I poliedri duali dei poligoni regolar

Un altro interessante fatto sui poliedri re- golari si nota costruendo la Tabella 1 in cui riportiamo il numero di vertici, spigoli e facce.

Facilmente si vede che esaedro ed ottae- dro, rispettivamente dodecaedro ed icosaedro, hanno i numeri di vertici e di facce che si scambiano tra loro. Essendo tutti poliedri euleriani, ciò comporta che hanno lo stesso numero di spigoli. I poliedri che hanno per vertici i centri delle facce di un altro poliedro si dicono poliedri duali di quelli dati.

Quindi il tetraedro è duale di se stesso, cioè, come mostrato in figura, il poliedro che ha per vertici i centri delle facce di un tetraedro regolare è esso stesso un te- traedro regolare.

La dimostrazione è semplice e tiene con- to del fatto che per esempio i triangoli AIL ed AMI, in figura 20, sono fra loro congruenti perché AI è comune, AM e AL sono mediane di triangoli equilateri congruenti, MI ed IL sono segmenti che uniscono i punti medi dei lati di uno stesso triangolo equilatero.

Ma allora, anche EF ed EG sono con- gruenti perché uniscono punti che di- vidono segmenti di triangoli congruenti in parti proporzionali. Quest’ultima osservazione ci fa determinare anche la relazione fra gli spigoli dei due tetraedri. Ci riferiamo alla figura 20.

Figura 12 Figura 13 Figura 14 Figura 15 Figura 16 Figura 17 Figura 18 Figura 19 Tabella 1 Figura 20 Tetraedro 4 4 6 Esaedro 8 6 12 Ottaedro 6 8 12 Dodecaedro 20 12 30 Icosaedro 12 20 30 Poliedro N. N. N.

regolare Vertici Facce Spigoli

P

Infatti, detta l la misura dello spigolo del tetraedro maggiore, abbiamo: . D’altro canto abbiamo anche

.

Quindi il tetraedro più piccolo ha spi- golo di quello più grande.

Passiamo adesso all’esaedro e al suo dua- le, mostrati in figura 21.

Dimostriamo che l’ottaedro è regolare. Ci riferiamo alla figura 22. D ed E sono punti medi degli spigoli.

I triangoli ABE e BCD sono congruenti perché sono retti e hanno i cateti con- gruenti perché metà di lati di quadrati congruenti.

Quindi sono congruenti anche AB e BC. Analogo ragionamento per gli altri spi- goli. Anche in questo caso possiamo de- terminare una relazione fra gli spigoli. Sia la misura dello spigolo dell’esae- dro e quella dello spigolo dell’ottae- dro. Lavorando sui già considerati trian- goli rettangoli abbiamo:

.

Vediamo adesso la situazione all’inverso, mostrata in figura 23.

Proviamo che l’esaedro così ottenuto è regolare. Ci riferiamo alla figura 24. Nel triangolo isoscele ABC, AB e AC sono evidentemente congruenti, per le proprietà del baricentro, anzi BC è 2/3 di DE. Quindi se AE è perpendicolare alla faccia dell’esaedro, è anche l’altezza del triangolo isoscele ADE, quindi AEB e AEC sono congruenti, cioè BE ed EC sono congruenti.

Allo stesso modo si prova che anche l’al- tra diagonale della faccia superiore del- l’esaedro è divisa a metà da E. Quindi si prova poi che anche gli spigoli sono congruenti.

Cioè che le facce sono quadrati. Anche in questo caso troviamo una re- lazione fra gli spigoli dei due poliedri

duali. Abbiamo appena detto che la dia- gonale della faccia dell’esaedro è i 2/3 dello spigolo dell’ottaedro.

Cioè

Concludiamo con il dodecaedro e l’ico- saedro, mostrati in figura 25.

Proviamo che abbiamo a che fare con un icosaedro regolare. Ci riferiamo alla fi-

gura 26.

Cominciamo a provare che il pentagono che ha per vertici i centri di cinque facce consecutive è regolare.

