3.2 I dati ricavati dal nostro questionario
3.2.1 Considerazioni preliminari sui due campioni
Con l’obiettivo di avere un’idea preventiva sul grado di confidenza con la matematica, e di apprezzamento della materia dei due campioni, abbiamo posto alcune domande preliminari.
Esperienza con la matematica
Nella prima di queste abbiamo chiesto ai soggetti se i loro voti in matematica fossero alti, cio`e sopra la media della propria classe, nella media, o bassi, ovvero sotto la media. Dai risultati si evince che il campione 1 raccoglie persone che avevano voti piuttosto alti in matematica, confermando quindi la previsione che avrebbero costituito un campione sopra la media dal punto di vista del successo scolastico matematico. D’altra parte, il campione 2 presenta percentuali pi`u distribuite. Una seconda
alti41.9% medi37.8% bassi20.3% (a) campione 1 alti23.5% medi50% bassi26.5% (b) campione 2
Figura 3.1: voti in matematica.
domanda chiedeva di descrivere il proprio rapporto con la matematica, selezionando una o pi`u opzioni tra le dieci proposte (la odio, non la capisco, sbaglio spesso i calcoli, capisco le strategie e le formule, mi affascina, comprendo i ragionamenti, mi sono chiari i significati, ha molte applicazioni, mi piace, `e la mia materia preferita). Anche in questo caso il campione 1 ha messo in evidenza un buon rapporto con la matematica, con molte preferenze per opzioni positive quali “mi piace”, “mi affascina”, “ha molte applicazioni” e “comprendo i ragionamenti”. Viceversa ci sono poche preferenze per le opzioni negative, come “la odio” e “non la capisco”. Anche il campione 2 ha dimostrato di avere un certo apprezzamento per la matematica: le
0 20 40 60 la odio
non la capisco sbaglio i calcoli non capisco strategie e formule mi affascina comprendo i ragionamenti mi sono chiari i significati ha molte applicazioni mi piace `e la mia materia preferita
campione 2 campione 1
Figura 3.2: rapporto con la matematica.
opzioni pi`u gettonate sono “mi piace” e “comprendo i ragionamenti”. Questo conferma che la partecipazione volontaria ad un questionario di argomento matematico pu`o portare ad una sorta di autoselezione verso l’alto del campione stesso relativamente al rapporto con la matematica. La pi`u bassa in assoluto per il campione 2 `e “ha molte applicazioni”, probabile sintomo del fatto che, anche in scuole superiori come i licei, i molti ambiti di applicazione della matematica non sono ancora ben noti.
Stime e combinatoria
In una terza domanda, dopo aver spiegato il gioco del Superenalotto, si chiedeva di stimare quale fosse la probabilit`a di vincere il jackpot, cio`e di indovinare il sottoinsieme dei sei numeri estratti, lasciando la libert`a di esprimere tale probabilit`a come meglio il soggetto credesse (percentuali, frazioni, parole, ecc). Con questo quesito si `e cercato di entrare pi`u nel dettaglio riguardo alle conoscenze matematiche nel campo della probabilit`a e della combinatoria. Come `e noto, i sottoinsiemi di sei elementi di un insieme di 90 elementi sono 906
di una probabilit`a su 622.000.000 di azzeccare il sei. Abbiamo suddiviso le risposte nelle categorie di
• enorme sovrastima: per valori fino all’ordine dell’1 su 1000;
• sovrastima: per valori fino all’ordine dell’1 su 1 milione;
• corretta: per valori fino all’ordine dell’1 su 1 miliardo e oltre;
• sottostima: per valori spropositatamente bassi.
In diversi casi la risposta `e stata la produttoria 901 · 891 · · ·851, dimenticando di moltiplicare per le 6! permutazioni. Seppure il risultato sia molto sottostimato, tutte queste risposte sono state considerate “corrette”, ritenendolo un buon modo di avere un idea, a grandi linee, dell’ordine di grandezza del risultato, e apprezzando il riconoscimento dei sei eventi casuali indipendenti e del non reinserimento. Per questa domanda i risultati si sono molto diversificati tra i due campioni. Di nuovo il campione 1 ha mostrato di essere ben oltre la media, con una percentuale di risposte “corrette” di quasi il 50%, seppure con oltre il 30% di risposte grandemente sovrastimate. I soggetti del campione 2 invece, con solo il 20% di risposte “corrette”, hanno dimostrato una conoscenza piuttosto scarsa della combinatoria, sebbene quasi i 3/4 di loro abbiano voti nella media o superiori. Da sottolineare che, per entrambi i campioni, l’errore va quasi sempre verso la sovrastima della probabilit`a di vincere, col preoccupante dato di quasi il 70% di enormi sovrastime del campione 2. Dunque sembrerebbe che, se si sbaglia a stimare le possibilit`a di vittoria al Superenalotto (ma per analogia a qualunque lotteria con estrazioni), purtroppo lo si fa per eccesso, credendo che vincere sia pi`u facile di quello che realmente `e. Una possibile interpretazione di questo dato `e che nel momento in cui non si `e in grado di impostare un calcolo matematico, si cerca di fornire una risposta pi`u o meno intuitiva dichiarando quella che nella propria opinione si ritiene essere una “adeguata” probabilit`a, che per`o nella gran parte dei casi risulta essere troppo grande.
e. sovr.31.1% sovr.7.4% corr. 47.9% sottost.altro9.5%4.1% (a) campione 1 e. sovr.68.8% sovr.7.5% corr.20.4% altro3.3% (b) campione 2
Figura 3.3: stime della probabilit`a di jackpot al Superenalotto.
