ANALISI BAYESIANA

2.1 breve introduzione e definizioni

La classica regola di Bayes, che enunciò la sua teoria nel 1763, viene illustrata come segue:

indicando con θquantità non osservabili o i parametri di interesse della popolazione, con y i dati osservati, con p(.) una distribuzione marginale e con p(.|.) una distribuzione condiziona-ta, definendo p(θ) distribuzione a priori, p(y|θ) distribuzione del campione (o verosimiglian-za) e p(θ|y) distribuzione a posteriori, abbiamo che:

p(θ|y) = p(θ) p(y|θ) / p(y)

dove p(y) = ∫ p(θ) p(θ|y) dθper θcontinuo.

Poiché p(y) non è funzione di θ, l’equazione può essere riscritta, mantenendo y costante, nella seguente forma:

p(θ|y) ∝p(θ) p(y|θ),

anche detta distribuzione posteriore non normalizzata. Le tecniche di inferenza bayesiana hanno avuto recente sviluppo, e ne esistono numerose tipologie. In questo studio viene pre-sentata un’applicazione con utilizzo di distribuzioni coniugate, dove la priori ha la stessa forma funzionale in θdella verosimiglianza, e conseguentemente anche la posteriori ha la stessa dis-tribuzione della priori. Gelman et al. (2004) Illustrano un metodo (qui abbreviato, altrove anche detto “metodo della doppia precisione”) per stimare la media di una distribuzione nor-male con varianza nota, utilizzando distribuzioni coniugate. Si dimostra che

θ| y∼N(µ¹,τ¹²)

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78 con:

µ¹= [(1/τ⁰²)µ⁰+(n/σ²) y] / (1/τ⁰²+n/σ²)

1/τ¹²= 1/τ⁰²+n/σ²

dove µ¹= media della posteriori, µ⁰=media della priori , y =media dei valori osservati, 1/τ¹², 1/τ⁰², e 1/σ²= rispettivamente precisione (inversa della varianza) della posteriori, della priori e dei dati, n = numero di campioni. La formula è anche valida per una singola osservazione sca-lare (nel qual caso la varianza viene ipotizzata). In termini della distribuzione lognormale la formula può essere anche espressa come segue:

GM¹=exp{[lnGM⁰/(lnGSD⁰)²+(n*lnGM)/ (lnGSD)²] / [1/(lnGSD⁰)²+n/(lnGSD)²] } GSD¹= exp{(1/[1/(lnGSD⁰)²+n/ (lnGSD)²])^0.5}

dove GM e GSD indicano rispettivamente la media geometrica e la deviazione geometrica stan-dard, e i pedici 1 = posteriori, 0 = priori, la mancanza di pedice indicante la distribuzione dei dati.

2.2 Metodi e risultati

Come esempio di applicazione pratica torniamo al settore delle piastrelle in ceramica, mansio-ne smaltatori, già discusso mansio-nella parte sul bootstrap. Alla prima indagimansio-ne, avvenuta in un’a-zienda A, ne è seguita una seconda, in un’aun’a-zienda B, con caratteristiche di produzione e ambientali molto simili alla A. La distribuzione lognormale y∼logN(25,18), dove i parametri sono rispettivamente AM e STD dei dati non trasformati, costituisce la nostra migliore cono-scenza iniziale dei dati, ossia la distribuzione a priori. Nell’azienda B i rilievi sono stati diffe-renziati per smaltatori e capoturno della smaltatura, ma non nell’azienda A; pertanto la priori rimarrà la medesima per il gruppo omogeneo costituito dagli operai e per il gruppo “capotur-no del reparto”. Tutti i valori di concentrazione del quarzo respirabile di seguito indicati so“capotur-no in µg m^-3. Durante un primo rilievo nell’azienda B sono stati eseguiti 2 rilievi sugli smaltatori, con risultati di 42 e 55, AM 49 e STD 9 (GM= 48 e GDS=1.2). Applicando le formule illustrate nel precedente paragrafo, la posteriori risulta essere:

θ| y∼N(µ¹,τ¹²), ⇒ θ| y∼ logN(46,6)

con le opportune trasformazioni. Durante un secondo rilievo nell’azienda B sono stati ese-guiti altri 2 rilievi sugli smaltatori, con risultati di 21 e 26, AM 24 e STD 4 (GM= 24 e GDS=1.2). In seguito all’aggiornamento delle nostre conoscenze, la vecchia posteriori divie-ne la nuova priori (con AM 46 e STD 6) e la nuova analisi risulta in una posteriori aggiorna-ta con AM 27 e STD 2. Quesaggiorna-ta è la distribuzione che adotteremo come rappresenaggiorna-tativa del modello, fino ad un eventuale successivo aggiornamento. La graficizzazione delle analisi è riportata in Figura 3.

