2.2 Antenne a tromba
2.2.4 Tromba corrugata
La tromba bimodale `e stata proposta in America, da Potter negli anni ’60; in Europa negli anni ’70 `e stata elaborata una cosa molto diversa, al fine di risolvere i problemi delle trombe rettangolari/circolari: la tromba corrugata. Si tratta di un’antenna molto complicata sia da analizzare sia da realizzare, dal momento che basata sulla seguente idea:
La superficie ha dei solchi azimutali, la cui profondit`a `e variabile. I sol-chi dovranno essere per ipotesi di larghezza piccola rispetto alla lunghezza d’onda: se ho 30 GHz di frequenza (per esempio), avr`o 1 cm di λ; i solchi dovranno essere dell’ordine di 0,1 mm (per esempio: non son numeri precisi). Il motivo per cui si usa una caratteristica di questo tipo deriva dalle condizioni al contorno: questa tromba `e metallica, dunque la condizione al contorno deriva dal fatto che il campo elettrico tangenziale `e nullo. Il problema `e che imporre una condizione al contorno del genere su un contorno seghettato `e estremamente complicato: sarebbe bello trovare delle condizioni al contorno globali, macroscopiche, su una superficie di questo tipo: tra zona corrugata considerata come una singola zona, e l’aria (essendo i solchi piccoli si ha un’interazione molto elevata).
Si pu`o vedere che in una situazione di questo genere non `e possibile otte-nere modi puramente TE o puramente TM: per essi esiste solo la soluzione identicamente nulla, dunque la soluzione banale: in una struttura del genere esistono i modi ibridi, ossia modi con una parte TE e una parte TM: questi due tipi di modi si mescolano tra loro, con una certa costante γ che ne indica il rapporto; particolarit`a `e il fatto che i due tipi di modi, in questo caso, hanno la stessa velocit`a di propagazione. Un caso molto importante `e quello del cosiddetto “modo ibrido bilanciato”, come vedremo.
Condizioni al contorno
Come detto tutta l’analisi e il progetto che si desidererebbe fare di questo tipo di antenna `e fondato su un tipo di condizioni al contorno, macroscopiche, basate dunque su di un modello tendenzialmente semplificato. L’idea `e quella di considerare dunque un modello di questo genere:
Si considera una struttura di questo tipo, dove t `e lo spessore di un den-te, h la sua altezza dalla fine della superficie esclusivamente metallica, g la distanza tra due denti. Per questo tipo di problema si usa un sistema di coor-dinate (r, ϑ, ϕ), di coorcoor-dinate in realt`a cartesiane ma che vengono utilizzate con questa nomenclatura per abitudine. L’ipotesi di base per questo tipo di analisi `e:
( t g g λ
ossia, dente pi`u piccolo del solco, solco pi`u piccolo della lunghezza d’onda. Il campo parallelo al solco, Eϕ, `e certamente nullo: si ha infatti sostan-zialmente a che fare, per le ipotesi appena proposte, una guida d’onda sotto taglio, dal momento che per avere una guida propagante un campo elettroma-gnetico si deve avere che la sua dimensione a sia maggiore di λ/2 (all’incirca); in questo caso `e sostanzialmente impossibile avere propagazione del campo in questa direzione; questo, per quanto riguarda l’interno della guida; essendo il materiale che compone la guida metallo, per le condizioni al contorno anche qui, su questo asse, la componente di campo sar`a nulla.
Per quanto riguarda la componente perpendicolare alla parete, quella lun-go r, si ha che non si hanno pareti laterali, dunque il campo elettromagnetico si propaga come in una guida la cui larghezza `e infinita (essendo il “pettine” molto largo); questo solco ha poi profondit`a h, il che equivale avere, sull’asse z della linea di trasmissione equivalente della guida, un corto circuito; suppo-nendo che sia tutto in aria, si ha un’impedenza caratteristica della medesima pari a Z0, dunque `e possibile fare il seguente ragionamento: dal momento che si ha propagazione come secondo una guida a parete trasversale illimi-tata, si ha un modello sostanzialmente simile a quello delle onde piane, per il quale dunque vale la relazione di impedenza tra campo elettrico e campo magnetico:
Er = ZTHϕ
questa ZT `e coincidente, in ambito di linee modali equivalenti, all’impe-denza vista per z = h a partire dal punto considerato, ossia dalla discon-tinuit`a tra fine dei denti e pura aria. Ci`o che si ha `e una linea modale equivalente chiusa, per z = 0, su di un corto circuito. La formula che per-mette di ottenere l’impedenza vista ai capi della linea equivalente, la quale va a coincidere con la relazione tra campo elettrico perpendicolare e Hϕ, `e:
dove k = k0.