Stima della probabilit`a sulla base della conoscenza o meno del gioco Per finire abbiamo posto una domanda meno attinente al campo matematico, legata alla stima della probabilit`a in ambito di gioco d’azzardo, sulla base della conoscenza o meno del gioco stesso. Si domandava di immaginare, giocando ad un comune gratta e vinci da 5 euro, quale sia a grandi linee, la probabilit`a di trovare un premio (da 5 euro in su). Come sappiamo, il dato, fornito per legge, `e del 25%. Similmente a quanto fatto per la precedente domanda, abbiamo suddiviso le risposte nelle categorie di
• sovrastima: per valori oltre il 40%;
• corretta: per valori tra il 15% e il 40%; • sottostima: per valori tra il 2% e il 15%;
• enorme sottostima: per valori pi`u piccoli.
In questo caso i risultati sono stati pi`u sorprendenti, poich´e il campione 2 `e stato pi`u preciso del campione 1. Un soggetto su tre del campione 2 ha infatti risposto correttamente, contro soltanto uno su cinque del campione 1. La sovrastima `e stata poco gettonata da entrambi i campioni. Quello che colpisce `e il dato sulla sottostima: nel campione 1, tre su quattro sottostimano le probabilit`a di vincita al gratta e vinci, e per oltre la met`a di questi la sottostima `e molto grande. Va leggermente meglio per il campione 2, in cui oltre la met`a dei soggetti sottostimano la probabilit`a di vincita, ma per la gran parte di questi la sottostima non `e eccessiva. `E probabile che una parziale spiegazione a tale (inattesa) disparit`a tra i due campioni, sia la percentuale
e. sott.39.9% sott.35.1% corr.20.3% sovr. o altro4.7% (a) campione 1 e. sott.9.9% sott.42% corr.33.3% sovr. o altro14.8% (b) campione 2
Figura 3.4: stima della probabilit`a di vincere un premio al gratta e vinci.
pi`u alta di giocatori presente nel campione 2: il fatto di avere pi`u esperienza di gioco in ambito di gratta e vinci pu`o essere un fattore determinante nel riuscire a stimare con pi`u precisione le chance di vincita. `E da notare che, in ogni caso, per il gratta e vinci succede il contrario di quanto accade per il Superenalotto. Portando avanti l’interpretazione che abbiamo dato per la domanda precedente, se per quest’ultimo, nel momento in cui non si riesce a calcolare matematicamente la probabilit`a del jackpot, non si `e, in media, cos`ı ben consapevoli di quanto sia minima la probabilit`a di vittoria, per il gratta e vinci la stima “non matematica” basata sull’esperienza e sull’intuito (che `e l’unica possibile, non avendo dati di partenza) d`a il risultato opposto: si tende a sottostimare le chance di successo, e dunque verosimilmente si vince pi`u spesso di quanto ci si aspetta. Tutto ci`o andrebbe a confermare quanto da noi sostenuto nel primo capitolo, assecondando la gi`a ampiamente analizzata strategia di allargamento della platea e di stimolo al ritorno al gioco.
Un’altra possibile interpretazione di tali sottostime (soprattutto per il campione 1), non contraddittoria rispetto a questa, pu`o essere quella secondo la quale in questa domanda il rispondente, non potendo impostare un calcolo matematico come nella precedente ma dovendo rispondere con un’opinione personale, e immaginando che si stia testando qualcosa della sua persona (verosimilmente la sua ingenua fiducia nelle possibilit`a di vincere), sia portato a dare una risposta sottostimata. In quest’ottica sarebbero spiegati i cattivi risultati del campione 1, quello cio`e che `e stato maggiormente colpito dal fatto di aver tolto la possibilit`a di rispondere attraverso un calcolo matematico.
Conclusioni sulle conoscenze generali
In conclusione risulta, in linea con le previsioni, che per quanto concerne le conoscenze, il campione 1 sia abbastanza sopra la media, mentre il campione 2 sia ad un livello pi`u basso: laddove l’intuizione non arriva facilmente, e serve aiutarsi con qualche formula matematica (Superenalotto), i soggetti del campione 1 hanno fornito risposte mediamente pi`u corrette. Viceversa il campione 2, pi`u inaspettatamente, laddove la probabilit`a di vittoria non `e data da una formula matematica (gratta e vinci), e una stima della stessa va ricavata sulla base di conoscenze empiriche o di “opinioni pregiudiziali”, presenta risultati migliori.