Bloccaggio

Come detto, per illuminare l’antenna `e necessario avere un illuminatore; que-sto tuttavia, dopo aver illuminato l’antenna, sar`a colpito dai raggi riflessi da questa, ma dunque questi verranno “bloccati” dall’illuminatore, che non li lascer`a per l’appunto propagarsi nello spazio libero assieme agli altri.

Esistono due categorie di bloccaggio:

• bloccaggio centrale, ossia quello dovuto all’illuminatore; • bloccaggio dovuto ai supporti che sostengono l’illuminatore.

Sembra sciocco ma, a tutti gli effetti, l’illuminatore, essendo anch’esso un’antenna, richiede dei supporti; anche essi tuttavia avranno dimensioni fisiche non nulle, dunque anche essi agiranno come dei diffrangenti. Essi hanno per`o effetti diversi tra loro: il bloccaggio centrale `e dovuto a un blocco tutto sommato compatto; quello dei supporti invece `e dovuto a elementi lunghi e stretti, che dunque daranno luogo a un effetto diverso sia nelle modalit`a sia nella quantit`a.

Bloccaggio centrale

Analizziamo a questo punto il primo di questi due fenomeni. Un metodo per analizzarlo, `e basato semplicemente sul metodo delle aperture; dato un paraboloide, si ha un qualcosa di questo genere:

Si avrebbe una distribuzione dell’illuminazione di questo tipo, non unifor-me, dal momento che l’illuminatore potrebbe per esempio essere una tromba circolare di diametro d, mentre l’apertura un paraboloide di raggio D. Per un raggio maggiore di d/2, non si hanno problemi; se il raggio `e invece minore di d/2, i raggi riflessi vengono diffratti dall’illuminatore. Questo significa che si avr`a un campo nullo, un buco.

Il campo dell’apertura sar`a esprimibile in questa maniera:

E_a = E_a0− E_ab

dove E₀`e la distribuzione di campo che si avrebbe senza l’elemento bloc-cante, E<sub>b</sub> il campo di bloccaggio. Proviamo a ragionare per ora qualitativa-mente, quindi solo in seguito effettuare calcoli pi`u quantitativi. Si dovr`a fare la trasformata di Fourier dei due termini, ottenendo (in funzione di ϑ):

E (ϑ) = E₀(ϑ) − E_b

Senza bloccaggio, il diagramma di irradiazione ha la solita forma; suppo-nendo di non avere errore di fase, si ha irradiazione a segni alterni, ossia a intervalli alterni si cambia il segno. Il campo di bloccaggio, come si pu`o di-mostrare, `e un campo quasi uniforme, dal momento che `e limitato a un’area molto piccola; questo pu`o essere pensato come una sorta di “campo irradiato da una tromba molto piccola”: il campo sar`a caratterizzato da un lobo prin-cipale a guadagno basso e molto largo, che si va a sottrarre al campo E<sub>0</sub>. Il risultato qualitativamente sar`a il seguente:

E₀ a segni alterni subisce una sottrazione e un’addizione, dal momento che E_bsostanzialmente, essendo molto largo, per un bel po’ di lobi ha sempre lo stesso segno, dunque, dal momento che `e un campo che si sottrae dall’altro, nel lobo principale e in tutti i lobi secondari pari si sottrae, in tutti i lobi secondari dispari si aggiunge, ottenendo qualcosa di questo genere:

Per angoli grandi, poi, dal momento che i lobi secondari tendono ad abbas-sarsi con una certa rapidit`a rispetto al variare di ϑ, tendenzialmente potrebbe rimanere anche solo pi`u il campo di bloccaggio, che diviene quello prevalente. Addirittura si potrebbe avere una riduzione tale da non poter pi`u far contare i lobi secondari, facendoli “perdere”.

Proviamo a questo punto a quantificare questo discorso: stiamo suppo-nendo di avere a che fare con una tromba circolare come illuminatore; dob-biamo calcolare la perdita di guadagno. Come noto, nelle trombe circolari, il campo va studiato effettuando la trasformata di Fourier-Bessel (FBT), dunque:

E = −^j2π 2λR^e .jkR Z a 0 E_aJ₀(ur)rdr dove a = ^D₂. Integrando: = jkE₀^e jkR R ^e −2jkf D 2 2 J1(u) u

