Modello Rotschild-Stiglitz con azione nascosta

Anche in presenza di azione nascosta la banca può offrire contratti con garanzie reali. Si considerino valide le ipotesi fatte per il modello Stiglitz-Weiss. Vi sono inoltre un certo

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numero di imprese tutte uguali, ognuno delle quali può scegliere tra due progetti, 𝑠 e 𝑟, con quest’ultimo più rischioso ma anche più redditizio rispetto al primo.

Secondo il punto di vista della banca, il progetto 𝑠 è, per qualsiasi contratto, quello che massimizza i profitti attesi; con informazione distribuita simmetricamente, l’operatore bancario potrebbe erogare credito ad un tasso 𝐼

𝑝𝑠, a condizione che l’impresa però porti avanti

il progetto più sicuro. Nel caso in cui l’impresa, invece, avesse modo di comportarsi in maniera sleale, l’operatore bancario non sarebbe in grado di controllarne l’operato dopo aver fornito il finanziamento, e di conseguenza non troverebbe più conveniente concedere credito al tasso 𝐼

𝑝𝑠. A questo tasso, infatti, l’imprenditore preferirebbe sicuramente il progetto 𝑟 meno

sicuro e i profitti della banca non sarebbero di fatto massimizzati. Si supponga che la banca possa utilizzare due leve, al fine di trovare un contratto operante come meccanismo di incentivazione in grado di indurre di l’impresa a scegliere l’alternativa che massimizza i suoi profitti: il tasso di interesse e l’imposizione di garanzie reali. Si può dimostrare in questo caso che le garanzie svolgono il ruolo di incentivazione.

Si ricorda che: 𝑝𝑠 > 𝑝𝑟 e 𝑋̂𝑠 < 𝑋̂𝑟. L’utilità dell’imprenditore, se sceglie il progetto

𝑗 (𝑗 = 𝑠, 𝑟), dato il generico contratto 𝛾 = (𝑅, 𝐶, 1) è pari a: 𝑉𝑗 = 𝑝𝑗𝑈(𝑊 + 𝑋̂𝑗− 𝑅) +

(1 − 𝑝_𝑗)𝑈(𝑊 − 𝐶). Riportando le curve di indifferenza, relativamente al progetto 𝑠 e al progetto 𝑟, che passano per un generico contratto 𝛾, si ottiene quanto rappresentato nella figura 19.

Dato che per ipotesi l’imprenditore è avverso la rischio, 𝑉_𝑟 è più inclinata di 𝑉_𝑠. Il tratto superiore della curva nella figura 19 rappresenta la curva di indifferenza dell’imprenditore che può scegliere due progetti. Nel tratto più alto, l’impresa sceglierà il progetto 𝑟, mentre

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nel tratto più basso sceglierà il progetto 𝑠. Nel punto 𝛾 il cliente è sostanzialmente indifferente tra 𝑠 ed 𝑟, ovvero 𝑉_𝑠(𝛾) = 𝑉_𝑟(𝛾).

Nel continuo dell’analisi, si suppone che anche per 𝛾 l’imprenditore opti per 𝑠. Partendo da 𝛾, si può vedere come se si aumenta il tasso di interesse, la scelta ricada sul progetto più rischioso, mentre, se viene aumentata la garanzia, la scelta si sposta sul progetto più sicuro. Questo perché il timore della perdita di una quantità maggiore di garanzie reali spinge l’imprenditore a cercare di ridurre la probabilità di fallimento, optando per il progetto più sicuro. Di conseguenza, si può affermare che, mentre un aumento del tasso di interesse provoca un effetto incentivo negativo, un aumento della garanzia richiesta svolge un effetto incentivo positivo.

Esiste un trade-off al variare della garanzia tra profitto della banca ed utilità dell’impresa. Difatti, una garanzia elevata, però, impone un costo all’imprenditore, che si accolla in questo modo una parte del rischio dell’investimento che, in condizioni di simmetria informativa, sarebbe trasferito interamente alla banca, in quanto agente neutrale al rischio. Date le circostanze, la banca deve compensare l’imprenditore con una riduzione del tasso di interesse. Il contratto di equilibrio è la risposta a questo trade-off e deve essere tale che:

I. l’impresa massimizza utilità attesa dato il contratto offerto dalla banca; II. il profitto atteso della banca è non negativo;

III. non c’è nessun altro contratto che sia preferito dagli imprenditori e comporti profitti non negativi per la banca.

Al fine di trovare graficamente il punto di equilibrio, si può osservare quanto rappresentato nella figura 20.

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La curva 𝑃𝑃 rappresenta il luogo geometrico dei punti del piano tali che 𝑉_𝑟= 𝑉_𝑠, ovvero il luogo dei punti di passaggio dal progetto 𝑠 al progetto 𝑟. Si può dimostrare che la curva è inclinata positivamente: se l’imprenditore è avverso al rischio, differenziando sui ottiene:

𝜕𝑅 𝜕𝐶= −

𝑈′(𝑊−𝐶)(𝑝𝑠−𝑝𝑟)

𝑈′_{(𝑊−𝑋̃𝑠−𝑅)𝑝𝑠−𝑈}′(𝑊−𝑋_{̃ 𝑟−𝑅)𝑝𝑟}> 0.

