Cammini di Feynman

ampiezza di transizione Le idee che stanno alla base della meccanica quantistica sono state presentate da Feynman in un ciclo di lezioni per non specialisti alla University of California negli anni ottanta del Novecento [27]. Feynman si proponeva di spiegare l’elettrodinamica quantistica (QED), “la strana teoria della luce e della materia”, cioè dell’interazione fra luce e elettroni, che, dice Feynman ai suoi lettori, “descrive tutti i fenomeni del mondo fisico tranne la forza di gravità”. Anche in questa formulazione assume molta importanza il concetto di ampiezza di probabilità, ma tale quantità ha il carattere di ampiezza di transizione, legata quindi non alla probabilità che il sistema si trovi in un certo stato, ma alla probabilità che passi da uno stato iniziale a uno stato finale.

Il carattere probabilistico dei fenomeni quantistici è illustrato da Feyn- man con il seguente esperimento. Inviando fotoni monocromatici da una sorgente verso un blocco di vetro, con un rivelatore posto all’interno del vetro e uno all’esterno dalla stessa parte della sorgente si trova ad esempio che il 4% dei fotoni viene riflesso e il 96% attraversa la superficie. Non è possibile prevedere con certezza se un fotone sarà riflesso o attraverserà la superficie: si può solo assegnare una certa probabilità. Feynman propone anche l’esperimento della riflessione parziale su due superfici. Se si consi- dera ad esempio una lamina sottile, una parte dei fotoni saranno trasmessi e un’altra parte saranno riflessi. Poiché le superfici riflettenti sono due, quella anteriore e quella posteriore, si potrebbe pensare che la percentuale di fotoni riflessi sia 8%. Si trova invece che tale percentuale varia al variare dello spessore, in particolare con andamento oscillatorio, da un minimo di zero a un massimo del 16%.

Feynman definisce un vettore, chiamato ampiezza di transizione, il cui modulo al quadrato è la probabilità che il fotone arrivi in un certo punto. Ogni ampiezza corrisponde a un modo in cui il fotone può arrivare in quel punto. Egli sottolinea infatti che un evento in genere si può verificare in 62

4.1. Alcune formulazioni della meccanica quantistica

Figura 4.1: Ampiezza di transizione

più modi. Ad esempio, nella riflessione della luce su una lamina sottile, il fotone può riflettersi sia nella superficie anteriore che in quella posteriore.

calcolo delle ampiezze Per illustrare ai non specialisti le regole con cui si trattano le ampiezze, Feynman suggerisce di immaginare un crono- metro con una sola lancetta, che parte dallo zero (punto B della figura 4.1) nell’istante in cui parte il fotone e gira con velocità pari a quella della luce monocromatica in esame. La direzione in cui si ferma la lancetta nel mo- mento in cui il fotone arriva a destinazione e si arresta il cronometro è la direzione del vettore che rappresenta l’ampiezza. La lunghezza del vettore è tale che il suo quadrato è pari alla probabilità. Poiché abbiamo visto che la superficie del vetro riflette circa il 4% dei fotoni che la colpiscono, i vettori avranno lunghezza di circa 0,2 in unità fissate.

Consideriamo ad esempio il caso della riflessione sulla lamina sottile. Supponiamo che il fotone arrivi al rivelatore dopo essere stato riflesso dalla superficie anteriore e che la lancetta del nostro cronometro si sia fermata in C. Poiché la riflessione è avvenuta sulla superficie frontale, una regola da tener presente nel disegnare le ampiezze è che bisogna cambiare il verso del vettore ottenuto. L’ampiezza sarà quindi rappresentata dal vettore DE della figura 4.2. Se il fotone invece viene riflesso dalla superficie posterio- re, impiegherà un po’ di tempo in più, quindi la lancetta del cronometro arriverà, poniamo, in F . A questa riflessione corrisponde l’ampiezza rap-

4. La meccanica quantistica

Figura 4.2: Somma di ampiezze

Figura 4.3: Somma di ampiezze

presentata dal vettore EG della figura 4.2. Le ampiezze si sommano come si sommano i vettori, quindi l’ampiezza risultante sarà il vettore GD della figura 4.2. Il vettore risultante avrà quindi una lunghezza di circa 0,05. Tale ampiezza corrisponde a una probabilità molto bassa, di circa 0,25 %.

