3.6 Rielaborazione e precostruzione
4.1.3 Meccanica ondulatoria
la funzione d’onda Mentre nella formulazione delle matrici il nucleo concettuale è nel significato di misura e di osservabile fisica, la meccanica ondulatoria è fondata sul concetto di stato (per una trattazione più appro- fondita, cfr. ad esempio [38]). Nel 1926 Schrödinger formulava in maniera precisa l’ipotesi di de Broglie, mediante un’equazione che definiva la fun- zione d’onda da associare a una particella e la relativa evoluzione tempo- rale. L’equazione di Schrödinger è dunque l’equazione fondamentale della meccanica quantistica: i~∂Ψ ∂t = − ~2 2m ∂2Ψ ∂x2 + V Ψ (4.1)
dove la funzione Ψ si chiama funzione d’onda, che non è un’entità fisica, ma uno strumento matematico. Si tratta, secondo un’interpretazione detta statistica, di una funzione tale che |Ψ(x, t)|2dx è la probabilità di trovare
4. La meccanica quantistica
la particella fra x e x + dx all’istante t. Questo significato della funzione d’onda fu precisato da Born nel 1926, sulla base di esperimenti di diffusione di elettroni su un ostacolo. Dall’interpretazione statistica della funzione d’onda segue la cosiddetta condizione di normalizzazione:
Z +∞
−∞ |Ψ(x, t)| 2 = 1,
che rappresenta la certezza di trovare la particella in tutto lo spazio. Le funzioni d’onda sono elementi di uno spazio vettoriale astratto, in generale uno spazio di Hilbert a dimensione infinita. Una caratteristica importante di questo spazio è che, se f(x) appartiene a uno spazio di Hilbert, deve essere
Z b
a
|f (x)|2dx < ∞,
perché ciò assicura l’esistenza del prodotto interno.3 Se ogni funzione nel-
lo spazio di Hilbert può essere espressa come combinazione lineare di un insieme di funzioni, tale insieme si dice completo:
f (x) =
∞
X
n=1
cnfn(x).
Per semplicità tale insieme può essere reso ortonormale. Faremo uso di que- sti concetti quando vedremo come costruire, da un punto di vista didattico, un pacchetto d’onde localizzato a partire da funzioni sinusoidali.
osservabili e operatori Le osservabili fisiche sono rappresentate da operatori. L’operatore x rappresenta la posizione e l’operatore ~
i ∂ ∂x rap-
presenta la quantità di moto. Tutte le altre variabili dinamiche posso- no essere espresse con gli operatori x e p (in particolare l’energia, ovvero hamiltoniana).
Data un’osservabile Q(x, p), il suo valor medio è hQi =
Z
Ψ∗QΨdx.ˆ
Poiché la media di misure deve essere reale, deve essere hQi = hQi∗
cioé Z
Ψ∗QΨdx =ˆ
Z
Ψ( ˆQΨ)∗dx (4.2)
3Le funzioni che soddisfano questa condizione si chiamano a quadrato integrabile.
4.1. Alcune formulazioni della meccanica quantistica
per qualsiasi funzione d’onda Ψ. Gli operatori che soddisfano questa con- dizione si chiamano hermitiani.
In generale una caratteristica della meccanica quantistica è l’indeter- minazione: quando si misura un’osservabile Q su un insieme di sistemi preparati allo stesso modo, tutti nello stato Ψ, non si ottiene ogni volta lo stesso risultato. Esemplifichiamo questo concetto con la misura dello spin di una particella. Dato un insieme di particelle a spin 1/2, tutte nello stesso stato, se misuriamo lo spin di tutte le particelle, l’esito della misura non può essere previsto con certezza: otteniamo spin 1/2 o -1/2 con probabilità uguali. Se però esistono stati determinati Ψ, in cui cioè ogni misura di Q fornisce il valore q, si avrà
ˆ
QΨ = qΨ. (4.3)
La (4.3) si chiama equazione agli autovalori, dove Ψ è una autofunzione e q il relativo autovalore. In riferimento all’esempio dello spin, se è vero che misurando lo spin di una particella il risultato non può essere previsto con certezza, una volta fatta una prima misura e ottenuto, ad esempio, il valore 1/2, una seconda misura dello spin fornirà, con certezza, come esito il valore 1/2. La prima misura, infatti, ha portato lo stato del sistema a coincidere con un autostato e quindi la seconda misura fornisce come esito un autovalore relativo a quell’autostato.