Per quanto attiene alla figura del capoturno del reparto smaltatura, possiamo raggruppare i due dati misurati nelle due fasi (29 e 41), usando sempre come priori la distribuzione ottenuta nel-l’azienda A; abbiamo pertanto una distribuzione dei dati con AM 35 e STD 8; procedendo analo-gamente al caso del gruppo degli operai, si ottiene una posteriori con AM 34 e STD 6, che costi-tuisce l’attuale conoscenza del modello, fino ad un eventuale ulteriore campionamento; l’analisi è illustrata in Figura 4. Si noti la vicinanza della posteriori con la verosimiglianza (distribuzione dei dati); questo fatto deriva dalla bassa STD della verosimiglianza, che diviene pertanto “forte”

e prevale sulla più dispersa e “debole” priori. Dalle figure è evidente che il gruppo di operai smal-tatori non risulta essere a rischio se l’OEL è preso come 50, viceversa se il valore dell’OEL è pari a 25. Il capoturno smaltatore risulta essere solo marginalmente a rischio con OEL = 50, decisa-mente a rischio con OEL = 25. Il metodo, illustrato per un caso reale di esposizione alle polveri aerodisperse, è applicabile a dati di concentrazione di qualunque altro composto tossico.

Figura 4: Stesso procedimento di figura 3, per il capoturno smaltatura.

Figura 3: Analisi bayesiana con distribuzioni coniugate di tipo lognormale. A sinistra, smaltatori dopo il primo rilievo; la poste-riori è caratterizzata da tratto continuo e picco più pronunciato. A destra, situazione dopo il 2° rilievo; la posteposte-riori si trova sem-pre in posizione intermedia tra priori e dati, con picco più pronunciato. In ascisse, le concentrazioni di SLC sono in µg m^-3.

CONCLUSIONI

È stata illustrata l’applicazione di due tecniche statistiche ad un problema tipo nell’igiene industriale: la decisione sul superamento o meno di determinati livelli limite. Il bootstrap per-mette lo studio dettagliato di alcuni parametri di interesse, quali i percentili, senza approssi-mare la distribuzione lognormale a una normale. Possiamo scegliere il percentile di interesse in funzione della tossicità del composto, delle condizioni igienistiche dell’ambiente e dell’or-ganizzazione lavorativa. L’esempio illustrato, relativo a un gruppo di smaltatori nell’industria della piastrella in ceramica, può essere esteso a qualunque caso di inquinante tossico che richieda particolare attenzione e per il quale siano disponibili campioni di una certa numero-sità. L’analisi bayesiana permette di prendere decisioni anche quando a disposizione si abbia un solo campione o campioni poco numerosi, in presenza di una distribuzione a priori “infor-mata” (tratta da precedenti studi o esperienze specifiche); in tale caso, infatti, l’analisi non si basa più su un dato singolo ma anche sull’insieme dei dati già noti. Nel metodo illustrato, anche detto della “doppia precisione” e che si basa su distribuzioni coniugate, la distribuzione finale (posteriori) si pone tra la priori e la verosimiglianza (distribuzione dei dati), avvicinan-dosi però alla più “forte” tra le due, ossia quella caratterizzata da minore dispersione. Un pos-sibile e auspicabile sviluppo dell’analisi bayesiana in igiene industriale è l’assegnazione di una priori per i più comuni inquinanti tossici e le mansioni più a rischio, a partire da basi di dati (ad es. il database sulla SLC dell’INAIL, CONTARP centrale).