Se si aumenta lo spessore della lamina, il fotone riflesso dalla superficie posteriore impiegherà ancora un po’ di tempo in più e la lancetta del cro- nometro si fermerà, poniamo, in H (figura 4.1). L’ampiezza corrispondente sarà data, nella figura 4.3, dal vettore JL e l’ampiezza risultante dal vettore KL, che corrisponde a una probabilità di circa 5%. Se si aumenta ancora lo spessore della lamina in maniera tale che la lancetta del cronometro si fermi in O (figura 4.1), si otterrà una probabilità del 16% (vedi figura 4.4). Se si aumenta ancora lo spessore, si arriverà a una situazione in cui la lan- cetta del cronometro si fermerà di nuovo in C e la probabilità sarà zero. 64

4.1. Alcune formulazioni della meccanica quantistica

Figura 4.4: Somma di ampiezze

Con queste basi si spiega il comportamento oscillatorio della probabilità di riflessione.

La regola è quindi che la probabilità di un evento che si può verificare in più modi si trova sommando prima le ampiezze relative a tutti i modi in cui l’evento si può verificare e poi facendo il quadrato dell’ampiezza totale. Feynman usa questo modello anche per spiegare la riflessione, che ci si aspetta che avvenga solo nella parte centrale di uno specchio, ove l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione. In realtà i fotoni possono riflettersi sullo specchio seguendo un qualsiasi percorso. Bisogna calcolare l’ampiezza per tutti i possibili modi in cui si può riflettere il fotone. Tali ampiezze saranno rappresentate da vettori che hanno tutti lo stesso modu- lo ma diversa direzione, perché diverso è il tempo impiegato dal fotone a seguire i vari percorsi. Se si disegna il vettore che rappresenta l’ampiezza risultante, si trova che le ampiezze che danno un maggior contributo sono quelle relative alla riflessione nella parte centrale dello specchio.

eventi composti Feynman illustra poi il calcolo della probabilità per eventi composti e mostra un’altra maniera di trattare le ampiezze. Poiché l’ampiezza è un vettore che ha un modulo e una direzione (cioè forma un certo angolo con una direzione fissata), si trova che per eventi che avven-

4. La meccanica quantistica

Figura 4.5: Doppia fenditura

gono in successione combinare le ampiezze per ottenere l’ampiezza totale equivale a moltiplicare le lunghezze dei rispettivi vettori e sommare i rispet- tivi angoli. Osserviamo che questa è la proprietà del prodotto fra numeri complessi espressi in forma esponenziale. Da questo si può capire come l’ampiezza di probabilità sia un numero complesso.

Insomma, mentre nelle situazioni che Feynman chiama “abituali” valgo- no le regole di composizione classiche della probabilità (somma, per eventi alternativi, e prodotto, per eventi in successione o concomitanti), in mec- canica quantistica, invece, anziché sommare e moltiplicare probabilità si devono sommare e moltiplicare ampiezze, e la probabilità è il quadrato dell’ampiezza.

Feynman illustra anche l’esempio della doppia fenditura: una luce mo- nocromatica molto debole (al limite costituita da singoli fotoni) viaggia da una sorgente S al rivelatore D (cfr. figura 4.5) e attraversa uno schermo con due fori A, B distanti alcuni millimetri (A allineato con S e D). Se S e D sono a 1 m, il diametro dei fori deve essere inferiore a 1/10 di mm. Se si chiude alternativamente A o B, il numero di fotoni che arriva in D è circa lo stesso. Se sono aperti entrambi i fori si vede interferenza. Se si mettono in A o B rivelatori per vedere dove passa il fotone quando entrambi i fori sono aperti, si distrugge l’interferenza e la probabilità di trovare il fotone in D è la somma delle singole probabilità. Per calcolare correttamente la probabi- lità di un evento, si deve definire con chiarezza l’evento completo. In questo caso, ad esempio, volendo calcolare la probabilità che il fotone vada da S a D senza rivelatori in A e B, l’evento è solo lo scatto del rivelatore in D. Se invece si mettono rivelatori in A e B, ci sono due eventi completi: scattano i rivelatori in A e D; scattano i rivelatori in B e D. Per calcolare la proba- bilità che vi sia uno scatto nei rivelatori in A e D, si devono moltiplicare le ampiezze del passaggio del fotone da S a A e da A a D; analogamente per calcolare la probabilità che vi sia uno scatto in B e D.