Antenna log-periodica

Prima di introdurre il funzionamento dell’antenna log-periodica, antenna con caratteristiche di banda teoricamente infinite, dal momento che deriva da una classe di antenne dette “antenne indipendenti dalla frequenza” (tutto ci`o, ovviamente, nell’idealit`a). Prima di parlare dell’antenna log-periodica, `e necessario dunque un cappello introduttivo su questa classe di antenne.

Principio di Babinet - antenne indipendenti dalla frequenza

Bisogna a questo punto introdurre una serie di concetti al fine di studiare l’irradiazione da una struttura di questo tipo:

Babinet studi`o l’effetto di irradiazione da parte di una certa struttu-ra, e della sua struttura complementare. Dato un piano metallico e la sua apertura, come irradia essa? Beh, si pu`o utilizzare il metodo delle aperture:

E = ¹ 2λR

Z

E_aperturae^{jkr0· ˆR}dS

La struttura complementare a questa `e quella che si ottiene, partendo dalla struttura appena presentata, scambiando i “vuoti” con i “pieni”: una semplice piastra metallica. In questo caso si hanno correnti su questa piastra, dunque, illuminando questa piastra con un’onda elettromagnetica, su questa si inducono delle correnti; se l’onda `e piana e uniforme, con il metodo dell’ot-tica fisica si pu`o dire che la distribuzione delle correnti `e anch’essa uniforme; il campo irradiato sar`a dunque:

E = ^Z0 2λR

Z

J_Se^{jkr0· ˆR}dS

e in questo caso J_S`e approssimativamente costante, il contorno `e lo stesso, dunque i due diagrammi di irradiazione sono sostanzialmente uguali. Cam-biano delle costanti (in uno c’`e uno Z₀ e nell’altro no), ma, ricordando che J_S = 2ˆn × H , ricordando che H ∝ _Z¹₀E , si ha semplificazione. Le irradiazioni da un’apertura e dalla sua complementare sono uguali.

Definito il concetto di antenna complementare, si pu`o definire quello di antenna autocomplementare, ossia di antenna complementare a s`e stessa; un esempio di antenne di questo tipo `e il seguente:

In questo caso si ha che la complementare di un’antenna `e ancora la stessa antenna, semplicemente ruotata di 90^◦.

Questo concetto si pu`o generalizzare: esiste un corollario del principio di Babinet tale per cui:

Z_antennaZ_{complementare}= Z₀ 2

2

dove Z₀ = (120π)Ω

Se per`o l’antenna `e autocomplementare, le due impedenze di antenne so-no uguali, dunque si ha che l’impedenza dell’antenna per questo caso `e una costante, a qualsiasi frequenza; il fatto che l’impedenza di antenna sia co-stante, implica che anche la corrente di ingresso deve essere coco-stante, dunque anche l’irradiazione, e questo per ogni valore di frequenza.

Tutto ci`o `e vero, ma ideale: purtroppo le antenne autocomplementari non si riescono a fare, dal momento che si dovrebbe avere a che fare con dimensioni dell’antenna infinita, e ci`o ovviamente non `e realizzabile; inoltre, l’alimenta-zione dovrebbe essere infinitesimamante piccola: nel punto di alimental’alimenta-zione l’antenna deve continuare a essere autocomplementare, dunque si avrebbe questo tipo di problema, di asimmetria introdotta dall’alimentazione.

Un’antenna a banda larga potrebbe per esempio essere un triangolo: In questo caso si avrebbe un’antenna a banda molto larga: `e come avere un’antenna biconica “schiacciata”. `E un’antenna planare, con prestazioni di buona larghezza di banda, dunque che si pu`o utilizzare con segnali a larga banda.

Antenna log-periodica

L’antenna log-periodica (LPDA: Log-Periodic Dipole Array) `e sostanzial-mente costituita da una sequenza di dipoli, disposti secondo una successione di dipoli ciascuno alimentato (dunque una schiera vera e propria). Sembra fisicamente molto simile alla Yagi-Uda, ma in realt`a sono concettualmente estremamente diverse. In questo caso si ha qualcosa del tipo:

L’alimentazione si ha tramite una linea bifilare che distribuisce la potenza ai vari elementi: in questo caso si ha un accoppiamento di tipo conduttivo, mediante una linea di trasmissione, non dunque puramente elettromagnetico. In questo caso dunque il sostegno `e parte della linea bifilare. Analizziamo il nome “log-periodica”: si ha una periodicit`a di tipo logaritmico, sia in ampiez-za sia in disposizione spaziale. L’alimentazione proviene da un cavo coassiale che entra in uno dei due conduttori della bifilare, percorre tutto l’interno, poi esce “dal davanti”; l’anima va dall’altro braccio di quel conduttore e la calza resta su quello: in questo modo si generano punto caldo e punto freddo. `E

un po’ come avere un generatore all’inizio di una linea di trasmissione. Ogni distanza di un periodo `e uguale all’altra distanza dell’altro periodo, secon-do un rapporto costante: periodicit`a dei rapporti. Ogni periodo `e non pi`u uguale a quello adiacente ma simile, mediante un periodo costante. In altre parole, la struttura riduce le proprie dimensioni fino ad averle infinitesime:

d_n= d_n+1τ

dove τ `e il rapporto di periodicit`a che si stava dicendo, d la dimensione del periodo.

