Prima lezione

La lezione, come da programma, `e iniziata col gioco del dado. I primi due studenti che si sono offerti per giocare si sono alzati e avvicinati alla cattedra. Il risultato `

e stato di 10 vittorie per me, 6 e 4 per i due studenti. Pur seguendo attentamente lo svolgersi della partita, nessuno `e sembrato capire dove stesse l’inganno. Questo grazie anche all’uso dei dadi uguali, i cui lanci si effettuano contemporaneamente non dando l’impressione che vi sia un “dado 1” e un “dado 2”. Soltanto uno dei due studenti giocatori ha cercato di azzardare un’ipotesi, affermando sul finire della partita, quando ormai l’esito era pi`u che indirizzato, che con due dadi la somma pi`u frequente `e 7, che si ottiene per forza con un dispari ed un pari. Ho commentato che l’intuizione, sebbene incompleta, era corretta, e che il tutto sarebbe stato chiarito entro la fine dell’ora. Dopo aver affermato che la fiducia nella mia vittoria derivasse proprio dal fatto di conoscere in anticipo le probabilit`a di successo dei singoli giocatori, ho dato inizio al percorso introduttivo sulla probabilit`a. Inizialmente si `e preso in considerazione un singolo lancio di dado: gli studenti non hanno avuto difficolt`a a capire la notazione ed individuare le probabilit`a degli eventi

A = “esce il 2” e B = “esce un numero maggiore o uguale a 3” (5.1)

in P(A) = 16 e P(B) = 2

3. Dopo aver rappresentato gli eventi come insiemi dei

loro esiti favorevoli, si `e introdotto la notazione della cardinalit`a, e ci siamo trovati d’accordo definendo la probabilit`a di un evento E attraverso la formula

P(E) = |E|

|T |, (5.2)

dove T `e l’insieme di tutti gli esiti possibili. Anche quando ho introdotto la cor- rispondenza tra composizione logica di eventi e operazioni insiemistiche non sono sorti particolari problemi, anzi alle mie domande riguardo quali operazioni insie-

mistiche potessero rappresentare i vari connettivi logici, la classe `e stata in grado autonomamente compiere le associazioni

E1 o E2 ←→ E1∪ E2

E1e E2 ←→ E1∩ E2

non E ←→ EC = T \ E.

(5.3)

Si `e passati poi alla definizione di indipendenza tra eventi A e B, inizialmente come “eventi per i quali il verificarsi di uno non influenza o modifica le probabilit`a dell’altro

e viceversa”. Subito dopo in modo formale: A e B sono indipendenti se vale che

P(A ∩ B) = P(A) · P(B). (5.4)

Pur consapevole del fatto che l’indipendenza di eventi in probabilit`a `e definita solo formalmente attraverso l’uguaglianza sopra, e che quindi quella “a parole” `e solo un modo di interpretare l’uguaglianza stessa, ho scelto di affiancare la definizione “a parole” a quella formale presentandole come equivalenti, per far s`ı che quest’ultima assumesse per la classe un significato concreto e visibile, che sarebbe stato pi`u difficile fissare fornendo invece la sola definizione formale. In un certo senso l’intento era quello di dare la possibilit`a di riuscire a farsi un’idea del fatto che due eventi siano indipendenti o meno anche quando la verifica formale non `e possibile perch´e non si riescono ad individuare con precisione le probabilit`a dei due eventi. Chiarito il concetto con gli esempi di lanci successivi di una moneta e, in riferimento al gioco svolto precedentemente, del lancio di due dadi, ho poi colto l’occasione per commentare alcuni risultati del del questionario. Ho lodato gli studenti per aver riconosciuto l’indipendenza di due estrazioni consecutive del Lotto nella domanda che recitava:

se al Lotto `e uscita una cinquina con tutti i numeri minori di 20, alla prossima estrazione:

b. conviene giocare tanti numeri minori di 20.

c. le uscite dell’estrazione precedente non hanno importanza.

La risposta c ha infatti ottenuto circa il 67% nel campione 2, quello degli studenti. Ho in seguito citato la domanda sulle perdite consecutive alla slot machine:

sai dal produttore che giocando su un certo modello di slot machine hai 1 probabilit`a su 10 di vincere Se dopo 9 giocate non hai ancora vinto: a. alla decima probabilmente non vincerai.

b. alla decima probabilmente vincerai. c. alla decima sicuramente vincerai.

In questo caso i problemi emersi dai risultati del questionario sono riemersi anche in classe, molti sostenevano infatti che probabilmente avrebbero vinto. Allora ho fatto notare che le giocate successive alla slot machine hanno la stessa identica natura di lanci successivi di una moneta o di un dado, con la sola differenza nella probabilit`a di vittoria, e che quindi, come questi ultimi, sono esempi di indipendenza di eventi: i 9 esiti precedenti non influiscono sulle probabilit`a della decima partita, in cui dunque probabilmente non si vince. `E sorta allora un’obiezione da parte di uno studente, che ricordava di aver studiato a Scienze come le percentuali della popolazione relative ai vari fenotipi corrispondano alle probabilit`a che la genetica assegna loro. In quel caso quindi, seppure si potessero considerare come indipendenti le nascite con un dato fenotipo piuttosto che un altro, la probabilit`a teorica era rispettata: perch´e non era lo stesso per la serie di giocate alla slot? Questa `e stata l’occasione per parlare dell’euristica della rappresentativit`a e offrire qualche anticipazione su concetti che verranno affrontati pi`u avanti. Ho fatto notare alla classe la bont`a dell’osservazione del compagno, affermando poi che, per`o, vi era una differenza fondamentale tra l’esempio di Scienze e quello delle 10 giocate alla slot, ovvero il numero di “esperimenti”. Introducendo implicitamente la legge dei grandi numeri, senza entrare troppo nel dettaglio ho spiegato che sequenze brevi come quella delle sole 10 giocate alla slot, non sono necessariamente rappresentative

della probabilit`a teorica, che `e invece avvicinata attraverso le lunghe serie, cio`e i numeri molto grandi, come ad esempio quelli di un’intera popolazione.

