Contratti con tasso di interesse e garanzie reali: il modello Rotschild-Stiglitz

Al fine di affrontare i problemi di selezione avversa e comportamento sleale, vari autori hanno proposto modelli alternativi in cui l’intermediario bancario adopera contratti più complessi, nei quali vengono inserite, ad esempio, delle clausole che prevedono garanzie reali o la possibilità della banca di concedere solo una parte del credito richiesto. In generale possono essere individuati due filoni di meccanismi atti ad evitare le problematiche delle asimmetrie informative: meccanismi di segnalazione e meccanismi di selezione del

mercato. Il meccanismo di segnalazione, il cui ruolo è stato riconosciuto per prima da

Spencer (1974), consiste nell’autoselezione da parte dei soggetti che possiedono informazioni riservate, al fine di diversificarsi da altri operatori economici in una transazione economica. L’esempio classico, in questo caso, è il mercato delle automobili: un venditore di auto di buona qualità può avere convenienza a segnalare la qualità della propria merce, se ovviamente lo sforzo di segnalazione della qualità è minore di quello di quello del venditore del prodotto di bassa qualità. In questo senso va la pratica di offerta di garanzie di qualità sui propri prodotti: l’offerta di un anno di garanzie su macchine usate permette, ad esempio, all’operatore non informato, il quale non è in gradi di verificare direttamente la qualità della macchina, di separare il prodotto di buona qualità da quello di cattiva qualità, proprio perché questo tipo di offerta risulterebbe troppo costosa per il venditore di macchine di cattiva qualità.

I meccanismi di selezione di mercato, proposti da Bester (1985) per il mercato del credito e da Rotschild e Stiglitz (1976) per il mercato delle assicurazioni, si distinguono dai meccanismi di segnalazione in quanto, mentre in questi ultimi è la parte informata che ha un

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ruolo attivo nel segnalare le proprie migliori caratteristiche, nei primi è la parte non informata (il creditore) che compie la prima mossa, proponendo una serie di contratti che dovrebbe portare la parte informata (il debitore) a rivelare le proprie caratteristiche.

Nel mercato del credito le banche possono impiegare meccanismi indiretti di selezione per far sì che coloro che richiedono il prestito rivelino le proprie caratteristiche, consentendo così all’operatore bancario una divisione dei richiedenti per classi di rischio. I meccanismi di selezione che sono stati esposti nella letteratura del mercato del credito si basano o sulla richiesta da parte delle banche di garanzie reali o sulla variazione della dimensione del credito concesso. In questa parte dei questi contributo, viene presentato il modello di Rotschild-Stiglitz, adattato al mercato del credito.

Si assumano valide le ipotesi fatte per il modello di Stiglitz-Weiss con imprenditori avversi al rischio. Si assuma ancora che il progetto venga finanziato interamente tramite credito, ovvero 𝐿 = 1, ma questa volta, si supponga che 𝐶 sia variabile e diverso da zero. Si assuma inoltre 𝐼 sia costante. Con il contratto generico 𝛾 = (𝑅, 𝐶, 1), i profitti della banca e l’utilità attesa dell’impresa saranno rispettivamente: 𝜋_𝑖 = 𝑝_𝑖𝑅 + (1 − 𝑝_𝑖)𝐶 − 𝐼 e

𝑉𝑖 = 𝑝𝑖𝑈(𝑊 + 𝑋̂𝑖− 𝑅) + (1 − 𝑝𝑖)𝑈(𝑊 − 𝐶).

In questo caso, sia il profitto della banca sia l’utilità attesa dell’impresa dipendono da 𝑅 e da 𝐶, ma in maniera differente. I profitti della banca aumentano all’aumentare di queste due variabili, mentre l’utilità attesa dell’impresa diminuisce all’aumentare delle medesime variabili. Date questa valutazione, è possibile costruire le curve di indifferenza, sia per quanto riguardo l’impresa che la banca, per tentare di risolvere il problema di selezione avversa e/o comportamento sleale.

Uguagliando a zero l’equazione che descrive i profitti della banca, e trovando di conseguenza il luogo geometrico dei punti del piano per cui 𝜋_𝑖 non varia, si ha:

𝑝_𝑖𝑅 + (1 − 𝑝_𝑖)𝐶 − 𝐼 = 0 da cui, differenziando si trova: 𝜕𝑅_𝜕𝐶 = −1−𝑝𝑖 𝑝𝑖 .