Se la struttura log-periodica `e infinita, man mano riduce le proprie dimen-sioni fino a farle arrivare infinitesime, allora a qualunque frequenza si lavori i rapporti tra la lunghezza d’onda e le dimensioni della struttura rimangono gli stessi; non `e che sia esattamente cos`ı ma, date delle dimensioni, ciascuna cella ha le dimensioni di quella adiacente scalate per τ ; a una certa f<sub>0</sub> il rap-porto tra la lunghezza d’onda e le dimensioni complessive dei pezzetti della struttura abbia certi valori; se invece di f<sub>0</sub> si usa la frequenza τ f<sub>0</sub>, λ = λ<sub>0</sub>/τ , e se si calcolano i rapporti tra le distanze di questa struttura e la nostra lunghezza d’onda, si ritrover`a che i rapporti sono ancora gli stessi, salvo il fatto che si riferiscono non pi`u alle celle che si stavano considerando prima, ma a quelle adiacenti, dunque la struttura in termini di lunghezza d’onda `e ancora la stessa, ma scalata di una certa cella. In altre parole, a intervalli di frequenza fissi, dati da τ , la struttura mantiene costanti le dimensioni in termini di lunghezza d’onda. A τ f₀, τ2f₀ e cos`ı via, il comportamento si mantiene.

Pi`u alla buona: se noi abbiamo una sequenza di radiatori di diversa lun-ghezza, ciascuno dei quali risuona a una diversa frequenza, il primo elemento (si noti che anche in questo caso l si riferisce alla lunghezza di met`a di cia-scun dipolo) risuoner`a a una frequenza bassa, il secondo pi`u alta, e cos`ı via: ciascun elemento avr`a una certa risonanza. Ciascun dipolo pu`o essere proget-tato per avere una certa larghezza di banda di risonanza. Quello che si pu`o dire `e che, di tutti gli elementi presenti, vi saranno uno, due o tre elementi prossimi alla risonanza, e che quindi irradiano.

Come si pu`o determinare la banda di frequenza di queste antenne? Beh, abbiamo che:

• fmin `e la frequenza tale per cui, numerando con 1 l’elemento pi`u lungo: l₁ = ^λmax

4

l₁ = ^λmax 4 ⁼

c 4f_min

• dato l’n-esimo elemento, l’ultimo, si potrebbe dire che:

f_max= ^c 4l_n

Questa seconda osservazione in realt`a `e grossolana: gli elementi pi`u cor-ti in realt`a non possono essere semplicemente calcolati in questo modo, dal momento che alla frequenze pi`u elevate, dal momento che il punto di alimen-tazione si trova proprio dove sono gli elementi pi`u corti, la discontinuit`a tra coassiale e bifilare fa s`ı che la topografia nei primi elementi non sia quella che dovrebbe essere. Servirebbero dunque elementi aggiuntivi, in maniera tale che la distribuzione di corrente sia esattamente (o quasi) quella sinusoidale che noi vogliamo.

Per l’elemento pi`u corto, dunque per quello relativo a f<sub>max</sub>, vanno aggiunti in realt`a alcuni elementi extra, e ci`o si fa moltiplicando per il fattore di banda attiva B l’ultimo elemento:

l₁ = ^c

4f_min^{, ... , ln=} c 4f_maxB

dove B ∼ 1, 5, ma dipende: lo si pu`o determinare mediante dei grafici. Per la log-periodica, la regola generale di progetto `e:

li

l_i−1 ^{= τ}

Stessa cosa si fa per anche le distanze: come detto prima, tutte le dimen-sioni devono essere scalate del fattore τ ;

d_i d_i−1 ^{= τ}

ossia, si ha una fila di elementi sempre pi`u corti e sempre pi`u vicini tra loro.

Un’antenna log-periodica `e dunque caratterizzabile da due parametri: il rapporto τ , e α; ossia il semiangolo che si ha tra le rette che uniscono i vari elementi (semiangolo di apertura). Si pu`o per esempio determinare una mappa al variare di τ e α che rappresenti una di queste possibili strutture.

Usando tutte le formule presentate si riesce a ottenere una antenna che funziona in maniera corretta, ossia che `e adattata nella banda da fmin a fmax,

avendo un’impedenza di ingresso costante, e un diagramma di irradiazione dunque quasi invariato nell’intera banda.

Dopo studi, sono emersi dei grafici di progetto, funzione anche di un terzo parametro, σ, detto “spaziatura relativa”, ottenuto come combinazione degli altri:

σ = ¹

4^{(1 − τ )cotg(α)}

si noti che 4l_n `e di fatto la distanza riferita alla lunghezza d’onda di risonanza del nesimo dipolo.

Alcune note sull’alimentazione: l’alimentazione arriva verso gli elementi pi`u corti, e soprattutto l’alimentazione degli elementi successivi `e “scambia-ta” ogni volta:

si inverte di segno ogni volta la polarit`a dell’elemento adiacente. Ci`o si realizza mettendo un dipolo alimentato con il filo “sopra”, una “sotto”, e cos`ı via invertendo ogni volta: in questa maniera si realizza in pratica questa inversione. Questa cosa si deve fare perch`e se si considera questa struttu-ra come derivata da un’antenna indipendente dalla frequenza, autocomple-mentare, viene naturale l’inversione che si sta dicendo; calcolando inoltre le correnti sui singoli elementi e le fasi del campo irradiato, si pu`o vedere che, grazie a questa inversione di alimentazione, l’irradiazione `e sempre “verso destra”. Questa antenna `e dunque moderatamente direttiva (10 dB), e va “verso l’alimentazione”. La direttivit`a `e bassa perch`e, ogni volta, solo 2-3 elementi lavorano assieme, un po’ come una schiera di 2-3 elementi, dunque il guadagno `e relativamente basso.

Il guadagno cresce con il parametro τ , decresce con α.