9.2 Esempi di esercizi
9.3.2 Analogia con le onde
Per una trasposizione didattica del concetto di funzione d’onda, un’ipotesi di lavoro può essere quella di partire da un’analogia con le onde. Un’e- sperienza sulla diffrazione degli elettroni (cfr. paragrafo 7.9.1) può servire come punto di partenza. Si può iniziare ad affrontare il percorso sotto forma di problema su cui riflettere: se le particelle hanno un comportamento on- dulatorio, è possibile rappresentarle con un’equazione abbastanza familiare come quella di un’onda sinusoidale? Questo quesito consente di riflettere su una forma semplificata di un principio di indeterminazione che dovrà poi essere esteso al caso quantistico. Consideriamo per semplicità, con gli studenti, la parte spaziale di un’onda armonica, che rappresenta, in un da- to istante t, un’onda che si estende all’infinito. Tale onda ha il valore di k ben definito e quindi una lunghezza d’onda determinata. Possiamo dire, quindi, che l’incertezza su k è ∆k = 0 perché conosciamo k esattamente, ma niente possiamo dire sulla posizione dell’onda, che quindi ha un’incer- tezza ∆x → ∞. Non possiamo quindi utilizzare, per le particelle che hanno un comportamento ondulatorio, l’equazione d’onda tradizionale, perché non consente di localizzare la particella.
La teoria delle funzioni goniometriche però ci viene in aiuto. Agli stu- denti si può ricordare anzitutto la maniera con cui si costruisce il pacchetto d’onde utilizzando formule goniometriche, per poi osservare cosa accade se si sommano più di due funzioni goniometriche. A questo proposito può venire in aiuto un qualsiasi software matematico (negli esempi che seguono è stato usato Geogebra), che consente di trattare alcuni esempi in maniera quantitativa dal punto di vista grafico senza dover sommare le funzioni in maniera analitica. Nell’esempio in questione, sono state anzitutto disegnate otto funzioni del tipo
y = c sin kx
nelle quali il software consente di far variare sia c che k. Se si sommano le funzioni, si possono regolare a piacimento i valori di k e c per ottenere una funzione totale quanto più “localizzata” possibile. Si trova empiricamen- te che il risultato migliore si ottiene quando i valori di k sono abbastanza vicini. Regolando le ampiezze c si può fare in modo che le corrispondenti funzioni influiscano in misura maggiore o minore sulla somma. Se le am- piezze sono tutte fissate a uno, tutte le otto funzioni contribuiscono alla stessa maniera. Se qualche valore di c è fissato a zero, le corrispondenti funzioni non contribuiscono alla somma. Si vede che se si sommano sempre più funzioni, la funzione somma è sempre più localizzata, perché ∆x (che assumiamo essere la larghezza del pacchetto) diminuisce. Che cosa succede,
9. Proposte di trasposizione didattica
Tabella 9.2: Indeterminazione nelle onde
a b c d e 46,9 46,9 46,9 46,9 46,9 46,8 46,8 46,8 46,8 46,8 46,7 46,7 46,7 46,7 46,7 46,6 46,6 46,6 46,6 46,6 46,5 46,5 46,5 46,5 46,4 46,4 46,4 46,3 46,3 46,2 ∆k 0,075 0,08 0,083 0,086 0,0875 ∆x 31,44 25,3 21,2 17,94 15,7 ∆k∆x 2,358 2,024 1,752 1,538 1,374
in corrispondenza, al valore di k? Per poter disporre di un’incertezza su k, possiamo prendere in considerazione, in maniera del tutto approssimativa, ma giusto per fissare le idee, il semiscarto massimo. Consideriamo ad esem- pio la somma di quattro funzioni: i valori di k che contribuiscono alla somma sono riportati nella tabella 9.2, e perciò possiamo assumere ∆k = 0, 075. Come localizzazione del pacchetto prendiamo l’intervallo ∆x = 15, 72. Si ha ∆x · ∆k = 2, 358. Per la somma di otto funzioni abbiamo ∆x · ∆k = 1, 374. Si vede (cfr. tabella 9.2) che il valore ∆x · ∆k si avvicina sempre di più a uno. Effettivamente vale la relazione
∆x · ∆k & 1
e il valore 1 è il limite inferiore che non sarà mai superato per quanto noi cerchiamo di localizzare il pacchetto.