Si potrebbe dimostrare che con queste condizioni al contorno il campo in questione `e nullo. Questo deriva da una serie di annullamenti a catena derivanti.
Parentesi matematica
Quanto appena detto si dovrebbe dimostrare prendendo l’equazione di Hel-mholtz e risolvendola dopo averla convertita in coordinate sferiche, dal mo-mento che si ha a che fare con una guida fondamentalmente conica, la quale si rappresenta discretamente bene in coordinate sferiche (ϑ = costante). Come si pu`o vedere, ∇2si trasforma in un operatore diverso, e le funzioni che conse-guono dal passaggio di coordinate sono per la coordinata azimutale ϕ ancora una volta seni e coseni, ma per le coordinate r e soprattutto ϑ qualcosa di nuovo: in ϑ si avranno delle equazioni di Legendre, alle quali sono associate, come soluzioni, le cosiddette “funzioni associate di Legendre”, indicate come Pν
n(cos ϑ). In r, invece, si trova l’equazione sferica di Bessel, la quale `e in qualche modo simile all’equazione di Bessel, e d`a in uscita le funzioni sferiche di Bessel, di solito indicate come jν(k%): si tratta sostanzialmente di funzioni di Bessel ordinarie di ordine semi-intero.
Dall’analisi dei modi TE si pu`o vedere che si trovano delle funzioni H, dette “funzioni di Hankel”: queste sono combinazioni lineari delle soluzioni dell’equazione di Bessel Jn, gi`a nota, e Yn(x), detta “funzione di Neumann” o “funzione di Bessel di secondo tipo”. Il motivo per cui normalmente non appare Yn `e il fatto che essa, per x → 0, tende a ∞, e dunque non pu`o essere soluzione di un problema in cui si ha anche l’origine nel problema (quale per esempio una guida circolare; nel caso di un coassiale, invece, per i modi surmodati si potrebbe avere anche essa). Si ha:
Hn(1,2)(x) = Jn(x) ± jYn(x) dove j `e ovviamente l’unit`a immaginaria.
Il motivo per cui si sta parlando di ci`o pu`o essere interessante dal mo-mento che le funzioni di Hankel hanno un significato fisico molto importante, molto pi`u di quello delle funzioni di Bessel: esse infatti, asintoticamente, si comportano come delle onde cilindriche; quando le funzioni di Hankel deriva-no invece dalle funzioni sferiche di Bessel, si comportaderiva-no come onde sferiche; oltre ad avere ci`o, si ha qualcosa di altrettanto interessante: la funzione di primo tipo di Hankel `e un’onda progressiva, quella di secondo tipo regressiva. Dal momento che tutto ci`o deriva da equazioni differenziali, e che per esse vale il teorema di esistenza e di unicit`a, se tutto `e identicamente nullo sul contorno, la soluzione `e identicamente nulla; quello che possiamo fare dunque
`
e sommare i modi TE e TM con pesi arbitrari, ottenendo componenti Eϑ e Eϕ funzioni sia di modi TE, sia di modi TM. γ `e il suddetto coefficiente di mescolamento.
Nel caso in cui γ = 1, si ha il cosiddetto modo ibrido bilanciato, che `e una situazione particolarmente interessante sotto il nostro punto di vista dal momento che, se γ = 1, le due parentesi quadre diventano identiche, dunque la dipendenza da ϑ `e la stessa per le due componenti, e Eϑ e Eϕ son uguali a meno del fattore dei seni: si ha una perfetta simmetria, a livello teorico, della descrizione del campo sull’apertura. Ci`o generer`a il fatto che l’integrale verr`a fatto solo in % e non in ϕ0, come detto in precedenza, e dunque si ha diagramma di irradiazione simmetrico.