Tale luogo sarà inclinato negativamente e tanto più inclinato quanto più rischioso è il progetto di investimento. Per una rappresentazione grafica, si faccia riferimento alla figura 11.

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Per valori più elevati di 𝑅 o di 𝐶, cioè al di sopra della retta 𝜋𝑖 = 0, l’operatore bancario

consegue profitti positivi, mentre per valori più bassi di 𝑅 o di 𝐶, cioè al di sotto della retta 𝜋_𝑖 = 0, l’operatore bancario subisce delle perdite. Le rette di isoprofitto della banca relative alle due imprese saranno importanti solo se la banca propone contratti diversi a ciascuna impresa 𝑖. Se invece la banca offre un contratto unico per tutte le imprese, la retta di isoprofitto rilevante sarà quella tratteggiata nel grafico, ovvero: 𝜋𝜏_{(𝛾, 𝛾) = 𝜆𝜋}

1(𝛾) + (1 −

𝛾)𝜋₂, dove 𝜋𝜏_{(𝛾, 𝛾) è il profitto totale di cui la banca gode se fornisce credito ad entrambi}

gli imprenditori con un contratto 𝛾 e 𝜆 è la quota di imprenditori di tipo 1 nel mercato. Si può dimostrare che la derivata della retta 𝜋𝜏 _{= 0 è pari a −}(1−𝑝𝑚)

𝑝𝑚 , dove

𝑝_𝑚 = 𝜆𝑝₁+ (1 − 𝜆)𝑝₂ è la media delle probabilità di riuscita dei progetti di investimento. Inoltre l’intercetta di questa retta è intermedia a quella delle rette 𝜋₁ = 0 e 𝜋₂ = 0, e sarà tanto più alta quanto più piccolo è 𝜆; infine, la retta 𝜋𝜏 _{= 0 passerà nel punto in cui 𝜋}

1 = 0

e 𝜋₂ = 0 si incrociano.

Per quanto riguarda l’impresa, il luogo dei punti (𝑅, 𝐶) in cui il livello di utilità rimane invariato per l’impresa 𝑖 è dato da: 𝑉_𝑖(𝛾) = 𝑝_𝑖𝑈(𝑊 − 𝑋̂_𝑖− 𝑅) + (1 − 𝑝_𝑖)𝑈(𝑊 − 𝐶) = 𝑉̃_𝑖, da cui, differenziando totalmente, si ottiene la pendenza della curva di indifferenza che è data da: 𝜕𝑅

𝜕𝐶= −

𝑈′_{(𝑊−𝐶)(1−𝑝)} 𝑖

𝑈′(𝑊−𝑋̂𝑖−𝑅)𝑝𝑖 ≤ 0. La pendenza, come si può vedere, è negativa, in quanto la

𝑈 ha derivata prima positiva e decrescente, poiché per ipotesi gli imprenditori sono avversi al rischio. Sotto le ipotesi fatte, le curve di indifferenza degli imprenditori sono concave e curve più basse corrispondono a livelli di utilità più alta. Inoltre, dato un contratto, delle due curve, avrà una inclinazione maggiore quella relativa all’imprenditore con il progetto di investimento più rischioso

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Una rappresentazione grafica di quanto detto pocanzi si può trovare nella figura 12, dove 𝑉̃₂ è la curva di indifferenza relativa al progetto più rischioso e 𝑉̃₁ è, invece, e quella relativa al progetto meno rischioso.

Si assume inoltre che le due curve si incontrino una sola volta: questa ipotesi prende il nome di single crossing property, ed è essenziale per dimostrare l’esistenza di equilibri separanti. Se è presente un solo tipo di imprenditore all’interno del mercato, allora l’equilibrio (secondo la definizione già introdotta di Rotschild-Stiglitz) sarà di tipo unificante, ovvero un unico contratto senza garanzie.

Riportando in un unico grafico tutte le curve di indifferenza, ovvero la curva di profitto nullo della banca e la curva di isoutilità per l’impresa, si ottiene la figura 13.