Sembrerebbe quindi che per ottenere una funzione che rappresenti fisica- mente una particella si debba sommare un numero molto grande di funzioni periodiche.
Qui occorre una precisazione molto importante, per evitare di gene- rare negli studenti immagini non conformi ai concetti quantistici. Anche se stiamo cercando di associare a una particella una funzione d’onda per analogia col pacchetto d’onde, in meccanica quantistica la funzione d’on- da rappresenta lo stato fisico della particella, ma l’informazione fisica che stiamo considerando in questo studio, cioè la localizzazione della particella, è contenuta in realtà nel modulo quadro della funzione d’onda, che è la probabilità che la particella si trovi in un certo stato. Non bisogna pensare 170
9.3. La funzione d’onda
(a) Somma di quattro funzioni
(b) Somma di cinque funzioni
(c) Somma di sei funzioni
(d) Somma di sette funzioni
(e) Somma di otto funzioni
9. Proposte di trasposizione didattica
alla funzione d’onda come un’onda che rappresenta fisicamente la parti- cella, ma come uno strumento matematico che serve per rappresentare lo stato della particella, come nei sistemi a due stati si è fatto uso dei vetto- ri. L’utilità di introdurre la funzione d’onda come metodo alternativo per la rappresentazione degli stati può essere quella di illustrare il principio di indeterminazione con analogie che si possono trarre dalla rappresentazione delle onde.
Supponiamo di conoscere la funzione d’onda per una certa particella in un certo istante, che possiamo assumere come istante iniziale. Si può pre- sentare agli studenti il ruolo fondamentale dell’equazione di Schrödinger, un’equazione che, a partire dallo stato iniziale Ψ(0, t) e dall’energia cineti- ca e potenziale della particella, consente di determinare l’evoluzione dello stato Ψ(x, t). Nel caso della particella libera (cioè non soggetta a potenzia- li), le soluzioni dell’equazione di Schrödinger sono funzioni periodiche che indichiamo con ψk(x, t), dove k = p
~ può assumere infiniti valori. Si è detto
che le singole funzioni periodiche non possono rappresentare uno stato fisi- co e che occorre una somma di infinite funzioni periodiche. Uno strumento matematico che consente queste operazioni è la serie di Fourier: certe ca- tegorie di funzioni possono essere espresse come somma di infinite funzioni periodiche. Poiché tali funzioni hanno tutte frequenze infinitamente vicine tra loro, la somma è in realtà un integrale e si chiama antitrasformata di Fourier (8.1), dove F (k) è il contributo in ampiezza di ogni componente, contributo che dipende da k. La (8.1) può essere invertita per ricavare la (8.2), che si chiama antitrasformata. Se trasportiamo questa procedura al- le soluzioni dell’equazione di Schrödinger per la particella libera, possiamo dire che una funzione che rappresenta tale stato può essere ottenuta da una sovrapposizione di infinite funzioni del tipo ψk(x, t), che portano ciascuna
un contributo in ampiezza pari a φ(k), contributo che dipende dalla quan- tità di moto. La funzione φ(k) quindi ci dice come è distribuita la quantità di moto della particella. In particolare la teoria ci dice che
Ψ(x, t) = √1 2π
Z
φ(k)ψk(x, t)dk. (9.8)
Possiamo qui osservare che la funzione d’onda nella forma 9.8 è una genera- lizzazione di un sistema a due stati che abbiamo espresso, in questo studio, nella forma 9.1: le funzioni ψk corrispondono agli stati di base u e d, i
coefficienti a± diventano la funzione φ(k) e la somma diventa un integrale
perché siamo passati dal discreto al continuo.