Si `e poi applicato quanto visto sugli eventi indipendenti per individuare le le caratteristiche del gioco del dado. Utilizzando le comode notazioni

P1 = “pari sul dado 1”,

D1 = “dispari sul dado 1”,

P2 = “pari sul dado 2”,

D2 = “dispari sul dado 2”,

(5.5)

gli studenti si sono cimentati nel calcolo delle probabilit`a di vincita dei tre sfidanti. In particolare, per la vittoria dell’insegnante hanno trovato le due P(P1∩ D2) = 1₄,

P(D1∩ P2) = 1₄ separatamente, cio`e senza considerare l’evento unico (P1∩ D2) ∪

(D1∩ P2), ma hanno comunque capito che le due andavano sommate. Cos`ı `e risultato

chiaro che la vittoria dell’insegnante sarebbe stata facilmente pronosticabile.

Successivamente, come da programma, si `e passati agli assiomi della probabilit`a. Vedendo che la classe stava rispondendo bene, ho effettuato una piccola digressione su cosa significa dare gli assiomi di una teoria, e sulla differenza tra la probabilit`a generica descritta dagli assiomi e quella definita in precedenza da P(E) = |E||T |, che

ne `e solo un particolare esempio, un’incarnazione. Per sottolineare ulteriormente questo fatto, nello scrivere gli assiomi ho usato una notazione diversa per la generica probabilit`_{a, indicandola con p. La verifica che la P verificasse gli assiomi, e che} quindi fosse un buon esempio di probabilit`a, `e stata svolta a voce. Grazie all’aver sottolineato come la probabilit`a (o le probabilit`a) descritte dagli assiomi costituiscano una sorta di “misura” della grandezza di certi insiemi detti eventi, addirittura alcuni studenti hanno ricavato autonomamente, con l’aiuto di un diagramma di Venn, la formula per p(A ∪ B) nel caso A e B non siano disgiunti. Subito dopo si `e trovata la formula per p(AC). Non ho ritenuto di dover ulteriormente giustificare le due formule con dimostrazioni formali, data l’evidenza con cui queste erano gi`a percepite (le ho tuttavia inserite all’interno delle dispense riassuntive della lezione, fornite

successivamente alla classe). Mi sono quindi limitato a enfatizzare che si poteva comunque dimostrarle utilizzando esclusivamente i tre assiomi, e che ogni propriet`a ricavata in questo modo sarebbe risultata valida per qualunque incarnazione di probabilit`_{a, quindi anche per la nostra P.}

La lezione si `e conclusa con un quesito sullo stile di quello di Bar-Hillel: 85 palline rosse e 15 bianche, 5 estrazioni con reinserimento. Prima di fare i calcoli, dieci studenti contro 8 immaginavano che fosse pi`u probabile avere 5 estrazioni rosse (evento A), rispetto ad averne almeno una bianca (evento B). Non si `e presentato quindi in modo massiccio il fenomeno dell’ancoraggio, perci`o ho scelto di sorvolare sull’argomento. Dopo aver calcolato P(A) riconoscendo le estrazioni successive come indipendenti, nessuno ha per`o riconosciuto in B il complementare di A, e si tentava di rispondere con P(B) = 0, 15 · 0, 854. Ho allora fatto notare che quella in realt`a `

e la probabilit`a di ottenere esattamente 1 pallina bianca al primo posto, e 4 rosse successivamente, quindi utilizzando questa strada si sarebbero dovute trovare le probabilit`a di tutte le altre combinazioni con esattamente 1 bianca e 4 rosse, e poi ripetere il tutto anche per le combinazioni con esattamente 2, 3, 4, 5 bianche, dato che il quesito richiedeva almeno una bianca. Qualcuno, al termine della lezione ha comunque provato a cimentarsi in questo conto. Nell’ambito della lezione per`o ho portato la classe a notare che B non fosse altro che la negazione di A, cio`e AC, e che con questa semplice osservazione il problema era automaticamente risolto, conoscendo gi`_{a P(A). Successivamente, per fare pratica su quanto visto a lezione, ho fornito alla} classe degli esercizi, alcuni svolti e spiegati ed altri no, sotto forma di dispensa.

In conclusione, la classe `e sembrata coinvolta ed attiva, e la lezione ben calibrata per le tempistiche scolastiche. Per quanto riguarda le divergenze rispetto alla programmazione, la principale `e stata il non verificarsi del fenomeno dell’ancoraggio nel quesito di Bar-Hillel, fatto che non ha permesso una naturale digressione sulla descrizione del fenomeno stesso. Dall’altro lato per`o, vi `e stata occasione di parlare di rappresentativit`a, grazie ai riferimenti al questionario e alle osservazioni scaturite dalla classe stessa.