Contratti con tasso di interesse e dimensione del prestito variabile

Un ulteriore classe di modelli di selezione di mercato è quella che propone la variazione della quantità di credito erogata come meccanismo di autoselezione per operare una distinzione tra le diverse categorie di imprenditori. Il principio alla base risiede nel fatto che l’ammontare di fondi che un imprenditore desidera contiene implicitamente delle informazioni sulla probabilità che il progetto abbia successo; di conseguenza, l’accettazione di un credito più o meno elevato rappresenta un segnale indiretto sulla rischiosità dei progetti da finanziare e permette alla banca di stipulare contratti differenti le diverse categorie di imprese. Il primo modello che ha seguito questa via è stato quello, già analizzato in precedenza, di Jaffee e Russell.

Si supponga che in un’economia esistano solamente due imprenditori, che divergano per una caratteristica che assume il nome di intraprendenza, che viene indicata con il parametro 𝑎_𝑖, per𝑖 = 1,2. Si supponga che 𝑎₁ < 𝑎₂; entrambi gli imprenditori hanno un progetto di investimento uniperiodale che richiede un investimento pari a 𝐿. Il rendimento lordo del progetto è una variabile casuale, che prende valore 𝑎𝑖𝑋(𝐿) in caso di riuscita del progetto e

zero in caso di fallimento.

Si ipotizzi inoltre che la probabilità di successo dia pari a: 𝑝_𝑖 = 1

𝑎𝑖. Inoltre si ipotizzi che:

𝑋′(𝐿) > 0, 𝑋′′_{(𝐿) < 0 , 𝑋(0) = 0, 𝑋}′_{(0) = +∞, 𝑋}′_{(+∞) = 0. Le ipotesi fatte}

implicano che l’imprenditore più intraprendente, ovvero quello con il parametro 𝑎2, avrà un

prodotto maggiore per ciascun livello di investimento, ma avrà anche una minore probabilità di riuscita, poiché 𝑝₂ < 𝑝₁. Le ipotesi fatte, inoltre, implicano il criterio di Mean Preserving Spread, infatti 𝑝₁𝑎₁𝑋(𝐿) = 𝑝₂𝑎₂𝑋(𝐿).

Le imprese in questo modello non si finanziano da sole ma hanno bisogno di credito dalle banche, con le quali stipulano dei contratti del tipo 𝛾 = (𝑅, 0, 𝐿). Esse restituiscono tutta la

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somma ricevuta in caso di successo ed operano cercando di massimizzare il valore del rendimento netto che possono avere da progetto di investimento, dato il contratto

𝛾 = (𝑅, 0, 𝐿): 𝑣(𝑎𝑖, 𝛾) = 𝑣(𝑝𝑖, 𝛾) = [𝑎𝑖𝑋(𝐿) − 𝑅𝐿]. Si può dimostrare che, in questo

modello, assumere neutralità al rischio o avversione al rischio non è rilevante ai fini del risultato, in quanto, data la forma del contratto, tutto il rischio viene addossato alla banca e non esiste la possibilità, come nei modelli con garanzie, di ripartirlo tra banca ed imprenditore. Per ciascun imprenditore, dato il contratto, l’utilità attesa sarà tanto più elevata quanto maggiore è il suo rendimento lordo, indipendentemente dalla probabilità di riuscita; per questo motivo, si può lavorare con la massimizzazione del rendimento anziché dell’utilità.

Le banche, come al solito, massimizzano i profitti attesi dal contratto 𝛾, che dato 𝐼, sono pari a:𝜋_𝑖(𝑝𝑖, 𝛾) = 𝜋𝑖(𝛾) = (𝑝𝑖𝑅 − 𝐼)𝐿. Si possono rappresentare in un piano cartesiano le curve

di isoprofitto dell’imprenditore 𝑖, che per 𝑣_𝑖 > 0 si presentano come nella figura 23.

Analiticamente, dalla equazione dell’utilità attesa dell’imprenditore, si ricava l’espressione per la curva dell’imprenditore 𝑖: 𝑣̃_𝑖 = 𝑎_𝑖𝑋(𝐿) − 𝑅𝐿; differenziando totalmente si ottiene la pendenza della curva di isoprofitto: 𝜕𝑅

𝜕𝐿 =

(𝑎𝑖𝑋′(𝐿)−𝑅)

𝐿 , che, in linea di massima, è maggiore di

zero per valori bassi di 𝐿, in corrispondenza dei quali la produttività marginale è elevata, e minore di zero per 𝐿 grande. Per 𝑣𝑖 = 𝑣̃𝑖, la curva di indifferenza raggiunge un massimo in