Ricordando che siamo partiti dall’ipotesi di conoscere lo stato iniziale 172
9.3. La funzione d’onda
della particella, possiamo esprimerlo, ponendo t = 0 nella 9.8, come Ψ(x, 0) = √1
2π
Z
φ(k)eikxdk.
Questa formula può essere invertita per ricavare la distribuzione delle quan- tità di moto della particella:
φ(k) = √1 2π
Z
Ψ(x, 0)e−ikxdx.
Prendiamo in particolare come funzione d’onda un pacchetto d’onde gaussiano all’istante t = 0
Ψ(x, 0) = Ae−ax2.
Per trovare il coefficiente A occorre normalizzare lo stato, cioè ricavare il valore di A tale che
Z +∞ −∞ |Ψ(x, 0)| 2dx = |A|2Z +∞ −∞ e −2ax2 .
Per i dettagli del calcolo dell’integrale, cfr. appendice F. Dopo la normaliz- zazione si trova Ψ(x, 0) = 4 s 2a π e −ax2 .
Possiamo ora ricavare la distribuzione delle quantità di moto:
φ(k) = √1 2π 4 s 2a π Z e−(ax2+ikx)dx.
Per il calcolo dell’integrale, cfr. sempre appendice F. Si trova φ(k) = √4 1
2aπe
−k2/4a
. Ora, ricordando le proprietà della gaussiana risulta
∆x = σx = 1 √ 2a e ∆p = σp = √ 2a, quindi ∆x∆p = 1,
perciò il pacchetto d’onde gaussiano è quello con indeterminazione minima. In sintesi, quindi:
9. Proposte di trasposizione didattica
• la funzione Ψ(x, 0) è una “fotografia” della funzione d’onda all’istante iniziale;
• tale funzione è un pacchetto d’onde, cioè una somma di infinite fun- zioni armoniche del tipo eikx, con k = p
~, ciascuna delle quali porta un
contributo in quantità di moto compreso fra p e p + dp; • la funzione φ(k) è la distribuzione di queste quantità di moto;
• se cerchiamo di localizzare meglio la particella diminuendo ∆x, per- diamo la precisione sulla quantità di moto, perché aumenta ∆p, e viceversa;
• il pacchetto d’onda gaussiano è quello con indeterminazione migliore. 9.4 la buca di potenziale infinita
Per trattare in maniera quantitativa qualche esempio di funzione d’onda, possiamo presentare agli studenti il caso di una particella che all’interno di una certa regione dello spazio è completamente libera di muoversi, ma agli estremi di tale regione è vincolata da una forza che le impedisce di uscire. Questo caso è chiamato in meccanica quantistica “buca di potenziale infi- nita”. Un esempio analogo tratto dalla fisica classica è quello di un carrello che scorre senza attrito su un binario, con respingenti perfettamente elastici che gli consentono di rimbalzare avanti e indietro all’infinito. Dalla fisica classica sappiamo che il carrello può occupare qualsiasi posizione durante il moto (entro gli estremi fissati) e possiede un’energia che varia con continui- tà. Il caso quantistico invece ha un comportamento ben differente. Dalla risoluzione dell’equazione di Schrödinger risulta che la particella non può avere qualsiasi energia, ma solo i valori
En=
n2π2~2 2ma2 .
Abbiamo quindi un altro esempio di quantizzazione, dopo il caso dello spin (ma in questo caso si tratta di uno spazio quantistico a dimensione infinita). Si trova inoltre che le soluzioni dell’equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo sono le funzioni del tipo
ψn(x) = s 2 asin( nπ a x), n = 1, . . . , ∞.
Queste funzioni assomigliano alle onde stazionarie, ma bisogna sempre ri- cordare che la funzione d’onda non ha significato fisico. Per questo aspetto 174