Per quanto riguarda il campo di bloccaggio, si deve fare un ragionamento simile: il campo che risente dell’effetto del bloccaggio sar`a semplicemen-te il campo di prima, in cui l’insemplicemen-tegrale si fa a partire dalla fine del blocco diffrangente: E = −^j2π 2λR^e .jkR Z ^D₂ d 2 E_aJ₀(ur)rdr

si pu`o a questo punto effettuare un cambio di variabili; dato

β , ^d D si ottiene: E = −^j2π 2λR^e −jkR Z β 0 J₀(ur)rdr dunque, posso definire r⁰ come:

r⁰ , ^r β in modo che:

r = βr⁰ dr = βdr⁰ In questo modo l’integrale diventa:

β² Z 1

0

J₀(βur⁰)r⁰dr⁰

questo `e esattamente uguale a quello di prima, con per`o il β: `e la trasfor-mata Fourier-Bessel della funzione; si ottiene:

β^2J1(βu) βu

E = E₀ − E_b= jkE₀^e −jkR R ^e −j2kf  D 2 2" J₁(u) u −^{ d} D 2 J₁(βu) βu #

dove β `e detto “rapporto di bloccaggio”, e, normalmente, β  1; questo significa che il primo termine `e quello gi`a noto, e il secondo `e un termine molto simile in cui per`o si ha una funzione di ampiezza molto ridotta (di un fattore β), e allo stesso tempo riscalata sulle ascisse, nel senso di “allungata”, “espansa”.

Si pu`o vedere che:

E (0)

E₀(0) ^{= 1 − β}

2

ossia, il campo totale diviso il campo non bloccato. A questo punto `e possibile valutare la variazione del guadagno, come:

∆G = 20 log₁₀(1 − β²) usando l’espansione di Taylor al primo ordine:

∼ 10 log(e)β2 ∼ −8, 68β2

Questo vale nel caso si consideri come modello l’illuminazione uniforme. Cosa si pu`o dire per la “realt`a”, ossia nel caso l’illuminazione fosse non unifor-me? Nella realt`a l’andamento sar`a taperato, dunque si ha che il bloccaggio agisce comunque nella zona centrale, dove il campo `e tendenzialmente co-stante; le cose peggiorano, dal momento che il campo sull’asse `e pi`u largo e ridotto, dunque, se vado a sommare il −8, 68 a una cosa pi`u piccola, ho perdite ulteriori: ∆G = 10 log₁₀ G(0) G₀(0)  dove G0 = G00ν

e G₀₀ indica il guadagno che si ha nell’illuminazione uniforme. Quello che capita in questo caso `e che si ha un peggioramento circa di fattore 2 in dB, dunque:

Questo deriva dal fatto che nel caso non taperato il guadagno `e circa volte al doppio del guadagno che si ha nel caso taperato. Volendo fare dei conti, si pu`o vedere che 17 `e un numero grande, ma β `e comunque molto piccolo: se β = 0, 1, si ha comunque una riduzione di 100 volte rispetto a 17, dunque si arriva a circa 0, 17 dB, che son pochi. Si considera ancora tollerabile un fattore di bloccaggio β fino a 0,1 dB; questo non toglie che, se si pu`o fare di meglio, `e tutto guadagnato.

Sul primo lobo secondario, l’effetto del bloccaggio pu`o essere piuttosto importante: di per s`e il campo di bloccaggio, che siamo sull’asse o sul primo lobo secondario, `e la stessa cosa, tuttavia per il fatto che il lobo `e secondario, esso sar`a molto pi`u basso del lobo principale, dunque il campo di bloccag-gio avr`a un valore molto simile ad esso. Detto s il livello del primo lobo secondario, il livello del primo lobo secondario L<sub>1</sub> sar`a una cosa del tipo:

L₁ = sE₀+ E_b

Sappiamo che E₀ `e il primo termine della parentesi quadra, e che E<sub>b</sub> `e E₀β2; dunque: L₁ = sE₀+ β²E₀ dunque, rispetto a E0, ∆L₁ = ^{L1,con bloccaggio} L_{1,senza bloccaggio} ⁼ E₀(s + β2) E₀s ⁼ s + β2 s ^{= 1 +} β2 s In decibel: = 8, 68^β 2 s

dove ∆L₁ `e il rapporto in decibel, s il rapporto in lineare dei lobi secon-dari. Si noti che questa formula ha al denominatore s; questo significa che tanto minore sar`a s, ossia tanto pi`u attenuati saranno i lobi secondari, tanto peggio sar`a alla fine ∆L. ∆L₁ rappresenta infatti l’incremento che si ha, per i lobi secondari, a causa del bloccaggio centrale; tanto minori sono i lobi secondari, tanto maggiore sar`a la loro crescita. Se poi l’illuminazione non `e uniforme, il risultato finale, in dB, va ancora moltiplicato per 2.