𝐿∗ tale che: 𝑎𝑖𝑋′(𝐿) = 𝑅 =

𝑎𝑖𝑋(𝐿)−𝑣̃̃𝑖

𝐿 , dove la seconda uguaglianza si ottiene ricavando 𝑅

dalla espressione per 𝑣̃_𝑖. Curve più basse comportano un livello di utilità più alto, poiché, a parità di prestito, l’imprenditore paga un tasso di interesse minore. Ogni curva di isoprofitto per 𝑣̃_𝑖 > 0 ha un massimo globale. Per ogni livello di tasso di interesse la domanda di credito che massimizza i profitti si avrà nel punto di tangenza tra la retta orizzontale corrispondente

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al tasso di interesse e la curva più bassa di isoprofitto. Unendo tutti i punti di massimo dell’imprenditore 𝑖, i quali sono anche punti di tangenza con le rette orizzontali, si ricava la domanda ottima di credito dell’impresa 𝑖, ovvero la curva 𝐷𝐷 nella figura 23, la quale sarà una curva decrescente.

Nei punti di massimo deve valere che (𝑎𝑖𝑋

′_{(𝐿)−𝑅)}

𝐿 = 0 → (𝑎𝑖𝑋

′_{(𝐿) − 𝑅) = 0; per valori di 𝑅}

più bassi tale condizione verrà soddisfatta con valori di 𝑋′(𝐿) più bassi, cioè per valori di 𝐿 più alti. Per un livello di intraprendenza più elevato, ovvero un rischio maggiore, la curva di isoprofitto è più spostata verso destra. Dato un livello di 𝑅∗_{, il punto di massimo della}

curva di isoprofitto è più a destra, e quindi la domanda di prestito è più grande, per l’imprenditore con un grado di intraprendenza più elevato. 𝐿∗_{𝑖 è stato ricavato risolvendo per}

ogni 𝑅 l’equazione (𝑎_𝑖𝑋′(𝐿) − 𝑅) = 0; di conseguenza, dato 𝑅, poiché 𝑎₂ > 𝑎₁ e la produttività marginale è decrescente, 𝐿∗₂ deve essere maggiore di 𝐿₁∗ (figura 24).

Per un dato contratto, per esempio il punto 𝐴 nella figura 25, la curva di isoprofitto del cliente più intraprendente e più rischioso è più inclinata di quella del cliente meno intraprendente. La pendenza delle due curve nel punto 𝐴 = (𝑅𝐴, 𝐿𝐴) è data da

(𝑎𝑖𝑋′(𝐿𝐴)−𝑅𝐴) 𝐿𝐴 . Poiché 𝑎1 < 𝑎2, si ha che: (𝑎1𝑋 ′_{(𝐿𝐴)−𝑅𝐴)} 𝐿𝐴 < (𝑎2𝑋′(𝐿𝐴)−𝑅𝐴)

𝐿𝐴 . Tutto questo significa che, per un determinato

aumento di 𝐿, il prodotto aumenta di più per l’imprenditore più intraprendente, quindi è necessario un aumento maggiore di 𝑅 per mantenere invariato il suo profitto (figura 25).

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Seguendo questa logica, di conseguenza, l’imprenditore più intraprendente sarà disposto a pagare di più per ottenere un aumento della quantità del prestito. La curva di isoprofitto della banca, al contrario, risulterà essere una retta orizzontale, e sarà tanto più alta quanto minore è 𝑝𝑖 (maggiore 𝑎𝑖). Mettendo insieme le curve di isoprofitto delle imprese con

quella dell’intermediario bancario, si ottiene la figura 26.

Se la banca è in grado di distinguere gli imprenditori a seconda delle loro caratteristiche, allora potrà stipulare con ognuno di loro il contratto che massimizza i profitti dell’impresa e cha annulla i propri, ovvero l’equilibrio costituito dalla coppia (𝛾₁, 𝛾₂). Ma se l’operatore bancario non è in grado di distinguere gli imprenditori, allora è necessario che offra una coppia di contratti che rispetti il vincolo di compatibilità con gli incentivi. (𝛾1, 𝛾2) non

rispetta il vincolo in quanto gli individui più rischiosi preferirebbero 𝛾₁ a 𝛾₂, e, in tal caso, tutti gli imprenditori sceglierebbero il contratto con il tasso di interesse più basso,

comportando profitti negativi per la banca.