La curva di isoutilità per l’impresa, a causa della proprietà dell’avversione al rischio risulta più inclinata della curva di isoprofitto della banca. Tramite questa rappresentazione delle curve, si può trovare graficamente il contratto di equilibrio che massimizza l’utilità attesa e rispetta il vincolo di non negatività. Se vi fosse una garanzia positiva, ad esempio come per

Figura 12 (fonte: Ruiz M. L., 1996, fig. 8)

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il contratto 𝐻, sarebbe sempre possibile ridurre la garanzia, muovendosi lungo la retta dei profitti nulli dell’impresa, ed aumentare 𝑅, portandosi, ad esempio, nel punto 𝐴.

Questo tipo di contratto comporta un’utilità maggiore per l’impresa, mentre non comporta alcuna variazione dei profitti dell’intermediario bancario. La riduzione della garanzia (𝐵𝐻̅̅̅̅), che implica un aumento del rischio, può trovare compensazione in un aumento di 𝑅, che nella figura 13 è rappresentato dal tratto 𝐴𝐵̅̅̅̅, il quale però è inferiore all’aumento che del tasso che dovrebbe esserci per far sì che l’utilità dell’impresa rimanga invariata, ovvero il tratto 𝐵𝐷̅̅̅̅. Pertanto, passando da H ad A, l’impresa aumenta l’utilità attesa. Questo percorso si ripete fino ad arrivare a 𝛾∗ = (𝐼

𝑝, 0,1), soluzione d’angolo e punto di equilibrio in cui tutto

il rischio viene trasferito alla banca, che tra i due agenti è per ipotesi quello meno avverso al rischio.

Se invece nell’economia vi sono due tipi di imprenditori, ma l’informazione è simmetrica, la banca riesce ad imporre un contratto diverso a ciascun tipo di imprenditore, ognuno senza l’adozione di garanzie. Per ognuno di essi registrerà profitti nulli: l’equilibrio sarà costituito dalla coppia (𝛾₁∗_{, 𝛾}

2∗) nella figura 14.

Il primo elemento della coppia rappresenta il contratto che viene scelto dall’imprenditore meno rischioso, mentre il secondo è quello scelto dall’imprenditore più rischioso In particolare: 𝛾₁∗ ₌ 𝐼

𝑝1, 𝛾2 ∗₌ 𝐼

𝑝2.

L’imprenditore meno rischioso paga un tasso inferiore di quello più rischioso, ma dato il contratto offerto a ciascun imprenditore, ogni richiedente fondo massimizza la propria utilità attesa. Gli imprenditori del tipo 2 non possono avere accesso al contratto offerto dalla banca agli imprenditori del tipo 1, che sarebbe loro più gradito, in quanto la banca, che fa la prima

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mossa e che è a conoscenza della rischiosità di entrambi i tipi di imprenditore, non proporrà mai a loro il contratto 𝛾₁∗_.

In caso di distribuzione asimmetrica dell’informazione, invece, la garanzia può fungere da espediente per riconoscere la categoria a cui un’impresa appartiene; questo meccanismo sfrutta il fatto che, dal momento che un imprenditore di tipo 1 gode di una probabilità più alta di portare avanti con successo il proprio progetto di investimento, sarà disponibile ad accettare una garanzia più alta, in cambio di una riduzione di 𝑅 dell’imprenditore di tipo 2. Stante così le cose, se vi è equilibrio, questo può essere solo separante, e non unificante. La dimostrazione di questa affermazione sta nella figura 15.

Si supponga che a tutti gli imprenditori venga offerto il medesimo contratto, e che questo sia 𝛾′′. Condizione necessaria affinché (𝛾′′, 𝛾′′) sia contratto di equilibrio è che si trovi sulla retta 𝜋𝑇 = 0. Se fosse sotto tale retta, le banche non offrirebbero mai questo tipo di contratto, in quanto realizzerebbero profitti negativi, mentre se si trovasse sopra, allora altre banche potrebbero entrare in gioco, offrendo un altro contratto che aumenterebbe l’utilità degli imprenditori lasciando ancora un profitto positivo alla banca. Si assuma ora che, proprio questo contratto, sia l’equilibrio unificante, e, per osservarne le caratteristiche, si disegnino le curve di indifferenza degli imprenditori che passano per quel contratto. Si nota subito che si può trovare un altro contratto tra le curve di indifferenza degli imprenditori,𝛾̂ a destra di 𝛾′′ _{che sarà preferito dagli individui a basso rischio, ma non dagli individui ad alto rischio,}