Dall’equazione di Schrödinger si ottiene un’importante equazione agli autovalori, le cui soluzioni consentono di conoscere l’evoluzione temporale della particella (per dettagli sulle soluzioni dell’equazione di Schrödinger, cfr. appendice B). Se si esamina il caso particolare in cui il potenziale non dipende dal tempo e si ipotizzano soluzioni del tipo
Ψ(x, t) = ψ(x)f (t)
dette separabili, si trova che la parte temporale della funzione d’onda è data da
f (t) = e−iE~t
mentre la parte spaziale verifica l’equazione
−~
2
2m d2ψ
dx2 + V ψ = Eψ, (4.4)
detta equazione di Schrödinger indipendente dal tempo, dove E è una co- stante. Le soluzioni separabili sono importanti perché rappresentano i co- siddetti stati stazionari e sono anche stati con energia totale definita. Il primo membro della (4.4) infatti, se si esprime la quantità di moto come
4. La meccanica quantistica
operatore, è l’hamiltoniana del sistema, e quindi la stessa equazione si può scrivere
ˆ
Hψ = Eψ,
che è un’equazione agli autovalori, da cui risulta che la costante E è proprio l’energia.
operatori con insieme continuo di autofunzioni In generale so- no importanti le autofunzioni di operatori hermitiani, che corrispondono fisicamente a stati determinati di grandezze osservabili. A questo proposi- to, si possono verificare due possibilità: se le autofunzioni costituiscono un insieme discreto, allora si trovano in uno spazio di Hilbert e rappresentano stati fisici realizzabili; se le autofunzioni costituiscono un insieme continuo, allora non sono normalizzabili, non rappresentano stati fisici possibili ma le loro combinazioni lineari possono essere normalizzabili.
Un esempio di operatore con insieme continuo di autofunzioni è la quan- tità di moto, per il quale l’equazione agli autovalori è
~ i
d
dxfp(x) = pfp(x) con soluzioni del tipo
fp(x) = Aeipx/~.
Queste funzioni non sono a quadrato integrabile per qualunque valore com- plesso di p, quindi l’operatore quantità di moto non ha autofunzioni nello spazio di Hilbert. Se ci si limita a considerare autovalori reali, si ricavano le funzioni fp(x) = 1 √ 2π~e ipx/~
che verificano una condizione di ortonormalità del tipo
Z +∞
−∞ f ∗
p0(x)fp(x)dx = δ(p − p0).
Le autofunzioni dell’operatore quantità di moto costituiscono però un insie- me completo: ogni funzione a quadrato integrabile può essere scritta nella forma
f (x) = √1 2π~
Z
c(p)eipx/~dp
con opportuni coefficienti, che possono essere calcolati dalla teoria.
Un’altra caratteristica delle autofunzioni dell’operatore quantità di moto è che sono sinusoidali, con
λ = 2π~ p 60
4.1. Alcune formulazioni della meccanica quantistica
(lunghezza di de Broglie). Anche se in realtà non esiste una particella con quantità di moto definita, la relazione di de Broglie si applica a un pacchetto d’onde normalizzabile con un piccolo intervallo di quantità di moto. Quindi anche se le autofunzioni della quantità di moto con autovalori reali non rappresentano stati fisicamente possibili, sono comunque utili.
interpretazione statistica generalizzata Insieme con l’equazione di Schrödinger, il fondamento della meccanica quantistica è l’interpretazione statistica generalizzata: una misura dell’osservabile Q(x, p) su una particella nello stato Ψ(x, t) fornisce con certezza uno degli autovalori dell’operatore hermitiano ˆQ(x, −i~dxd).
Se lo spettro di ˆQ è discreto, la probabilità di trovare il particolare au- tovalore qn associato all’autofunzione normalizzata fn(x) è |cn|2, mentre se
lo spettro è continuo, con autovalori reali q(z) e corrispondenti autofunzioni ortonormalizzate fz(x), la probabilità di trovare un risultato nell’intervallo
dz è |c(z)|2dz.
In seguito alla misura, la funzione d’onda collassa nell’autostato cor- rispondente (come si è detto prima, nell’esempio della misura dello spin). Poiché le autofunzioni costituiscono un insieme completo, la funzione d’onda può essere scritta come
Ψ(x, t) =X
n
cnfn(x)
(questo nel caso discreto, nel caso continuo la sommatoria diventa un inte- grale). Poiché le autofunzioni sono ortonormali, si può ricavare
cn=
Z
fn(x)∗Ψ(x, t)dx.
È importante sottolineare quanto segue: è errato dire che |cn|2 è la pro-
babilità che la particella si trovi nello stato fn, perché la particella è nello
stato Ψ; si deve dire che |cn|2 è la probabilità che una misura di ˆQ fornisca
il valore qn. La probabilità totale deve essere uno:
X
n
|cn|2 = 1
e ciò si può vedere anche dalla normalizzazione della funzione d’onda. Nel caso della quantità di moto si è trovato che le autofunzioni sono
fp(x) =
1 √
2π~e
4. La meccanica quantistica quindi c(p) = Z fp∗Ψdx = √1 2π~ Z e−ipx/~Ψ(x, t)dx.
Questa funzione è chiamata funzione d’onda nello spazio dei momenti e indicata con Φ(p, t). Risulta essere la trasformata di Fourier della funzio- ne d’onda Ψ(x, t), che quindi è a sua volta l’antitrasformata di Fourier di Φ(p, t). Secondo l’interpetazione statistica generalizzata, la probabilità che una misura della quantità di moto fornisca un risultato nell’intervallo dp è |Φ(p, t)|2dp.