Un’osservazione: finora noi abbiamo supposto dia vere a che fare con illuminatori realizzati mediante aperture circolari; cosa si fa, nel caso in cui l’apertura sia rettangolare? In questo caso, che calcoli si devono fare, per valutare la riduzione del guadagno? Sull’asse, contano semplicemente le aree: il termine (1 − β²) viene fuori semplicemente da calcoli fatti sulle aree; il fatto che le aree che irradiano sono in rapporto β2, porta a questa cosa. Dal

momento che da una tromba rettangolare a una tromba circolare gli errori di fase non cambiano molto, ci`o che si potr`a fare `e uno studio equivalente, per cui: d 2 ⁼ r ab π

Questo, per quanto concerne la direzione assiale. Una tromba rettango-lare di dimensione a × b dunque irradia, secondo questa formula, come una tromba circolare la cui d `e quella della formula appena scritta.

Bloccaggio dei supporti

In questo caso la situazione `e pi`u complessa: prima, per quanto riguarda il bloccaggio centrale, abbiamo semplicemente considerato il fatto che, dove c’`e l’illuminatore, si ha una zona d’ombra, come si pu`o vedere applicando l’ottica geometrica (questa `e l’ipotesi “di campo nullo”). Se l’illuminatore `

e di una λ, `e gi`a abbastanza grande, ma va ancora bene. Quasi nessuno utilizza la diffrazione esatta, per quanto comunque utilizzando dei simulatori sarebbe possibile, prendendo una tromba, illuminandola quindi con un’onda piana, ma `e una cosa non molto interessante, essendo comunque la tromba un ostacolo piuttosto piccolo.

Per quanto riguarda i supporti, invece, essi ragionevolmente non hanno un diametro molto grande, a meno che l’antenna non sia veramente enorme (come le antenne da 70 metri dei radiotelescopi), dunque normalmente lo spessore dovrebbe essere inferiore a λ.

Per quanto riguarda i supporti, si potrebbe per esempio avere due situa-zioni di questo genere:

Che cosa fanno queste quattro strisce? Sostanzialmente, quello che si trova `e una zona d’ombra molto pi`u estesa di quella del semplice illuminatore: anche i supporti comportano la presenza di una zona d’ombra. Al fine di fare i conti, si dovr`a di nuovo calcolare l’irradiazione di un’apertura, in questo caso rettangolare, con la forma data dalla proiezione su di un piano (il piano dell’onda piana) di questi supporti. Si avr`a dunque un’apertura di dimensioni w, dove w `e lo spessore dei supporti, e di altezza (D − d)/2. Come irradia una cosa del genere? `E noto che un’apertura di questo genere irradia come:

F (ϑ, ϕ) = ^sin πw λ sin ϑ cos ϕ
πw λ sin ϑ cos ϕ sin^π D−d 2 λ sin ϑ sin ϕ^ πD−d 2 λ sin ϑ sin ϕ

Si possono fare semplici osservazioni qualitative: dal momento che w `e piccolo, il lobo ad esso associato sar`a sicuramente largo; posso dunque predire

che sul piano orizzontale di questa apertura si avr`a un fascio largo, mentre su quello verticale un fascio pi`u stretto. Come gi`a fatto precedentemente `e possibile identificare le curve di livello per questa apertura, vedendo che si ha qualcosa di questo genere:

Dunque, gli zeri della funzione del piano orizzontale sono larghi, gli altri stretti. L’altra funzione avr`a D/2 come lunghezza, dunque i lobi saranno sostanzialmente larghi il doppio di quelli di un’apertura di lunghezza D, ossia come quelli dell’antenna.

Quello che si pu`o dire `e che ciascun supporto genera un campo prevalen-temente concentrato nel piano ortogonale al supporto; volendo, quello che si pu`o fare `e dunque qualcosa di questo genere:

Se si fa in questo modo, si fa in modo da ridurre l’interferenza sui piani principali del paraboloide.

Si osservi un fatto: mentre il bloccaggio centrale d`a, come visto preceden-temente, un contributo abbastanza uniforme nel diagramma di irradiazione, questo `e solo sui piani in cui si hanno; per questo motivo conviene fare una cosa come quella mostrata, in modo da ridurne il contributo.

Per fare un conto “spannometrico”, si pu`o vedere che, data un’antenna con diametro pari a 1 metro, 0,5 centimetri per la larghezza del supporto, si ha:

2 × 0, 5cm × 100cm = 50cm²× 2 = 1m²

il centrale `e solo πR2, dunque 12 cm2: nonostante siano sottili, data la loro lunghezza, il loro contributo `e estremamente importante.