Tracciamo i punti medi degli spigoli. Adesso consideriamo i triangoli AFB e BGC, che sono fra loro congruenti perché hanno i lati congruenti come è facile provare, tenuto conto che per esempio AF, BF, BG e CG sono segmenti che congiungono i centri di pentagoni regolari congruenti con i punti medi dei lati.Perciò ABCDE è equilatero. Ma è anche equiangolo perché i trian- goli rettangoli di cateto comune OO’ sono congruenti, perciò lo sono i trian- goli di vertice comune O’ e vertici quelli del pentagono, cioè O’ è centro di ABCDE.

Determiniamo adesso una relazione fra gli spigoli dei due poliedri.

Ragioniamo sulla figura 27.

Per determinare la misura di AO in fun- zione dello spigolo AB dell’icosaedro prendiamo per buona una relazione fra il lato di un pentagono regolare e il rag- gio della circonferenza a esso circoscrit- ta, che di seguito ricordiamo:

1_. Avremo perciò: Figura 21 Figura 22 Figura 23 Figura 24 Figura 25 Figura 27 Figura 26

1. Si può trovare usando la trigonometria.

Nuova Secondaria - n. 7 2013 - Anno XXX

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P

Adesso possiamo determinare la relazio- ne cercata, considerando la figura 28. AOBC è un trapezio rettangolo la cui base minore è il raggio della circonfe- renza inscritta nella faccia del dodecae- dro. Anche in questo caso vi è una rela- zione fra raggio e lato, che anche in que- sto caso riportiamo:

. Abbiamo allora:

Cerchiamo la relazione fra i due spigoli:

Semplifichiamo:

Infine consideriamo il duale dell’icosae- dro regolare, che, come testimoniato dal- la figura 29, è un dodecaedro regolare. Ragioniamo sulla figura 30.

Ancora una volta i triangoli tracciati sono congruenti perché rettangoli con

raggi e uno spigolo del pentagono sono congruenti e quindi il pentagono è re- golare. Si ripete il ragionamento per gli altri undici pentagoni e si conclude che il dodecaedro è regolare. Vediamo di de- terminare le relazioni fra gli spigoli dei due poliedri. Consideriamo la figura 31 in cui abbiamo evidenziato il pentagono regolare del dodecaedro e quello che si ottiene unendo 5 vertici consecutivi dell’icosaedro. Quindi EF è lo spigolo dell’icosaedro BG quello del dodecaedro. OB è il raggio del cerchio circoscritto al pentagono piccolo, CD il raggio del cerchio inscritto nel pentagono grande. I triangoli AOB e ACD sono ovviamente simili di rapporto , non dobbia- mo dimenticare che B è il baricentro di AEF di cui AD è mediana.

Abbiamo quindi, usando le relazioni già richiamate fra raggi e lato del pentagono regolare:

Nella prossima parte tratteremo di po- liedri che pur non essendo regolari sono quasi regolari, perché hanno le fac- ce che sono poligoni regolari ma non tut- ti dello stesso tipo.

Ricordiamo che tutte le costruzioni proposte possono scaricarsi come files Cabri3d dal sito http://matdidattica.al-

tervista.org/Cabri3D.htm.

BIBLIOGRAFIA

L. Brusotti, Poligoni e poliedri, in Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi, a cura di L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli,

Volume II, parte I, Hoepli, Milano 1979.

C. Di Stefano, Dal triangolo al tetraedro, Nuova Secondaria numeri di Aprile, Maggio, Giugno 2010 e Gennaio 2011. T. Heat, A history of Greek Mathematics, Vol. II, Form Aristarchus to Diophantus, Dover, New York 1981.

I. Lakatos, Proofs and refutations, Cambridge University Press, Cambridge 1976. Figura 28

Figura 29

Figura 30

Figura 31

un cateto comune e l’ipotenusa con- gruente perché 2/3 di mediane di trian- goli equilateri congruenti.

Quindi ancora una volta O è centro del pentagono. Facilmente si prova poi che i triangoli isosceli che hanno per lati due

P

Il concetto di infinito tra matematica