Seconda lezione: gratta e vinci e valore atteso

Nella seconda lezione si vuole prendere in esame il gioco del gratta e vinci per introdurre il concetto di valore atteso. All’inizio della lezione l’insegnante propone un sondaggio chiedendo alla classe quale sia, intuitivamente, la probabilit`a di trovare un premio comprando un gratta e vinci da 5 euro. Se le risposte rispecchieranno quelle ottenute nel nostro questionario, vi sar`a una buona percentuale di studenti che sottostimano tale probabilit`a. Si mostra poi alla classe il famoso spot dei gratta

e vinci (“ti piace vincere facile?”, “vinci spesso, vinci adesso”) e si raccolgono le impressioni degli studenti: cosa si intende con “vincere facile”? E con “vincere adesso”? Lo scopo di questa fase `e far ragionare gli studenti su quali messaggi lo spot vuole veicolare allo spettatore, per poi confrontarli con quelli intuitivi espressi nel sondaggio, e cercare di verificarli o smentirli attraverso il controllo matematico: da un lato (probabilmente) l’intuizione porta alla sottostima delle chance di trovare un premio, dall’altro la pubblicit`a suggerisce l’esatto contrario, ma qual `e la verit`a? A tale scopo l’insegnante informa la classe che un controllo di questo tipo pu`o essere concretamente attuato grazie al fatto che per legge i dati statistici relativi ai giochi devono essere pubblici. Se la classe `e fornita di un proiettore, l’insegnante proietta la schermata con i dati, altrimenti li fornisce alla classe distribuendo delle fotocopie che avr`a preparato in precedenza. Una possibilit`a `e anche quella di fornire inizialmente una schermata incompleta, tagliando il dato sulle probabilit`a di vittoria relative a ciascun premio, in modo che gli studenti possano cercare di ricavarne alcune, ripassando la definizione di probabilit`a data nella scorsa lezione, e di fornire la schermata completa successivamente, come riscontro. In questa fase, prendendo spunto dalle probabilit`a che vengono fuori per i premi pi`u grandi, una su 6 milioni, l’insegnante pu`o aprire una parentesi volta alla visualizzazione di quantit`a cos`ı infinitesime. Avere un’idea non vaga, ma precisa e chiara delle probabilit`a di vincita `

e fondamentale, ma non `e cos`ı facile quando i numeri sono cos`ı distanti dalla nostra esperienza di tutti i giorni. Ad esempio pu`o calcolare quanti km si possono percorrere allineando 6 milioni di biglietti uno dopo l’altro per terra, sapendo che uno soltanto `

e vincente.

L’insegnante pu`o inoltre chiedere quale sia la probabilit`a di trovare un premio, in modo da quantificare precisamente le affermazioni “vincere facile” e “vincere spesso” dello spot. A questo punto si possono confrontare i risultati ottenuti con le impressioni catturate dal sondaggio iniziale, e con lo spot stesso: `e davvero cos`ı bassa la probabilit`a di vincere un premio? Perch´e `e cos`ı relativamente alta? Allora ha ragione la pubblicit`a?

L’insegnante propone di cambiare prospettiva di osservazione, e mettendo da parte il problema della frequenza delle vincite, chiede quale sia, comprando un biglietto, la vincita che ci si aspetta. In prima battuta dovrebbe emergere, se necessario con l’aiuto di qualche semplice esempio da parte dell’insegnante, che la vincita attesa `

e rappresentata da una media calcolata sui premi, che chiamiamo premio medio. In secondo luogo `e necessario capire come calcolare tale media. Lasciati liberi di prendere l’iniziativa, gli studenti potrebbero proporre di farlo ad esempio attraverso la divisione tra montepremi complessivo e numero di biglietti stampati, oppure con la classica media aritmetica dell’entit`a dei premi. In questo secondo caso, se ce n’`e bisogno, l’insegnante pone l’attenzione sul fatto che i premi devono essere contati con la loro molteplicit`a, cio`e ad esempio con premio da 5 euro ce ne sono 13.140.000, con premio da 10 euro ce ne sono 7.200.000 e cos`ı via. Si pu`o introdurre cos`ı il concetto di media pesata, facendo notare che queste molteplicit`a costituiscono dei coefficienti, legati ai rispettivi premi, che si possono intendere come veri e propri pesi. In ogni caso l’insegnante fa notare che i tre tipi di soluzione (montepremi fratto numero di biglietti, media aritmetica, media pesata) sono essenzialmente lo stesso, e danno vita a:

premio atteso = 500.000 · 18 + 300.000 · 18 + · · · + 5 · 13.140.000

108.000.000 ≈ 3, 67. (4.7)

A questo punto si sfrutta l’occasione per giungere alla vera e propria definizione del valore atteso: introducendo informalmente il concetto di variabile aleatoria, l’insegnante chiama X il premio (aleatorio) di un singolo biglietto, e fa notare che

