Verso una probabilità quantistica: problemi episte-

Per quanto la teoria della probabilità abbia origini empiriche,1 il significato

dell’applicazione del concetto di probabilità alla realtà empirica ha porta- to a dibattiti epistemologici molto accesi [72]: la probabilità è un esempio di paradosso epistemologico, cioè l’uso di un concetto di base senza la sua piena comprensione. Una difficoltà nell’interpretazione empirica della pro- babilità ha origine dall’idea che l’esperienza possa essere trattata come un concetto dato e la probabilità come un concetto applicato all’esperienza. La comprensione del concetto di esperienza, invece, non può avvenire senza l’uso del concetto di probabilità.

Un altro paradosso sorge quando esaminiamo la relazione fra la teoria della probabilità e la meccanica quantistica. Premesso che la teoria della probabilità può essere presentata in forma assiomatica, l’uso empirico del concetto di probabilità sembra allora voler dire che agli assiomi si può asse- gnare un significato empirico. D’altra parte certi fenomeni fisici si spiegano con la meccanica quantistica. Ci si dovrebbe aspettare perciò che la verifi- ca sul significato empirico della probabilità debba essere condotta cercando di applicare il concetto di probabilità alla meccanica quantistica. Ma gli assiomi della teoria classica della probabilità non valgono per la meccani- ca quantistica: abbiamo visto ad esempio che una caratteristica peculiare della probabilità quantistica è l’interferenza di probabilità e che ci si de- ve riferire non a probabilità misurabili ma a ampiezze di probabilità. Ciò comporta, vedremo, un cambiamento degli assiomi. Quindi se un sistema assiomatico di probabilità deve essere applicato all’esperienza in accordo con le leggi della natura oggi osservate, tale sistema non può essere quello della probabilità classica.

Weizsächer [op. cit.] analizza il concetto di probabilità della teoria clas- sica per mettere in evidenza le difficoltà epistemologiche. Se interpretiamo la probabilità in senso strettamente empirico, considerandola come quan- tità misurabile, data una situazione sperimentale in cui diversi eventi Ei

sono i possibili esiti, si può definire la frequenza relativa. Se consideria- mo una serie futura di esiti dello stesso esperimento, ipotizziamo che le

1_{In particolare la teoria della probabilità ha preso il via da problemi su giochi d’az-}

zardo. Storicamente è importante la data del 1654, quando un certo Antoine Gombaud, francese, detto Chevalier de Méré, pose a Pascal un problema di dadi che innescò l’inizio della riflessione teorica sul calcolo delle probabilità.

8. Gli strumenti matematici

nostre conoscenze ci consentano di calcolare la probabilità pk di Ek: tale

probabilità è interpretata come previsione della frequenza relativa per esiti futuri. L’obiezione epistemologica è illustrata da Weizsächer con un esem- pio: la probabilità che esca un certo numero col lancio di un dado è 1/6, ma se si lancia il dado un certo numero di volte, raramente la frequenza sarà esattamente uguale a 1/6; inoltre la teoria della probabilità prevede una distribuzione della frequenza intorno al valore previsto della probabili- tà. Nella teoria classica quindi la probabilità è un valore medio (valore di aspettazione), la cui definizione però si basa sulla definizione di probabilità. La difficoltà, dice Weizsächer, non sta nel concetto di probabilità ma in che cosa si intende per verifica empirica di una previsione teorica. In breve, egli afferma che la verifica empirica di una teoria non è mai possibile con certezza, ma solo con un certo grado di probabilità, ed è perciò in questo senso che il concetto di esperienza scientifica nell’uso pratico presuppone l’applicabilità di un concetto di probabilità anche se questo concetto non è esplicitamente articolato. Ecco perché il tentativo di definire la probabilità sulla base di un concetto di esperienza è destinato a condurre a una defi- nizione circolare ed ecco anche perché è impossibile definire il concetto di esperienza sulla base della probabilità. Esperienza e probabilità non sono in una relazione di subordinazione gerarchica.

Non seguiamo nel dettaglio il percorso seguito da Weizsächer per risolve- re il paradosso epistemologico. Seguiamo però l’esempio fisico che fornisce per mostrare che è possibile costruire una teoria quantistica della probabi- lità a partire da postulati semplici. Bisogna anzitutto stabilire che cosa si intende per eventi: se gli eventi sono tutti i possibili esiti di un esperimen- to, non è necessario cambiare gli assiomi; se gli eventi sono i possibili esiti di tutti i possibili esperimenti che possono essere compiuti su un sistema, allora gli eventi sono sottospazi di uno spazio di Hilbert. Come esempio semplice possiamo considerare il caso dello spin: il sistema può assumere solo due stati, ciascuno espresso da una funzione d’onda, e quindi si trova in uno spazio di Hilbert a due dimensioni. Ma se abbiamo un insieme di N og- getti a due stati, lo stato complessivo sarà descritto da una funzione d’onda in uno spazio a 2N _{dimensioni. Il postulato che aggiunge Weizsächer, per}

rendere consistente la sua teoria della probabilità quantistica, è che la pro- babilità di un evento è il valore di aspettazione della frequenza relativa del suo verificarsi. Tale valore di aspettazione non è definito nello spazio a due dimensioni, ma nello spazio a 2N _{dimensioni (che chiama metaeventi). Dal}

punto di vista epistemologico, non è stato eliminato il concetto preliminare di probabilità, che risultava impreciso, ma è stato trasferito dall’insieme di eventi all’insieme di metaeventi.

8.4. La probabilità