Terza lezione: approfondimento su legge dei grandi numeri

Se la classe risponde in modo particolarmente positivo si pu`o anche scegliere di effettuare ora un breve approfondimento focalizzato sulla legge dei grandi numeri. Finora si `e parlato di legge dei grandi numeri in termini generici, dicendo che da essa deriva la forte valenza predittiva della quantit`a che abbiamo chiamato “valore atteso”, a patto che le serie di giocate siano abbastanza lunghe. Ma cosa afferma per la precisione la legge dei grandi numeri?

Si parte da una variabile aleatoria X, come ad esempio il premio del gratta e vinci utilizzato in precedenza, e si suppone di ripetere n esperimenti (o tentativi, o giocate nel caso del gratta e vinci) indipendenti, ottenendo quindi n valori (aleatori)

X1, . . . , Xn. Si denota poi con ¯Xn la media campionaria, o media empirica ottenuta:

¯

Xn=

X1+ · · · + Xn

n . (4.10)

Si introduce, senza entrare nei dettagli dato che non `e questo lo scopo, la costante

σ2 = V ar(X), come un valore chiamato “varianza”, intrinseco alla natura di X, che ne misura la variabilit`a, ovvero la propensione ad assumere valori distanti tra loro: pi`u ci`o avviene, pi`u σ2 `e grande.

A questo punto si enuncia la legge dei grandi numeri. Questa afferma che per ogni ε > 0 si ha che P  | ¯Xn− E(X)| ≥ ε  ≤ σ 2 nε2. (4.11) `

E importante in questa fase dare una opportuna e dettagliata spiegazione di tutto ci`o che `e appena entrato in gioco nell’enunciato: per ogni ε > 0 significa, in particolare, anche per i valori pi`u piccoli, e | ¯Xn− E(X)| non `e altro che lo scarto tra la media

l’evento che la media empirica si discosti da quella teorica di una quantit`a pi`u grande del fissato ε. Ebbene la disuguaglianza afferma che la probabilit`a di questo evento deve diventare sempre pi`u piccola con l’aumentare di n, poich´e il lato destro `e costituito dalla costante σ2/ε2 divisa per n.

Inoltre `e sempre utile vedere la situazione nell’ottica complementare: si sta affermando che scegliendo un ε piccolo a piacere, la probabilit`a che lo scarto | ¯Xn−

E(X)| sia pi`u piccolo di ε `e pi`u grande di 1 − σ2/nε2:

P



| ¯Xn− E(X)| ≤ ε> 1 − σ

2

nε2. (4.12)

Cio`e, se n `e abbastanza grande, possiamo rendere arbitrariamente vicina a 1 la probabilit`a che la media empirica sia vicina alla media teorica. E importante` sottolineare che allora il valore atteso assume forte valenza predittiva proprio quando

n diventa grande, e che ci`o giustifica il nome stesso della legge. Inoltre si osserva che, per avere una probabilit`a prossima ad 1, n dovr`a essere tanto pi`u grande quanto pi`u grande `e la varianza σ2, e tanto migliore `e il grado di approssimazione richiesto (cio`e tanto minore `e ε).

Per dare concretezza a quanto spiegato, pu`o essere utile mostrare qualche calcolo svolto su di un esempio pratico con probabilit`a elementari degli eventi complemen- tari, come quello del lancio ripetuto di una moneta. Anche questa attivit`a pu`o essere accompagnata con un foglio di calcolo attraverso il quale provare qualche sperimentazione.

4.2.4 Quarta lezione: Superenalotto e combinatoria

L’analisi del gioco del Superenalotto offre l’occasione di introdurre i concetti pi`u importanti della combinatoria. Volendo calcolare la probabilit`a di vincere il jackpot infatti, ci si rende subito conto che l’applicazione del metodo dei casi favorevoli divisi per i casi totali non `e affatto facile come in altre situazioni. L’argomento per motivare alla classe la lezione sulla combinatoria quindi, sar`a proprio quella di riuscire a calcolare probabilit`a di eventi anche in casi complessi.

Innanzitutto deve essere chiara a tutti la modalit`a di gioco del Superenalotto, dunque l’insegnante deve spiegare il gioco nel caso in cui qualcuno non lo conosca. Oltre al fatto che le estrazioni sono fatte senza reinserimento, `e importante sottolineare che al fine della vittoria non `e rilevante l’ordine di estrazione dei numeri, ma soltanto quali sono i numeri che compongono la sestina. Anticipando il momento della formalizzazione teorica che avverr`a successivamente, si possono quindi identificare le sestine con i sottoinsiemi dell’insieme I = {1, 2, . . . , 90}, formati da 6 elementi, proprio in quanto:

1. non ci sono ripetizioni;

2. l’ordine non `e importante (cio`e tutte le sequenze in cui compaiono gli stessi sei numeri sono la stessa sestina).

Si presenta ora il problema: supponendo di aver giocato una sestina, qual `e la probabilit`a di vincere il jackpot? Si tratta cio`<sub>e di calcolare P(A), dove A `e l’evento</sub> “fare 6”, verificato solo se si indovinano tutti e sei i numeri estratti. Considerando come esiti dell’estrazione del Superenalotto tutte le sestine possibili, sar`a evidente che l’unico esito favorevole all’evento A `e quello in cui viene estratta la sestina che abbiamo giocato. Allora si pu`o scrivere che

P(A) =

1

# sestine possibili (4.13)

spostando il problema sul calcolo del denominatore.

