se d/λ aumenta molto, `

e un disastro. Se si hanno tanti radiatori (10, 20), si ha: N − 1

N ∼ 1 dunque d ∼ λ, se si hanno molti radiatori.

Per una schiera di tipo endfire, dunque che irradia longitudinalmente: d_max,endfire

λ ⁼

N − 1 2N

questo, dal momento che ϑ_S = 90^◦, dunque il seno vale 1. In questo caso, la distanza tra gli elementi dovr`a essere molto minore: anche minore di λ/2 ! Altrimenti, si rischia di avere a che fare con grating lobes. Data per esempio una endfire di 8 elementi:

d_max= λ ⁷