che continueranno a preferire 𝛾′′. La banca, di conseguenza, avrebbe incentivo ad offrire la coppia (𝛾̂, 𝛾′′_{) anziché la coppia (𝛾}′′ _{, 𝛾}′′_{), poiché, così facendo, guadagnerebbe lo stesso}

profitto che in 𝛾′′ _{dagli imprenditori ad alto rischio, ma otterrebbe di più dagli imprenditori}

a basso rischio che passerebbero da 𝛾′′ a 𝛾̂. Di conseguenza, la coppia (𝛾′′, 𝛾′′) non può Figura 15 (fonte: Ruiz M. L., 1996, fig. 11)

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essere equilibrio, ed in generale, non può esistere un equilibrio unificante con qualsiasi altra coppia di contratti uguali.

Per illustrare le caratteristiche dell’equilibrio separante, si faccia riferimento alla figura 16.

Se la banca fosse in grado di offrire contratti diversi a clienti diversi, gli imprenditori a basso rischio e quelli ad alto rischio preferirebbero rispettivamente (𝛾₁∗, 𝛾₂∗). Tuttavia questa coppia di contratti non può essere di equilibrio se la banca non ha un grado sufficiente di informazioni sui clienti: se infatti offrisse questa coppia di contratti senza essere adeguatamente informata sulla rischiosità degli imprenditori, allora tutti i richiedenti fondo 𝛾₁∗, ed in tale punto i profitti aggregati della banca sarebbero negativi, in particolare nulli sui clienti a basso rischio e negativi su quelli ad alto rischio.

Diventa essenziale quindi offrire un altro tipo di contratto agli individui a basso rischio; questo contratto, contemporaneamente non deve essere così attrattivo da essere scelto dai clienti ad alto rischio e, inoltre, deve trovarsi sulla retta 𝜋1 = 0, poiché non deve comportare

profitti positivi per la banca. Si prenda in considerazione il contratto 𝛾_𝑒 sulla retta 𝜋₁ = 0. Tutti i contratti compresi tra 𝛾₁∗e 𝛾_𝑒 sulla retta 𝜋₁ = 0 sono preferiti dagli individui ad alto rischio a 𝛾₂∗, mentre 𝛾𝑒 e gli altri a destra di 𝛾𝑒 sulla medesima retta non sono preferiti rispetto

a 𝛾₂∗. Tra questi contratti, quello più accettabile dagli individui a basso rischio proprio 𝛾_𝑒: la coppia (𝛾𝑒, 𝛾2∗) rappresenta l’equilibrio separante del modello, in quanto soddisfa il requisito

il vincolo di compatibilità con gli incentivi ed induce i richiedenti fondo a separarsi in base alla categoria di rischio di cui fanno parte. Infatti: 𝑉1(𝛾𝑒) ≥ 𝑉1(𝛾2∗) e 𝑉2(𝛾2∗) ≥ 𝑉2(𝛾𝑒),

ovvero l’imprenditore del tipo 𝑖 non preferisce il contratto scelto dall’altro imprenditore. Analizzando ancor più da vicino l’equilibrio separante, si può notare che gli imprenditori del tipo 2 pagano lo stesso tasso di interesse nel caso di distribuzione simmetrica

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dell’informazione: l’intero rischio viene trasferito alla banca, in quanto questi imprenditori non forniscono alcuna garanzia e, in generale, nulla cambi rispetto alla situazione di informazione perfetta. Ad accollarsi parte del rischio del proprio investimento, ottenendo in cambio però una riduzione del tasso di interesse, sono gli imprenditori di tipo 1, meno rischiosi. Ai fini della determinazione di questo risultato è cruciale l’ipotesi di diversa inclinazione delle curve di indifferenza: un aumento della garanzia comporta una minore riduzione dell’utilità dell’imprenditore di tipo 1 rispetto all’imprenditore più rischioso di tipo 2. Il saggio marginale di sostituzione tra R e C è in ogni punto più alto per gli imprenditori con una probabilità di successo maggiore; cioè, per una uguale riduzione di tasso di interesse gli imprenditori meno rischiosi sono disposti a dare una garanzia maggiore per rimanere sempre sulla stessa curva di indifferenza. Di conseguenza, il cliente meno rischioso sarà più disposto dell’altro a segnalare la propria minore rischiosità, accettando una garanzia positiva, in quanto risulta meno probabile che la perdi. La garanzia non viene richiesta ai clienti più rischiosi, poiché, essendo di loro i richiedenti fondo più rischiosi, non è necessario distinguerli da altri clienti più rischiosi. È essenziale anche l’ipotesi che le curve di indifferenza si incrocino una sola volta.