Al di sopra della curva 𝑃𝑃 l’imprenditore sceglierà 𝑟, al di sotto sceglierà 𝑠. La banca, di conseguenza, è in grado di controllare indirettamente la scelta dell’imprenditore, poiché è a conoscenza del progetto che verrà intrapreso in corrispondenza di ogni tasso. Inoltre, solo i contratti al di sotto o sulla curva 𝑃𝑃 sono compatibili con gli incentivi offerti dalla banca: per ogni 𝛾 al di sotto o sulla curva 𝑃𝑃 si ha: 𝑉𝑠(𝛾) ≥ 𝑉𝑟(𝛾); invece, per tutti i punti sopra la

curva 𝑃 vale che: 𝑉_𝑟(𝛾) ≥ 𝑉𝑠(𝛾).

Aumentando 𝑅 e 𝐶 l’utilità del richiedente fondi diminuisce. L’equilibrio incentivo si ha nel punto in cui la retta 𝜋_𝑠 = 0 tocca la curva di indifferenza più bassa dell’imprenditore, ovvero nel punto:𝛾∗ = (𝑅∗, 𝐶∗). In tale punto, si incrociano la retta 𝜋_𝑠 = 0 con la retta 𝑃𝑃. Qualsiasi punto a destra dell’equilibrio incentivo non può essere un equilibrio perché consentirebbe alla banca profitti positivi e quindi darebbe l’opportunità ad un'altra banca di entrare sul mercato e di offrire con contratto con 𝑅 e 𝐶 più bassi aumentando l’utilità dell’impresa. Scegliendo il contratto di equilibrio 𝛾∗, la banca è in grado di risolvere il problema di comportamento sleale con imprenditori avversi al rischio. Se l’impresa non ha ricchezza sufficiente per fornire la garanzia di equilibrio 𝐶∗_{, l’equilibrio incentivo non può essere}

raggiunto. Si prenda in considerazione la figura 21.

Se 𝐶̃ è il massimo di ricchezza di cui l’impresa può disporre, il tratto della curva di isoprofitto a destra dell’equilibrio incentivo coincide con la retta 𝜋𝑠 = 0, perché l’imprenditore al di

sotto della curva 𝑃𝑃 opta per il progetto 𝑠; nello spazio al di sopra della curva 𝑃𝑃, Figura 21 (fonte: Ruiz M. L., 1996, fig. 16)

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l’imprenditore sceglierà il progetto 𝑟, di conseguenza, affinché la banca consegua un profitto non negativo, è necessario che, a parità di garanzia, il tasso di interesse aumenti, in modo da bilanciare, dal punto di vista della banca, la maggiore rischiosità che caratterizza il progetto. Il risultato di questa puntualizzazione è che la curva di isoprofitto presenta una discontinuità nel punto 𝛾∗_{. Se la ricchezza dell’impresa si colloca al livello 𝐶̃ < 𝐶}∗_{, allora non c’è nessun}

contratto che faccia s che l’impresa scelga il progetto 𝑠 e garantisca contemporaneamente un profitto non negativo per la banca. Quest’ultima, pertanto, concederà allora il prestito all’impresa, che intraprenderà il progetto meno sicuro al tasso𝐼

𝑝𝑟, che è quello che, dato il

profitto atteso nullo per la banca, il tasso che massimizza l’utilità dell’impresa. In questa situazione non vi bisogno di alcuna garanzia, perché l’impresa intraprenderà comunque il progetto 𝑟. Per scoprire se si verifica il fenomeno del razionamento, è necessario approfondire meglio cosa accade se in corrispondenza di 𝛾∗ la domanda aggregata di credito è superiore all’offerta. La banca potrebbe aumentare il tasso di interesse sui depositi 𝑖 e, quindi, 𝐼. Tramite questo espediente, la curva 𝜋_𝑠 = 0, si sposta parallelamente verso l’alto, finché non ci vi sarà un'altra soluzione, 𝛾∗′, a destra di 𝛾∗ sulla curva 𝑃, che garantisca l’equilibrio tra domanda ed offerta (figura 22).

Il nuovo contratto di equilibrio richiede una garanzia ed un tasso di interesse più elevati che in 𝛾∗, e, di conseguenza, è raggiungibile solo se la garanzia in 𝛾∗ non era già al suo livello massimo. Se invece la garanzia richiesta in 𝛾∗′ _{è maggiore di quello che ciascun imprenditore}

può garantire, allora le imprese non potranno accettare il contratto che porta in equilibrio domanda ed offerta. Inoltre la banca potrebbe non trovare conveniente aumentare il solo tasso di interesse, poiché potrebbe fare diminuire i suoi profitti attesi. Si otterrà quindi un equilibrio in corrispondenza del contratto che prevede un livello di garanzia uguale al

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massimo disponibile e le banche razioneranno il credito per portare in equilibrio domanda ed offerta. In 𝛾∗ _{i richiedenti fondo che non ricevono credito staranno peggio di quelli che}

lo ricevono perché 𝑉_𝑠(𝛾∗_{) > 0, di conseguenza, si ha una situazione di vero e proprio}

razionamento del credito.