X = 0 euro, X = 5 euro, . . . , X = 500.000 euro, sono tutti eventi di cui abbiamo

calcolato le probabilit`a in precedenza, e costituiscono tutti i risultati possibili per la variabile X. Rinomina poi il premio atteso con la notazione E(X). Dalla formula per il calcolo del premio atteso, con semplici manipolazioni algebriche, si vede che si pu`o ottenere il valore finale trovato considerando la somma di ogni valore premio per

la sua probabilit`a:

E(X) = 500.000 · P(X = 500.000) + · · · + 5 · P(X = 5). (4.8)

L’insegnante fa poi osservare che questa formula `e facilmente estendibile al caso generale, in cui gli esiti possibili per X sono X = v1, . . . , X = vn, con:

E(X) =

n

X

i=1

vi· P(X = vi). (4.9)

Chiudendo la parentesi teorica, si torna al valore atteso del premio del gratta e vinci: 3,67 euro. Questo significa che, dato che si spendono 5 euro per comprare il biglietto, in media per ogni biglietto comprato si perdono 5 − 3, 67 = 1, 33 euro. Dunque si osserva che, nonostante la frequenza di vincita sia piuttosto alta, il risultato che ci si attende `e comunque quello di una perdita. In questa fase `e importante per l’insegnante sottolineare che il valore atteso ha s`ı valenza predittiva, ma solo per quanto riguarda le lunghe serie di giocate, mentre nelle brevi serie i risultati si possono discostare anche di molto dai valori attesi, introducendo di fatto la legge dei grandi numeri. Si potrebbe far “vedere” questo, facendo notare che il premio atteso non `e realizzabile con un solo acquisto (`e un valore che non esiste tra i premi) e che se si vincono 500.000 euro comprando un biglietto, ci discostiamo di molto dal premio atteso. Suggeriamo di preparare un foglio di calcolo simile a quello di figura 4.1, che riproduca virtualmente una o pi`u giocate al gratta e vinci (ovviamente con le probabilit`a corrispondenti a quelle reali) attraverso il quale offrire alla classe la possibilit`a di effettuare a piacere simulazioni di brevi o lunghe serie di giocate. `E infatti importante, nell’impossibilit`a di dimostrare la legge dei grandi numeri a causa dell’assenza degli opportuni mezzi teorici, sostenere comunque il suo enunciato con prove empiriche che simulino una quantit`a elevata di giocate. L’insegnante dapprima spiega il funzionamento del foglio, e poi mostra (non sar`a difficile aggiornando il foglio qualche volta) che la variabilit`a dei risultati `e molto alta se si imposta una serie di giocate breve, ad esempio di 5, 10 o 50 giocate. Passando per`o a serie

Figura 4.1: foglio di calcolo che simula serie di giocate al gratta e vinci.

molto lunghe, si nota come la legge dei grandi numeri inizi a fare effetto, poich´e i risultati si appiattiscono sui valori attesi, presentando variabilit`a molto pi`u bassa. La frequenza delle vincite sar`a del tutto in linea con quella attesa del 25% gi`a dalle 200-300 giocate in poi, mentre a causa dell’alta varianza del premio alla singola giocata del Miliardario, al dato del premio medio servir`a un numero di giocate pi`u alto (provare ad esempio con 10.000) per avvicinarsi pi`u stabilmente al valore atteso 3,67. Inoltre gli esperimenti sulle lunghe serie serviranno anche a dare forte riscontro positivo a quanto scoperto finora durante la lezione: il dato sulla frequenza dei premi, quello sul premio medio, e quello della perdita complessiva, erano tutti stati previsti dagli studenti precedentemente.

Questo pu`o essere il momento giusto per parlare anche di rappresentativit`a e fallacia del giocatore, introducendola alla classe proprio come misconcezione legata all’errata interpretazione della legge dei grandi numeri: se si trascura che per avere alta rappresentativit`a del dato teorico occorre un alto numero di giocate, si corre il rischio di credere nella propriet`a di auto-correzione delle sequenze casuali, e ad esempio di ritenere pi`u pi`u probabile una croce dopo tre teste consecutive, o che aumentando il numero di giocate su grandi numeri, ogni volta il singolo risultato porter`a la tendenza pi`u vicino a quella prevista.

Si conclude la lezione con le ultime considerazioni sulla pubblicit`a vista all’inizio. La classe ha adesso tutti gli strumenti per smascherare i messaggi fuorvianti dello

spot: non si vince spesso (una volta su quattro non `e certo spesso), ma comunque pi`u frequentemente di quanto ci si aspetta (a che scopo?), per`o le vincite parziali a lungo andare non compensano le spese, facendo s`ı che pi`u si gioca, pi`u si perde.