A nostro giudizio un modo efficace ed accessibile per ragazzi di quarta liceo per risolvere il problema `e procedere per passi intermedi. Al primo passo di avvicinamento, detto S l’insieme delle sequenze ordinate di sei elementi distinti presi da I, si calcola |S|. Una tecnica per affrontare questo passaggio pu`o essere, ad esempio, quella di disegnare sei caselle consecutive da riempire con elementi di I, e scrivere sotto ad ognuna in quanti modi pu`o essere riempita: si avranno 90 possibilit`a per la prima, 89 per la seconda, 88 per la terza e cos`ı via. Il passo successivo `e capire che per ottenere il numero di sequenze ordinate possibili i valori trovati vanno moltiplicati tra loro.

Se questo passaggio non risultasse molto intuitivo, si pu`o ricorrere ad esempi pi`u semplici e familiari, ad esempio con sequenze ordinate di 2 elementi (cio`e le ben note coppie ordinate). Si arriva quindi a:

|S| = 90 · 89 · 88 · 87 · 86 · 85. (4.14)

Giunti fin qui, `e fondamentale che l’insegnante si accerti del fatto che per la classe sia chiaro perch´e non si `e ancora finito. Il punto chiave `e capire che le sequenze di

S sono ordinate, dunque ad esempio 1-2-3-4-5-6 ed 1-2-3-4-6-5 sono due elementi

distinti di S, e sono quindi contate come diverse, seppure costituiscano la stessa sestina. Dunque una sestina pu`o comparire in S in molti modi (cio`e ordinamenti) diversi. Con l’aiuto di un diagramma di Venn si pu`o rappresentare il grande insieme

S, e al suo interno raggruppare assieme tutte le sequenze che individuano la stessa

sestina, effettuando cio`e una partizione di S. Ognuno di questi gruppi rappresenta una sestina, ed `e costituito da un numero di sequenze pari al numero di modi in cui si possono ordinare 6 oggetti diversi. Indichiamo questo numero misterioso con F (6). Se questo numero fosse noto, per trovare il numero di sestine basterebbe dividere |S| per esso.

Il problema si `e spostato quindi nel calcolare F (6), cio`e in quanti modi si possono ordinare sei oggetti distinti: si pu`o riproporre lo schema con le sei caselle adiacenti. Un ordinamento non `e altro che un modo di riempirle con i sei oggetti a disposizione. Esattamente come in precedenza, la prima pu`o essere riempita in 6 modi, la seconda in 5 modi, e cos`ı via. Si giunge cos`ı a:

F (6) = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1, (4.15)

e quindi si ottiene finalmente il numero delle sestine possibili:

# sestine possibili = |S| F (6) =

90 · 89 · 88 · 87 · 86 · 85

da cui P(A) = _622.614.6301 .

A questo punto, nell’ottica di passare alla generalizzazione teorica di come calcolare il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi, si formalizza il concetto di fattoriale, osservando che il numero F (6) utilizzato in precedenza non `e altro che 6!. L’introduzione del concetto di fattoriale pu`o esser fatta sia in modo rigoroso attraverso al definizione induttiva, od in modo pi`u operativo come n! = 1 · 2 · 3 · ... · n (non dimenticando, in questo secondo caso, che 0! = 1), a seconda del livello della classe e delle tempistiche a disposizione.

Si passa cos`ı alla generalizzazione vera e propria, utilizzando la notazione del coefficiente binomiale n_k

per indicare il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi. Osservando che quello appena affrontato `e il caso particolare in cui n = 90 e k = 6, si ha che 90 6 ! = 90 · 89 · 88 · 87 · 86 · 85 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 90 · 89 · 88 · 87 · 86 · 85 6! , (4.17)

dove il numeratore non `e altro che 90!/84! = 90!/(90 − 6)!. Ripercorrendo analoga- mente il ragionamento del caso particolare, si giunge cos`ı a ricavare

n k

!

= n!

(n − k)! k!. (4.18)

Successivamente l’insegnante pu`o proporre un esercizio in cui applicare il nuovo strumento matematico, come ad esempio il calcolo della probabilit`a di fare 4 al Superenalotto, o quella di azzeccare l’ambo al Lotto giocando n numeri (n ≥ 2), eccetera.

Inoltre questo frangente `e anche una buona occasione per parlare di euristica della disponibilit`a, dato che un caso importante di disponibilit`a, come messo in evidenza dal questionario, si ha proprio nella scelta delle sestine del Superenalotto, o delle cinquine del Lotto, preferendo giocare quelle “assortite” a discapito di quelle in cui si riconosce una certa struttura, nonostante siano tutte equiprobabili. Pu`o essere interessante proporre in questa fase il quesito di Tversky e Kahneman sulla

disponibilit`a: dato un insieme di 10 elementi, sono di pi`u i sottoinsiemi composti da 2 elementi o quelli composti da 8 elementi? Il quesito infatti `e un’utile occasione in primo luogo per applicare la tecnica appena mostrata, scoprirne un’importante propriet`a (cio`e che n_k

= _n−kn

) e capirne il senso, ed in secondo luogo per mostrare un caso pratico in cui il risultato matematico non `e ben previsto dall’intuizione, se basata sulla disponibilit`a.