Figura 25 (fonte: Ruiz M. L., 1996, fig. 19)

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I contratti compatibili con gli incentivi che devono essere offerti ai clienti più sicuri devono essere sulla 𝑣̃₂ e, contemporaneamente, per rispettare il vincolo di non negatività dei profitti, sulle rette di isoprofitto nullo della banca. Di questi punti, quello che massimizza i profitti dell’impresa 1 è il punto 𝛾_𝑠. La coppia (𝛾_𝑠, 𝛾₂) può essere la soluzione di equilibrio, in questo caso separante. Dal momento che i clienti più profittevoli hanno anche una maggiore probabilità di fallimento, gli imprenditori più sicuri, al fine di segnalare la propria differenza e distinguersi dal gruppo dei richiedenti fondo più rischiosi, accettano una riduzione di credito rispetto al loro ottimo, venendo ricompensati con un tasso di interesse più basso di quello che viene richiesto ai clienti più rischiosi.

Il risultato inefficiente (la quantità di credito 𝐿_𝑠 ottenuta tramite il contratto 𝛾_𝑠 è infatti inferiore alla quantità che massimizza i profitti 𝐿₁∗) deriva dal fatto che i debitori più sicuri devono investire risorse nell’attività di segnalazione, togliendole al progetto stesso. L’imprenditore più rischioso, invece, ottiene lo stesso contratto che otterrebbe con informazione distribuita simmetricamente.

Anche in questo caso però, come si è già accennato per il modello Rotschild-Stiglitz, può accadere che l’equilibrio separante non esista, e, anche in questo caso, la sua esistenza o meno dipende dalla quota di clienti sicuri sul totale e dalla differenza di rischiosità delle categorie di imprenditori. Si prenda in analisi la figura 27.

In essa è tracciata la retta di isoprofitto della banca 𝜋𝑇 _{se tutti i clienti accettassero lo stesso}

contratto: 𝜋𝑇 _{= 𝜆𝜋}

1+ (1 − 𝜆)𝜋2 = (𝜆𝑝1𝑅 − 𝐼) + (1 − 𝜆)(𝑝2𝑅 − 𝐼) = 0, dove 𝜆 è la quota

di individui del tipo 1 (clienti più sicuri). Da questa equazione, si ricava che:

𝑅𝑇 = 𝐼

[𝜆𝑝1+(1−𝜆)𝑝2]. Il tasso di interesse 𝑅

𝑇 _{cresce al diminuire di 𝜆. Se la retta : 𝜋}𝑇 _{= 0 si}

trova vicina alla retta 𝜋2 = 0, non ci sarà nessun equilibrio unificante che

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contemporaneamente risulti preferito alla coppia (𝛾_𝑠, 𝛾₂) e permetta alla banca di realizzare profitti non negativi. Ma se invece si trova vicino alla retta 𝜋₁ = 0, come per esempio la retta 𝜋𝑇′ = 0, è possibile trovare un contratto su di essa, come 𝛾_𝑝 che è preferito da entrambi perché al di sotto sia di 𝑣̃1 che di 𝑣̃2 e che allo stesso tempo rende i profitti delle banche non

negativi (o positivi, nel caso si trovi sopra la retta 𝜋𝑇′ = 0). L’equilibrio unificante (𝛾𝑝, 𝛾𝑝)

così ottenuto spiazzerà l’equilibrio separante.

Come però si è già avuto modo di vedere per il modello Rotschild-Stiglitz, l’equilibrio unificante di Nash non è possibile in questo tipo di modello, e di conseguenza, valgono le stesse considerazioni fatte in precedenza sulle altre definizioni di equilibrio che si potrebbero adottare. Tra queste, l’unica che porta ad un equilibrio unificante è quella di Wilson.

Il modello appena analizzato si può estendere anche nel caso ciascun imprenditore abbia a disposizione due tipi di progetti di investimento, con la solita ipotesi che uno di essi sia più rischioso e l’altro sia invece più sicuro. L’analisi sarebbe analoga a quella fatta per i contratti con garanzie , così come le conclusioni: la banca, per far sì che venga scelto dagli imprenditori il progetto più sicuro, non alzare la dimensione del prestito e il tasso di interesse al di sopra di una certa soglia.

Al fine di verificare la possibilità che il razionamento di II tipo possa emergere da questo tipo di impostazione teorica, occorre assumere prima distinguere tra le diverse ipotesi sulla funzione di produzione, ed in seguito differenziare il caso in cui esiste un equilibrio di Nash da quello dove non esiste. Con riferimento al primo punto, si possono avere due ipotesi differenti:

A) la funzione di produzione è concava, soddisfa le condizioni poste alla base del modello con dimensione del prestito variabile e non vi sono costi fissi iniziali per l’avviamento del progetto. Sotto queste assunzioni, per ciascun tipo di imprenditore, la domanda di credito è positiva e non crescente per qualsiasi tasso di interesse. Di conseguenza, la curva di domanda di prestiti aggregata sarà non crescente (figura 28).