Rothschild e Stiglitz hanno dimostrato in seguito che l’equilibrio separante è l’unico equilibrio possibile, ma tuttavia non è neanche detto che sia un equilibrio. Si consideri la figura 17.

Si prenda in considerazione il punto 𝛾_𝑡. Esso viene preferito a (𝛾_𝑒, 𝛾₂∗) da entrambi i tipi di imprenditori. Se tale contratto implicasse profitti non negativi per la banca, questo contratto spiazzerebbe l’equilibrio separante. Per vedere se (𝛾_𝑡, 𝛾_𝑡) è profittevole per la banca è necessario disegnare la curva 𝜋𝑇(𝛾𝑡, 𝛾𝑡) = 0 che annulla i profitti aggregati della banca. Se

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questa retta si trovasse nella posizione 𝐷𝐵, allora (𝛾_𝑡, 𝛾_𝑡) non verrebbe scelto, perché comporterebbe profitti negativi per la banca, e, pertanto(𝛾_𝑒, 𝛾₂∗) sarebbe effettivamente l’equilibrio separante.

Se invece, la retta 𝜋𝑇 = 0 si trovasse nella posizione 𝐴𝐵, allora (𝛾_𝑡, 𝛾_𝑡) sarebbe profittevole e spiazzerebbe l’equilibrio separante. Tuttavia, (𝛾𝑡, 𝛾𝑡) in cui tutti gli imprenditori stipulano

lo stesso contratto non può essere equilibrio, poiché, come dimostrato precedentemente, non può esistere una soluzione di equilibrio unificante. In questa circostanza, quindi, non esisterebbe affatto una soluzione di equilibrio. Questa eventualità dipende dalla posizione di 𝜋𝑇 = 0, che, a sua volta, è collegata al valore di 𝜆; quanto più alta è la percentuale di individui a basso rischio (lambda vicino a 1), quanto più la retta 𝜋𝑇 _{= 0 tenderà ad essere}

vicina alla retta 𝜋₁ = 0, e quindi tanto più probabile risulterà l’esistenza di un punto come 𝛾_𝑡 che dà dei profitti positivi alla banca, e, quindi, tanto più certa sarà la mancanza di equilibrio.

Al fine di controllare se si verifica del razionamento, è necessario verificare se l’equilibrio è del tipo separante o unificante. Se l’equilibrio è separante, la banca riesce a distinguere gli imprenditori meno rischiosi da quelli più rischiosi proponendo loro dei contratti che si differenziano per garanzia e tasso di interesse, e quindi, non si può avere razionamento del credito. Se infatti se i fondi sono scarsi, la banca potrà alzare il tasso sui depositi per attirare più fondi e alzare il tasso sui prestiti, o alternativamente aumentare la garanzia richiesta, al fine di diminuire la domanda di fondi.

Se invece l’equilibrio che si verifica è di tipo unificante, allora, data la presenza di più categorie di imprenditori disposti ad accettare il medesimo contratto, un aumento del tasso di interesse può causare il fenomeno della selezione avversa e quindi fare uscire dal mercato le imprese più sicure, riducendo i profitti per l’operatore bancario.

Si assuma che l’equilibrio di tipo separante all’interno del modello Rothschild-Stiglitz esista. Il meccanismo di selezione basato sulla garanzia, introdotto nel modello, presuppone che la ricchezza di ciascun imprenditore sia almeno pari alla garanzia richiesta dalla soluzione di equilibrio del modello, e che gli imprenditori più sicuri siano in grado di versare una garanzia superiore di quelli meno rischiosi. Sotto questa ipotesi, l’intermediario bancario è in grado di separare perfettamente i suoi clienti: la competizione tra le banche farà in modo che il profitto lordo delle banche stesse si collochi al livello necessario per far sì che i depositanti vengano pagati e che ci siano tutti i fondi necessari a soddisfare la domanda di credito.