BIBLIOGRAFIA

B. Efron, R. Tibshirani: An introduction to the bootstrap. 1993, Chapman & Hall.

A. Gelman, J.b. Carlin, S. Stern, D.b. Rubin: Bayesian Data Analysis, 2nd edition. 2004, Chapman & Hall/CRC.

E. Siciliano, L. Nori: Determinazione del rischio di silicosi in una fabbrica di piastrelle di cera-mica: trattamento statistico dei dati in presenza di disomogeneità nei rilievi. Corvara 2004, 10°convegno di igiene industriale, pagg. 39-43.

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M. Albertazzi*, R. Gallanelli**, C. Guidi**, M. Mattarelli**, T. Valente***, E. Zunino*

* Servizio Prevenzione e Protezione, Direzione Generale ARPAL Agenzia Regionale per la Protezione della Ambiente Ligure

** INAIL - Direzione Regionale Liguria - Consulenza Tecnica Accertamento Rischi e Prevenzione

*** DIMEL - Università di Genova - Sezione Medicina del Lavoro

RIASSUNTO

Nel corso dell’anno 2004 è nata una collaborazione tra la CONTARP Liguria, l’ARPAL e la Sezione Medicina del Lavoro del DIMEL (Dipartimento di Medicina Legale, del Lavoro, Psicologia Medica e Criminologia) dell’Università di Genova, al fine di effettuare una revisione della valutazione dei rischi per i lavoratori dei laboratori e delle unità operative territorio dell’ARPAL.

Per quanto riguarda gli addetti ai laboratori, il gruppo di lavoro ha utilizzato un albero deci-sionale in cui compare un algoritmo formulato per individuare, già in prima analisi, quegli agenti chimici pericolosi che, per natura ed entità dei rischi connessi, non necessitano di un’ul-teriore valutazione maggiormente dettagliata. Per i rimanenti agenti chimici pericolosi la valu-tazione dettagliata è stata realizzata prendendo in considerazione le effettive quantità utiliz-zate e le modalità operative, nonché particolari determinazioni analitiche.

I rischi per gli operatori del territorio sono stati valutati utilizzando un approccio qualitativo che ha tenuto conto anche di dati statistici, dell’analisi degli infortuni occorsi dalla data d’i-stituzione dell’agenzia, delle misure organizzative e procedurali all’interno della struttura e della formazione effettuata.

SUMMARY

In the year 2004 CONTARP Liguria, Technical Directorate for Risk Assessment and Prevention, ARPAL, Ligurian Regional Agency for the Protection of the Environment, and DIMEL started wor-king together on the risk assessment for the workers of the ARPAL’s chemical laboratories and territorial services.

For the chemical risk assessment in the laboratories, the joint working group utilized a two-step procedure: first an algorithm for a preliminary phase of risk assessment in order to redu-ce the number of chemicals analyzed; then a professional estimation of the risk, based on quantities, operating conditions and analytic data.

The joint working group, for the risk assessment of territorial services’ workers, utilized a qua-litative method based also on statistical data, accident analysis of the previous years, organi-zing procedures followed in ARPAL and workers’ training.

1. INTRODUZIONE

Nel quadro di sviluppo di un sistema di gestione integrato da parte di ARPAL è nata una colla-borazione con l’INAIL Direzione Regionale Liguria e con la Sezione Medicina del Lavoro del

DIMEL dell’Università degli Studi di Genova con lo scopo di elaborare un sistema di gestione della sicurezza.

La prima fase è stata quella di sviluppare criteri di valutazione del rischio documentati ed il più possibile oggettivi e standardizzati, anche alla luce delle peculiarità delle attività svolte nel-l’ambito della protezione dell’ambiente che determinano da un lato l’operatività del personale ARPAL in contesti estremamente variegati, soprattutto nelle fasi di sopralluogo e prelievo dei campioni, e dall’altro l’elevato numero di agenti chimici presenti nei laboratori di analisi, uti-lizzati per effettuare determinazioni su campioni derivanti dal settore alimentare, industriale o da necessità di caratterizzazione del territorio.

L’attività di collaborazione ha interessato la valutazione dei rischi nella sua completezza; tut-tavia nel presente contributo si è ritenuto interessante approfondire gli aspetti relativi alla valutazione del rischio chimico per gli operatori dei laboratori e alla valutazione del rischio per gli addetti ai controlli del territorio. Tali approfondimenti interessano le situazioni citate in condizioni di lavoro ordinario.