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In questa circostanza, non vi sarà alcun razionamento del credito, poiché aumentando 𝐼, la domanda di credito diminuirà e l’offerta di fondi aumenterà finché non raggiungerà il livello della domanda;

B) La funzione di produzione soddisfa le condizioni del precedente punto, ma esiste un costo fisso 𝐾 > 0 per iniziare un progetto, o, alternativamente, la funzione di produzione ha una forma ad S, con 𝑋′_{(0) < +∞, 𝑋}′_{(𝐿) > 0 ed un livello di}

investimento 𝐿₀ tale che 𝑋′′(𝐿₀) = 0, 𝑋′′_{(𝐿) > 0 per 𝐿 < 𝐿}

0 e 𝑋′′(𝐿) < 0 per

𝐿 > 𝐿0.

Per entrambe le alternative del sottocaso B) la curva di domanda del credito non risulta crescente ovunque. Infatti, nel primo sottocaso gli imprenditori chiederanno credito solo se 𝑎𝑖𝑋(𝐿) − 𝑅𝐿 ≥ 𝐾, ovvero se i profitti supereranno il costo fisso; di conseguenza,

esisterebbe una curva di isoprofitto 𝑣_𝑖 = 𝐾, a cui corrisponderebbe un massimo (𝑅₁′, 𝐿₁′) tale che l’imprenditore 𝑖 non domanderebbe credito se 𝑅 > 𝑅₁′_{. La curva di domanda avrebbe la}

forma della curva rappresentata nella figura 29.

Figura 28 (fonte: Ruiz M. L., 1996, fig. 24a)

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Anche nel secondo sottocaso del punto B) la curva di domanda avrebbe la forma della curva raffigurata in figura 29, con però un tratto decrescente per valori di 𝐿 > 𝐿₀.

Anche in questo caso gli imprenditori del tipo 𝑖 non domanderebbero credito al di sopra di un certo tasso. La domanda di crediti individuale sarebbe quindi una curva non crescente e discontinua. Inoltre, si può dimostrare che, se 𝑎₁ < 𝑎₂ e 𝑝₁ > 𝑝₂ si avrebbe che 𝑅₁′ < 𝑅₂′, ovvero che gli investitori più sicuri uscirebbero prima dal mercato quando il tasso di interesse sui depositi aumenta, perché raggiungerebbero prima degli altri il livello in cui i profitti diventano negativi.

Ora, se esiste equilibrio di Nash separante, vi sarà sempre equilibrio tra domanda ed offerta, qualunque sia la forma della funzione di produzione, e di conseguenza, non si potrà manifestare razionamento. Si può parlare di razionamento in questo modello solo se vi è equilibrio unificante.

Si assumano valide le ipotesi del punto A e che esista un equilibrio unificante. Dal momento che la curva di domanda aggregata di credito è ovunque non crescente, non si verificherà razionamento del II tipo, ma, tuttavia, gli imprenditori più rischiosi, avranno un prestito che è inferiore a quello desiderato, e, di conseguenza, il razionamento presente sarà quello di I tipo. Se invece si assumano valide le ipotesi fatte nel punto B, la curva di domanda aggregata 𝐿(𝑅) risulterà discontinua come in figura 30.

I clienti più sicuri escono prima dal mercato quando 𝐼 aumenta. Per ogni contratto 𝛾∗ _{= (𝑅}∗_{, 𝐿}∗_{) si ha che: 𝑉}

2(𝛾∗) = 𝑎2𝑋(𝐿∗) − 𝑅∗𝐿∗ > 𝑎1𝑋(𝐿∗) − 𝑅∗𝐿∗ = 𝑉1(𝛾∗). La banca,

pertanto, non può aumentare 𝑅 in modo continuo, perché, nel momento in cui i clienti più sicuri escono dal mercato, il suo profitto atteso diventa negativo. Per riportare i profitti ad un livello non negativo, è necessario che aumenti a sufficienza il tasso richiesto agli imprenditori rischiosi, gli unici rimasti sul mercato. È possibile, d’altronde, che il tasso minimo accettabile dalla banca, ovvero quello che le comporta profitti nulli, sia comunque

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troppo alto per le imprese più rischiose (maggiore di 𝑅₂′ _{in figura 30). In questa evenienza}

all’operatore bancari converrà mantenere il tasso di interesse al livello accettabile per entrambi i tipi di imprenditori, e razionare tra loro i fondi prestabili.

In conclusione quindi, si può avere razionamento solo con le ipotesi B e con l’assunzione di equilibrio unificante.