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Se però, nel caso di due soli imprenditori, l’imprenditore di tipo 1, più sicuro, non ha ricchezza uguale almeno a 𝐶₁∗ _{(figura 18), l’equilibrio (𝛾}

𝑒, 𝛾2) non è raggiungibile, e qualsiasi

contratto con 𝐶 < 𝐶₁∗ offerto agli imprenditori meno rischiosi sarà preferito a 𝛾₂.

Si otterrà quindi un equilibrio unificante in cui tutti gli imprenditori accettano lo stesso contratto: partendo infatti da un contratto unificante che prevede già il massimo della garanzia che le imprese meno rischiose possono fornire, la banca non ha più possibilità di separare le imprese con la nuova offerta e spiazzare l’equilibrio unificante. Esso sarà, di fatto, la soluzione del problema.

Con l’equilibrio unificante è probabile che si manifesti il fenomeno del razionamento: se la domanda di fondi è inferiore all’offerta di credito, l’operatore bancario non può utilizzare la leva dell’aumento della garanzia, in quanti essa è già al massimo, né la leva dell’aumento del tasso di interesse al di là di un certo limite, poiché rischierebbe di far uscire dal mercato i clienti più sicuri a causa dell’effetto della selezione avversa. I clienti, di conseguenza, saranno razionati ed alcuni clienti uguali agli altri non riceveranno credito.

Nel caso di più di due categorie di imprese, se tutte hanno la stessa ricchezza, ma i clienti appartenenti ad alcune categorie meno rischiose non hanno abbastanza ricchezza per differenziarsi, l’equilibrio sarà la 𝑛-pla di contratti (𝛾₁, 𝛾₂, … , 𝛾_𝑛) che sarà così definita: se 𝑚 < 𝑛 sono le categorie di imprenditori alla estremità inferiore della scala di rischio che non sono in grado di differenziarsi a causa della insufficiente ricchezza propria, ci sarà un contratto unificante che raggruppa le categorie che vanno dalla 1 alla 𝑚 (𝛾_𝑖 = 𝛾′′ per ogni 𝑖 ≤ 𝑚) e più contratti diversi, uno per ciascuna categoria rimanente, per tutti gli altri clienti. Dal momento che gli imprenditori sono razionati solo se preferiscono avere il prestito, anziché non averlo affatto, verrà razionata solo una categoria di clienti, ovvero quella 𝑚 che

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è la più rischiosa tra quelle con contratto unificante. Le categorie più sicure non saranno razionate in quanto indifferenti tra ricevere o non ricevere il prestito.

Se invece si ipotizza che la ricchezza tra gli imprenditori differisca, allora in equilibrio vi saranno più contratti unificanti che raggruppano categorie diverse di clienti all’interno della medesima scala di rischio. Per ogni contratto unificante sarà la categoria più rischiosa tra quelle raggruppate assieme ad essere razionata, e di conseguenza più categorie subiranno il razionamento.

La possibilità di non esistenza di una soluzione di equilibrio all’interno del modello Rotschild-Stiglitz collega al fatto che gli imprenditori meno rischiosi, sia nel caso il contratto sia uguale per tutti, sia nel caso che sia diverso, sono costretti a sobbarcarsi un costo aggiuntivo rispetto alla situazione di perfetta distribuzione dell’informazione. Nel primo caso, per stare insieme devono finanziare gli imprenditori ad alto rischio, poiché i profitti nulli per la banca sono infatti il risultato dei profitti negativi sulle imprese ad alto rischio e dei profitti positivi delle imprese a basso rischio. Tale costo risulterà basso solamente se gli individui ad alto rischio sono rari (lambda alto) o se le probabilità di successo dei due gruppi sono vicine tra loro. Nel caso di separazione, invece, il costo per i richiedenti fondo a basso rischio si sostanzia nel fatto di dover versare una garanzia e sopportare una parte del rischio di fallimento: questo costo crescerà quanto più i clienti sicuri sono maggiormente avversi al rischio. Dato questo scenario, si può affermare che esisterà