Per avere un modo ibrido bilanciato, la condizione che si ha `e quella per cui l’espressione di jZ0tan kh ha il denominatore che va a 0, dunque le quadre a infinito, e tutti i termini cooperano a rendere simmetrica sull’apertura il campo. Questo si ha, quando h = λ/4: semplicemente, regolando dunque la profondit`a del solco in questa maniera.
Questa antenna presenta diversi vantaggi: permette di avere un’ottima simmetria, dunque `e ottimo quando servono buone prestazioni e bassa pola-rizzazione incrociata; inoltre, anche aumentando l’errore di fase, il compor-tamento resta regolare: il guadagno si abbassa, dal momento che il fascio si allarga, ma i lobi secondari tendono a rimanere bassi. Un altro vantaggio di questo genere di antenne `e il fatto che essa `e a larga banda, ossia ha una banda circa del 50%; questa cosa potrebbe sembrare strana, dal momento che in realt`a si ha un solco che deve essere λ/4.
Vediamo questa cosa, in concomitanza con alcune note sulla realizzazione pratica di questo tipo di antenna. Prima di tutto, `e necessario ricordare quale sia l’andamento della ZT al variare dell’angolo considerato, ossia di h: dire che si ha variazione con kh significa che si varia sia con h, sia con la frequenza f ; bisogna dunque identificare quale sia la zona ottima sotto il punto di vista del comportamento dell’antenna.
Come noto, la tangente ha un andamento di questo tipo. Avere una guida corrugata significa introdurre tendenzialmente una discontinuit`a, dal momento che si ha prima una normale guida d’onda, poi la parte corrugata che, secondo il modello “macroscopico” da noi inserito, ha un comportamento ben diverso. L’idea potrebbe essere quella di adattare le due sezioni, intro-ducendo una transizione pi`u graduale. L’idea potrebbe dunque essere quella, a intuito, di introdurre prima solchi pi`u corti, per poi terminarli in quelli da λ/4; questa `e una pessima idea, dal momento che in realt`a solchi pi`u corti hanno un comportamento di tipo induttivo. Quando si ha a che fare con un comportamento di tipo induttivo, si ha che il campo tende ad addensarsi ai bordi, cosa non molto felice, dal momento che di solito per avere tapering
si vuole un campo basso ai bordi; per questo, sarebbe pi`u utile avere una superficie di tipo capacitivo. Ci`o che si deve fare per avere effettivamente una condizione non tanto di ibrido bilanciato (se non per la frequenza pi`u fortunata), quanto una di superficie capacitiva (che fa funzionare pi`u o me-no bene l’antenna), al fine di introdurre una corrugazione graduale l’idea contro-intuitiva ma corretta `e quella di fare qualcosa del genere:
Si fa un solco pi`u largo, nella fattispecie di solito fino a λ/2, il quale sicuramente non sar`a induttivo; poi si tende a stringerli, fino ad arrivare al fatidico λ/4. Per allargare la banda `e necessario fare in modo che il solco pi`u lungo sia a λ/2 per la frequenza pi`u alta, in modo che la frequenza possa solo diminuire rispetto al suo valore; se quindi si diminuisce f , fino ad arrivare a λ/4 per la frequenza minima, si ha l’assoluta certezza di rimanere in regione capacitiva.
Con una cosa del genere di sicuro non si riesce ad avere di sicuro una banda di un’ottava: si riesce a fare qualcosa del tipo:
fmax
fmin ∼ 1, 5
ossia, da 7 a 11 GHz, o cose di questa portata.
2.3 Modelli di calcolo approssimato del
cam-po elettromagnetico
L’obiettivo di questa sezione `e quello di introdurre metodi semplificati in grado di permettere la reirradiazione di un oggetto, come potrebbe essere un paraboloide. Verranno introdotti alcuni metodi, primo dei quali sar`a l’ottica geometrica.